高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七节 空间角与距离的求解课件 理.ppt

第七节空间角与距离的求解 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量把直线l上的向量a以及与a共线的向量叫做直线l的方向向量 2 平面的法向量直线l 取直线l的方向向量a 则向量a垂直于平面 记为a 称向量a叫做平面 的法向量 2 空间线线 线面 面面平行与垂直的向量语言表示设空间两条直线l1 l2的方向向量分别为a b 两个平面 1 2的法向量分别为u v 则有下表 典例1 1 2015 江西师大附中期中考试 如图 在四棱锥S ABCD中 侧棱SA 底面ABCD AD BC ABC 90 SA AB BC 2 AD 1 M是棱SB的中点 求证 AM 面SCD 解题思路 建立空间直角坐标系 求出平面的法向量 证明直线的方向向量和平面的法向量垂直 2 2015 银川一中四模 在如图所示的多面体中 EF 平面AEB AE EB AD EF EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G是BC的中点 求证 BD EG 解题思路 先找到三条两两垂直的直线 建立空间直线坐标系 利用两直线方向向量的数量积为0证明直线垂直 典例2 2015 新课标全国卷 如图 四边形ABCD为菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 证明 平面AEC 平面AFC 2 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 解题思路 1 连接BD 与菱形对角线AC相交于点G 通过证明GE与平面ACF内的两条相交直线垂直即可证明 2 根据 1 利用向量法求解即可 参考答案 1 交线围成的正方形EHGF如图 命题角度1 求二面角的大小典例4 2015 北京高考 如图 在四棱锥A EFCB中 AEF为等边三角形 平面AEF 平面EFCB EF BC BC 4 EF 2a EBC FCB 60 O为EF的中点 1 求证 AO BE 2 求二面角F AE B的余弦值 3 若BE 平面AOC 求a的值 解题思路 1 利用面面垂直的性质定理证明 2 建立空间直角坐标系 利用空间向量求解二面角 3 根据直线的方向向量与平面的法向量垂直 利用数量积的坐标运算求解 变式训练 如图 在四棱锥C ABDE中 F为CD的中点 DB 平面ABC AE BD AB BC CA BD 2AE 1 求证 EF 平面BCD 2 求平面CED与平面ABC所成二面角 锐角 的大小 解题思路 建立空间直角坐标系 利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题 参考答案 由题设知 AA1 AB AD两两垂直 以A为坐标原点 AB AD AA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则相关各点的坐标为A 0 0 0 B1 3 0 6 D 0 6 0 D1 0 3 6 Q 6 m 0 其中m BQ 0 m 6 变式训练 2013 上海高考 如图 在长方体ABCD A B C D 中 AB 2 AD 1 AA 1 证明直线BC 平行于平面D AC 并求直线BC 到平面D AC的距离 模板攻略 用向量法求二面角典例 2014 新课标全国卷 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧面BB1C1C为菱形 AB B1C 1 证明 AC AB1 2 若AC AB1 CBB1 60 AB BC 求二面角A A1B1 C1的余弦值 解题思路 连接A与菱形对角线的交点O 利用菱形的对角线互相垂直以及AB B1C证明B1C垂直于平面ABO 得到AO CB1即可证明线段相等 利用空间向量法求二面角的余弦值 参考答案 1 连接BC1 交B1C于点O 连接AO 因为侧面BB1C1C为菱形 所以B1C BC1 且O为B1C及BC1的中点 又AB B1C 所以B1C 平面ABO 由于AO 平面ABO 故B1C AO 又B1O CO 故AC AB1