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第十二章 12.3角的平分线的性质知识点1：角平分线的作法平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.知识点2：角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.关键提醒:1.性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.2.该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.3.使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角平分线,二个垂直”缺一不可.知识点3：角平分线的判定角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.关键提醒:它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.考点1：利用角平分线条件求距离与角【例1】如图,ADBC,ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P,作PEAB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.答案:4点拨:如图,过点P作PMAD于点M,PNBC于点N,则M、N、P三点共线.BP平分ABC,AP平分BAD,PEAB于点E,PMAD于点M,PNBC于点N,PN=PE=PM(角平分线上的点到角两边的距离相等).PE=2,PM=PN=2. MN=4.考点2：利用角平分线条件证明角或边相等【例2】如图,在ABC中,C=90,AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)CBA+AFD=180.证明:(1)AD是BAC的平分线,DCAC,DEAB,DC=DE.又DF=DB,RtDCFRtDEB(HL).CF=EB.(2)由(1)得DBE=DFC,而DFC+AFD=180,CBA+AFD=180.点拨：欲证CF=EB,只需证DCFDEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将CBA转化成AFD的邻补角CFD即可.考点3：利用角平分线条件证明线段的和差【例3】如图 (1),已知ACBD,AE、BE分别平分CAB和DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由. (1) (2)解:AB=AC+BD.理由如下:如图 (2),在AB上截取AF=AC,连接EF.在ACE和AFE中,ACEAFE(SAS).6=D.在EFB和EDB中,EFBEDB(AAS),FB=DB.AC+BD=AF+FB=AB.点拨：欲证线段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.
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