高考数学一轮复习 2-11 导数在函数研究中的应用课件 理 新人教A版.ppt

第十一节导数在函数研究中的应用 最新考纲展示1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 一 利用导数研究函数的单调性1 函数f x 在某个区间 a b 内的单调性与其导数的正负有如下关系 1 若 则f x 在这个区间上是增加的 2 若 则f x 在这个区间上是减少的 3 若 则f x 在这个区间内是常数 2 利用导数判断函数单调性的一般步骤 1 求 2 在定义域内解不等式 3 根据结果确定f x 的单调区间 f x 0 f x 0 f x 0 f x f x 0或f x 0 二 利用导数研究函数的极值1 函数的极大值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 函数的极小值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为极值点 小于 大于 极值 1 在某个区间 a b 上 若f x 0 则f x 在这个区间上单调递增 若f x 0 则f x 在这个区间上单调递减 若f x 0恒成立 则f x 在这个区间上为常数函数 若f x 的符号不确定 则f x 不是单调函数 2 若函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则f x 0 且在 a b 的任意子区间 等号不恒成立 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则f x 0 且在 a b 的任意子区间 等号不恒成立 3 使f x 0的离散的点不影响函数的单调性 4 f x0 0是x0为f x 的极值点的非充分非必要条件 例如 f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 又如f x x x 0是它的极小值点 但f 0 不存在 答案 B 2 函数y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象可能是 解析 据函数的图象易知 x0 当x 0时 恒有f x 0 答案 D 3 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1个B 2个C 3个D 4个解析 导函数f x 的图象与x轴的交点中 左侧图象在x轴下方 右侧图象在x轴上方的只有一个 故选A 答案 A 4 若函数f x x3 ax2 3x 9在x 3时取得极值 则a等于 A 2B 3C 4D 5解析 f x 3x2 2ax 3 由题意知f 3 0 即3 3 2 2 3 a 3 0 解得a 5 答案 D 利用导数研究函数的单调性 师生共研 规律方法 1 当f x 不含参数时 可以通过解不等式f x 0 或f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 1 2014年高考全国大纲卷 函数f x ax3 3x2 3x a 0 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在区间 1 2 是增函数 求a的取值范围 解析 1 f x 3ax2 6x 3 f x 0的判别式 36 1 a 若a 1 则 0 因此f x 0 且f x 0当且仅当a 1 x 1 故此时f x 在R上是增函数 考情分析利用导数根据函数的单调性 区间 求参数的取值范围 是高考考查函数单调性的一个重要考向 常与函数 不等式 最值等知识综合以解答题的形式出现 考查根据函数在某区间上单调递增 减 或存在单调区间或为单调函数求参数的取值范围等问题 已知函数的单调性求参数的取值范围 高频研析 答案 C 规律方法已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 来求解 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 利用导数研究函数的极值 师生共研 规律方法求函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 故f x 的增区间为 1 减区间为 0 和 0 1 2 g x ex ax 1 x 0 g x ex a 当a 1时 g x ex a 0 即g x 在 0 上递增 此时g x 在 0 上无极值点 当a 1时 令g x ex a 0 得x lna 令g x ex a 0 得x lna 令g x ex a1