高考数学一轮复习 第五章 第3课时 平面向量的数量积课件 理.ppt

第五章平面向量与复数 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表示 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 5 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 请注意这部分知识是向量的核心内容 向量的平行 垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系 而向量的夹角 长度是向量的数量特征 是必考的重要内容之一 2 a与b的夹角为度时 叫a b 3 若a与b的夹角为 则a b 4 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 5 a在b的方向上的投影为 AOB 90 0 180 a b cos x1x2 y1y2 a cos x1x2 y1y2 0 x1y2 x2y1 0 2 数量积满足的运算律已知向量a b c和实数 则向量的数量积满足下列运算律 1 a b 2 a b a b 3 a b c b a a b a c b c 3 注意 1 两个向量的数量积是一个实数 0 a 0 实数 而0 a 0 2 数量积不满足结合律 a b c a b c 3 a b中的 不能省略 1 判断下面结论是否正确 打 或 1 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的结果是向量 答案 1 2 3 4 5 2 已知 a 6 b 3 a b 12 则向量a在向量b方向上的投影是 A 4B 4C 2D 2答案A 答案10 5 2015 东北三校联考 已知向量a b的夹角为60 且 a 2 b 1 则向量a与向量a 2b的夹角等于 A 150 B 90 C 60 D 30 答案D 例1 1 已知 a 2 b 5 若 a b a b a与b的夹角为30 分别求a b 思路 根据非零向量数量积的定义直接求解即可 只需确定其夹角 题型一平面向量的数量积的运算 解析 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角为0 a b a b cos0 2 5 1 10 若a与b反向 则它们的夹角为180 a b a b cos180 2 5 1 10 当a b时 它们的夹角为90 a b a b cos90 2 5 0 0 答案 25 探究1 1 求平面向量数量积的步骤是 求a与b的夹角 0 180 分别求 a 和 b 求数量积 即a b a b cos 若知道向量的坐标a x1 y1 b x2 y2 则求数量积时用公式a b x1x2 y1y2计算 2 注意共线时 0 或180 垂直时 90 三种特殊情况 已知a b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a 2b a b 2 a b 3 3a 4b 思考题1 题型二向量的夹角 答案 C 答案 B 1 已知向量a b满足 a 2b a b 6 且 a 1 b 2 则a与b的夹角为 思考题2 2 2014 四川文 若平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m R 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m A 2B 1C 1D 2 答案 D 题型三向量的模 答案 B 2 已知向量a b满足 a 6 b 4 且a与b的夹角为60 求 a b 和 a 3b 思路 本例题介绍两种求向量模的方法 利用 a b 2 a b a b 构造模型 利用向量的加法和减法求模 1 已知单位向量e1 e2的夹角为60 则 2e1 e2 思考题3 答案 C 题型四平行与垂直 探究4平行与垂直问题是一个重要的知识点 在高考题中常常出现 常与向量的模 向量的坐标表示等联系在一起 要特别注意垂直与平行的区别 若a a1 a2 b b1 b2 则a b a1b1 a2b2 0 a b a1b2 a2b1 0 1 设平面向量a 1 2 b 2 y 若a b 则 3a b 思考题3 1 记忆向量的数量积公式应从两个方面 定义 向量的数量积的坐标公式 2 向量的数量积应用广泛 可用于求角 求长度 证垂直等问题 3 注意数形结合思想的应用 如加 减运算的几何意义 数量积的几何意义 投影 1 关于平面向量a b c 有下列五个命题 若a b a c 则b c a b a b a b a b a b a b a b a c b c 若非零向量a和b满足 a b a b 则a与a b的夹角为60 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 解析 由数量积定义a b a b cos 若a b a c 则 a b cos a c cos b cos c cos 即只要b和c在a上的投影相等 则a b a c 中 a b a b cos 由 a b a b 及a b为非零向量可得 cos 1 0或 a b且以上各步均可逆 故命题 是真命题 中当a b时 将向量a b的起点确定在同一点 则以向量a b为邻边作平行四边形 则该平行四边形必为矩形 于是它的两对角线长相等 即有 a b a b 反过来 若 a b a b 则以a b为邻边的四边形为矩形 所以有a b 因此命题 是真命题 中当 a b 但a与c的夹角和b与c的夹角不等时 就有 a c b c 反过来由 a c b c 也推不出 a b 故命题 是假命题 失分警示解决向量问题常常要数形结合 a b等于 a 乘以b在a方向上的投影 或等于 b 乘以a在b方向上的投影 2 已知两个非零向量a b 满足 a b a b 则下面结论正确的是 A a bB a bC a b D a b a b答案B解析由 a b a b 两边平方并化简 得a b 0 又a b都是非零向量 所以a b 答案A 答案A 解析由条件可得 a b 2 10 a b 2 6 两式相减 得4a b 4 所以a b 1 有关数量积的最值问题 答案 2 答案 D 答案 A 答案 2 答案 2 5