高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.2 直线与椭圆的综合问题课件(理).ppt

第二课时直线与椭圆的综合问题 考向一椭圆与向量的综合问题 典例1 1 2016 安庆模拟 P为椭圆 1上任意一点 EF为圆N x 1 2 y2 4的任意一条直径 则的取值范围是 A 0 15 B 5 15 C 5 21 D 5 21 2 已知椭圆C 1的左 右焦点分别为F1 F2 椭圆C上的点A满足AF2 F1F2 若点P是椭圆C上的动点 则的最大值为 解题导引 1 利用化简可知通过a c a c 计算即得结论 2 由已知求出点A的坐标并设出点P的坐标 然后将用坐标表示 根据点P坐标的范围即可求出的最大值 规范解答 1 选C 因为a c a c 即3 5 所以的范围是 5 21 2 选B 由椭圆方程知c 1 所以F1 1 0 F2 1 0 因为椭圆C上点A满足AF2 F1F2 则可设A 1 y0 代入椭圆方程可得 所以y0 设P x1 y1 则 x1 1 y1 0 y0 所以 y1y0 因为点P是椭圆C上的动点 所以 y1 的最大值为 规律方法 解决椭圆中与向量有关问题的方法 1 设出动点坐标 求出已知点的坐标 2 写出与题设有关的向量 3 利用向量的有关知识解决与椭圆 直线有关的问题 4 将向量问题转化为实际问题 变式训练 1 2016 福州模拟 椭圆 1的左 右焦点分别为F1 F2 P是椭圆上任一点 则的取值范围是 A 0 4 B 0 3 C 3 4 D 3 4 解析 选D 因为椭圆 1的左 右焦点分别为F1 1 0 F2 1 0 设P 2cos sin R 所以 1 2cos sin 1 2cos sin 所以 因为 R cos2 0 1 4 cos2 3 4 所以的取值范围是 3 4 2 2016 莆田模拟 如图 点A B分别是椭圆E 1 a b 0 的左 右顶点 圆B x 2 2 y2 9经过椭圆E的左焦点F1 1 求椭圆E的方程 2 过点A作直线l与y轴交于点Q 与椭圆E交于点P 异于A 求的取值范围 解析 1 因为以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程为 x 2 2 y2 9 所以圆B的圆心坐标的横坐标即为a的值 所以a 2 在圆B x 2 2 y2 9中令y 0 得F1 1 0 所以b2 4 1 3 所以椭圆E的方程为 1 2 当直线l为x轴时 显然有 0 设直线AP x ty 2 并与椭圆E的方程联立 消去x可得 4 3t2 y2 12ty 0 由椭圆E的方程可知 A 2 0 由根与系数的关系可得 在直线AP x ty 2中令x 0 得yQ 所以综上所述 的取值范围为 0 2 加固训练 1 已知椭圆的右焦点F m 0 左 右准线分别为l1 x m 1 l2 x m 1 且l1 l2分别与直线y x相交于A B两点 1 若离心率为 求椭圆的方程 2 当 7时 求椭圆离心率的取值范围 解析 1 由已知 得c m m 1 从而a2 m m 1 b2 m 由e 得b c 从而m 1 故a b 1 故所求椭圆方程为 y2 1 2 易得A m 1 m 1 B m 1 m 1 从而 2m 1 m 1 1 m 1 故 2m 1 m 1 2 m2 4m 2 7 得0 m 1 由此离心率e 故所求的离心率取值范围为 2 已知椭圆 1 a b 0 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 A为椭圆的上顶点 直线AF2交椭圆于另一点B 1 若 F1AB 90 求椭圆的离心率 2 若求椭圆的方程 解析 1 若 F1AB 90 则 AOF2为等腰直角三角形 所以有OA OF2 即b c 所以a c e 2 由题知A 0 b F1 c 0 F2 c 0 其中c 设B x y 由得 c b 2 x c y 解得即将B点坐标代入 1 得 1 即 1 解得a2 3c2 又由 c b 得b2 c2 1 即有a2 2c2 1 由 解得c2 1 a2 3 从而有b2 2 所以椭圆的方程为 考向二直线与椭圆中的参数问题 典例2 2014 全国卷 设F1 F2分别是椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 M是C上一点且MF2与x轴垂直 直线MF1与C的另一个交点为N 1 若直线MN的斜率为 求C的离心率 2 若直线MN在y轴上的截距为2 且 MN 5 F1N 求a b 解题导引 1 由斜率条件可得到a b c的关系式 然后由b2 a2 c2消去b2 再 两边同除以a2 即得到关于离心率e的二次方程 由此解出离心率 2 利用 MF2 y轴 及 截距为2 可得yM 4 然后求出M N点坐标 代入椭圆方程即可求出a b的值 规范解答 1 因为由题知 所以又a2 b2 c2 联立整理得 2e2 3e 2 0 解得e 所以C的离心率为 2 由三角形中位线知识可知 MF2 2 2 即 4 设 F1N m 由题可知 MF1 4m 由两直角三角形相似 可得M N两点横坐标分别为c c 所以M c 4 代入椭圆方程 得两式相减得 再结合 4 及a2 b2 c2 可求得 a 7 b 2 规律方法 确定直线与椭圆中有关参数的方法1 依据题设中的条件 建立与参数有关的方程 2 解方程可求得参数的值 注意椭圆中的隐含条件a2 b2 c2 变式训练 如图 F1 F2分别是椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 A是椭圆C的顶点 B是直线AF2与椭圆C的另一个交点 F1AF2 60 1 求椭圆C的离心率 2 已知 AF1B的面积为40 求a b的值 解析 1 F1AF2 60 a 2c e 2 设 BF2 m 则 BF1 2a m 在三角形BF1F2中 BF1 2 BF2 2 F1F2 2 2 BF2 F1F2 cos120 2a m 2 m2 a2 am m a AF1B的面积S a 10 所以c 5 b 5 加固训练 1 2016 呼和浩特模拟 已知椭圆的两焦点为F1 0 F2 0 离心率e 1 求此椭圆的方程 2 设直线l y x m 若l与此椭圆相交于P Q两点 且 PQ 等于椭圆的短轴长 求m的值 解析 1 设椭圆方程为 1 a b 0 则c 所以a 2 b 1 所求椭圆方程为 y2 1 2 由消去y 得5x2 8mx 4 m2 1 0 则 0 得m2 5 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 x1x2 y1 y2 x1 x2 PQ 2 解得m 满足 所以m 2 2016 徐州模拟 已知椭圆E 1过点且右焦点为F 1 0 右顶点为A 过点F的弦为BC 直线BA 直线CA分别交直线l x m m 2 于P Q两点 1 求椭圆方程 2 若FP FQ 求m的值 解析 1 由 1 a2 b2 1 解得a2 4 b2 3 所以椭圆方程为 1 2 当直线BC的斜率存在且不为0时 设B x0 y0 则BC y x 1 与椭圆E 1联立组成方程组 解得或所以 显然kAB kAP kAC kAQ 所以kAPkAQ 设Q m y1 kFQ 同理kFP kAP 所以kFPkFQ 1 又m 2 所以所以m 4 当BC的斜率不存在时 BC的方程为x 1 令AC的方程为 即3x 2y 6 0 AB的方程为 即3x 2y 6 0 又FQ FP 所以kFQ kFP 1 解上式得m 舍 或m 4 综上可知 m 4 考向三直线与椭圆的位置关系 考情快递 考题例析 命题方向1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 典例3 2015 安徽高考 设椭圆E的方程为 1 a b 0 点O为坐标原点 点A的坐标为 a 0 点B的坐标为 0 b 点M在线段AB上 满足 BM 2 MA 直线OM的斜率为 1 求E的离心率e 2 设点C的坐标为 0 b N为线段AC的中点 点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 求E的方程 解题导引 1 可先求出M点的坐标 利用直线OM的斜率 即可得出关于a b的等式 再利用椭圆中a b c之间的关系求离心率 2 利用 1 的结果 椭圆中a b c都可利用b来表示 充分利用题设条件 得出关于b的方程 解方程即可求得b值 进而得出椭圆方程 解析 1 由题意可知点M的坐标是又kOM 所以进而得a b 故e 2 直线AB的方程为 1 点N的坐标为设点N关于直线AB的对称点S的坐标为则NS的中点T的坐标为又点T在直线AB上 且kNS kAB 1 从而有 b 3 所以a 3 故椭圆的方程为 1 命题方向2 由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例4 2015 江苏高考改编 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且右焦点F到直线l x 的距离为3 1 求椭圆的标准方程 2 过F的直线与椭圆交于A B两点 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P C 若 PC 2 AB 求直线AB的方程 解题导引 1 求椭圆标准方程 只需列两个独立条件即可 一是离心率为 二是右焦点F到左准线l的距离为3 解方程组即得 2 本题关键就是根据 PC 2 AB 列出关于斜率的等量关系 规范解答 1 由题意 得且c 3 解得a c 1 则b 1 所以椭圆的标准方程为 y2 1 2 当AB x轴时 AB 又CP 3 不合题意 当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 将AB的方程代入椭圆方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 则x1 2 C的坐标为且 AB 若k 0 则线段AB的垂直平分线为y轴 与左准线平行 不合题意 从而k 0 故直线PC的方程为 则P点的坐标为从而 PC 因为 PC 2 AB 所以解得 k 1 此时AB的方程为y x 1或y x 1 母题变式 1 若将条件 PC 2 AB 改为 PC AB 结果如何 解析 由例题可知 AB PC 又因为 PC AB 即解上式得 k 此时AB的方程为y x 或y x 2 若将条件 PC 2 AB 改为 PC AB 结果如何 解析 由例题可知 AB PC 又因为 PC AB 即化简上式得 3k4 1 0 显然上式不成立 因此满足条件的直线AB不存在 技法感悟 1 由直线与椭圆位置关系解决离心率问题的思路由题中条件寻找a b c间的关系式 等式或不等式 然后借助a2 b2 c2转化为的方程或不等式即可 2 直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法 题组通关 1 2016 福州模拟 椭圆的焦点为F1 F2 过F1的最短弦PQ的长为10 PF2Q的周长为36 则此椭圆的离心率为 解析 选C PQ为过F1垂直于x轴的弦 则 PF2Q的周长为36 所以4a 36 a 9 由已知 5 即 5 又a 9 解得c 6 解得即e 2 2016 宝鸡模拟 已知椭圆x2 2y2 4 则以 1 1 为中点的弦的长度为 解析 选C 易知该弦所在直线的斜率存在 由题意可设y 1 k x 1 所以y kx 1 k 代入椭圆方程 得x2 2 kx 1 k 2 4 所以 2k2 1 x2 4k 1 k x 2 1 k 2 4 0 由x1 x2 2 得k x1x2 所以 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 所以 AB 3 2016 郑州模拟 如图所示 内外两个椭圆的离心率相同 从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC BD 设内层椭圆方程为 1 a b 0 若直线AC与BD的斜率之积为 则椭圆的离心率为 解析 选C 设外层椭圆方程为 1 a b 0 m 1 由题意设切线AC的方程为y k1 x ma 切线BD的方程为y k2x mb 则由消去y 得 因为 1 0 整理 得由消去y 得 0 因为 2 0 整理 得 所以因为k1k2 所以所以e