高考数学一轮复习 几何证明选讲 1 相似三角形的判定及有关性质课件(理) 选修4-1.ppt

选修4 1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质 知识梳理 1 平行线等分线段定理及其推论 相等 平分第三边 平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理及其推论 所得的对应线 段成比例 所得的对应线 段成比例 3 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的定义 对应角 对应边 的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形 的比值叫做相似比 或相似系数 2 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 所构成的三角形与原三角形 相等 成比例 对应边 相交 相似 3 判定及性质 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜边上的高是 的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 两直角边在斜边上射影 比例中项 特别提醒 1 把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论交换之后 命题仍然成立 2 应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误 可以根据相等的角去找 考向一平行线分线段成比例定理 典例1 2016 太原模拟 如图 在梯形ABCD中 AB CD AB 4 CD 2 点E F分别为AD BC上的点 且EF 3 EF AB 求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比 解题导引 利用平行线分线段成比例定理确定两个梯形的高之间的关系 再确定两梯形的面积比 规范解答 如图 延长AD BC交于一点O 作OH AB于点H 所以 得x 2h1 得h1 h2 所以S梯形ABFE 3 4 h2 h2 S梯形EFCD 2 3 h1 h1 所以S梯形ABFE S梯形EFCD 7 5 规律方法 平行线分线段成比例定理的作用及应用技巧 1 作用 可以判定线段成比例 当不能直接证明要证的比例成立时 常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比 2 应用技巧 利用定理来计算或证明时 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 在应用推论时 一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边 是否过一边的中点 变式训练 如图 在 ABC中 DE BC DF AC AE AC 3 5 DE 6 求BF的长 解析 由DE BC 得因为DE 6 所以BC 10 又DF AC 所以 所以BF 4 加固训练 1 如图 点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点 且DC BE 3 2 求AD BF的值 解析 因为点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点 且DC BE 3 2 则利用相似比得到AD BF 5 2 2 如图所示 在 ABC中 AE EB 1 3 BD DC 2 1 AD与CE相交于点F 求的值 解析 过点D作DG AB交EC于点G 则 而即 所以AE DG 从而有AF DF EF FG CG 故 考向二相似三角形的判定与性质 典例2 2016 信阳模拟 如图 在 ABC中 点D是BC边上的中点 且AD AC DE BC DE与AB相交于点E EC与AD相交于点F 1 求证 ABC FCD 2 若S FCD 5 BC 10 求DE的长 解题导引 1 利用 BEC和 ADC都是等腰三角形 从而底角分别相等证明 2 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出 ABC的面积 再通过过点A作BC的垂线利用平行线分线段成比例求解 规范解答 1 因为DE BC 点D是BC边上的中点 所以EB EC 所以 B ECD 又AD AC 所以 ADC ACD 所以 ABC FCD 2 过点A作AM BC 垂足为点M 因为 ABC FCD BC 2CD 所以又因为S FCD 5 所以S ABC 20 又S ABC BC AM 10 AM 20 解得AM 4 又DE AM 所以因为DM DC BM BD DM 5 所以 解得DE 规律方法 1 证明相似三角形的一般思路 1 先找两对内角对应相等 2 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 3 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 2 相似三角形的性质的应用 1 可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 由相似三角形构造成比例线段时 可以利用等角所对的边对应成比例构造等式 避免边与边的对应出错 2 求解线段长度问题 充分利用所求线段与已知线段长度之间的关系 化归到相应三角形中 通过构造相似三角形求解 变式训练 2016 商丘模拟 如图 在 ABC中 BC AC 点D在BC上 且DC AC ACB的平分线CF交AD于点F 点E是AB的中点 连接EF 1 求证 EF BC 2 若四边形BDFE的面积为6 求 ABD的面积 解析 1 因为CF平分 ACB 所以 ACF DCF 又因为DC AC 所以CF是 ACD的中线 所以点F是AD的中点 因为点E是AB的中点 所以EF BD 即EF BC 2 由 1 知 EF BD 所以 AEF ABD 所以又因为AE AB S AEF S ABD S四边形BDFE S ABD 6 所以 所以S ABD 8 所以 ABD的面积为8 加固训练 1 如图 在 ABC中 点D为BC边的中点 点E为AD上的一点 延长BE交AC于点F 若 求的值 解析 如图 过点A作AG BC 交BF的延长线于点G 则 AGE DBE AGF CBF 因为 所以所以 因为点D为BC的中点 所以BC 2BD 所以所以所以 2 2016 郑州模拟 如图 在正方形ABCD中 点P是BC上的点 且BP 3PC 点Q是CD的中点 求证 ADQ QCP 证明 在正方形ABCD中 因为Q是CD的中点 所以 2 因为 3 所以 4 又因为BC 2DQ 所以 2 在 ADQ和 QCP中 且 D C 90 所以 ADQ QCP 考向三直角三角形中的射影定理 典例3 如图 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于点D DF AC于点F DE AB于点E 求证 1 AB AC BC AD 2 AD3 BC CF BE 解题导引 1 可以利用Rt ABC的面积的两种表示证明 2 分别在Rt ADB Rt ACD和Rt BAC中利用射影定理后进行等量代换 规范解答 1 在Rt ABC中 AD BC 所以S ABC AB AC BC AD 所以AB AC BC AD 2 在Rt ADB中 DE AB 由射影定理可得BD2 BE AB 同理CD2 CF AC 所以BD2 CD2 BE AB CF AC 又在Rt BAC中 AD BC 所以AD2 BD DC 所以AD4 BE AB CF AC 又AB AC BC AD 即AD3 BC CF BE 母题变式 1 本例中若AB 5 AD 4 求AC的长 解析 由AB 5 AD 4 得BD 3 又AB2 BD BC 所以BC 所以AC 2 本例中若BD DC 1 2 试判断E F的位置 解析 显然Rt ABC Rt DBA Rt DAC 根据相似三角形的性质 E F也是BA AC的三等分点 即 规律方法 射影定理的应用技巧 1 要注意将 等积式 转化为相似三角形中的 比例式 或将 比例式 转化为 等积式 2 证题时 要注意作垂线构造直角三角形 确定直角边与其射影 这是解直角三角形时常用的方法 3 注意射影定理与勾股定理的结合应用 易错提醒 对于直角三角形 射影定理一定成立 但满足该结论的三角形不一定是直角三角形 变式训练 如图所示 AD BE是 ABC的两条高 DF AB 垂足为点F 直线FD交BE于点G 交AC的延长线于点H 求证 DF2 GF HF 证明 因为 H BAC 90 GBF BAC 90 所以 H GBF 因为 AFH GFB 90 所以 AFH GFB 所以 所以AF BF GF HF 因为在Rt ABD中 FD AB 所以DF2 AF BF 所以DF2 GF HF 加固训练 1 如图 在 ABC中 点D F分别在AC BC上 且AB AC AF BC BD DC FC 1 求AC 解析 在 ABC中 设AC为x 因为AB AC AF BC FC 1 根据射影定理得 AC2 FC BC 即BC x2 再由射影定理得 AF2 BF FC BC FC FC 所以AF 过点D作DE BC于点E 因为BD DC 1 所以BE EC 又因为AF BC 所以DE AF 所以所以DE 在Rt DEC中 因为DE2 EC2 DC2 即即 1 所以x 即AC 2 如图所示 在 ABC中 CAB 90 AD BC于点D BE是 ABC的平分线 交AD于点F 求证 证明 因为BE是 ABC的平分线 所以 在Rt ABC中 由射影定理知 AB2 BD BC 即 由 得 由 得