高中数学 第一章 常用逻辑用语 2.3 充要条件课件 北师大版选修2-1.ppt

第一章 2充分条件与必要条件 2 3充要条件 1 理解充要条件的意义 2 会判断 证明充要条件 3 通过学习 明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一充要条件一般地 如果既有p q 又有q p就记作 此时 我们说 p是q的 简称 显然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 概括地说 如果p q 那么p与q 答案 互为充要条件 p q 充分必要条件 充要条件 答案 思考 1 若p是q的充要条件 则命题p和q是两个相互等价的命题 这种说法对吗 答案正确 若p是q的充要条件 则p q 即p等价于q 故此说法正确 2 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 的区别在哪里 答案 p是q的充要条件说明p是条件 q是结论 p的充要条件是q说明q是条件 p是结论 知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为 若p 则q 逆命题为 若q 则p 那么p与q的关系有以下四种情形 返回 知识点三从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p A x p x 成立 q B x q x 成立 题型探究重点突破 题型一充要条件的判断例1 1 x 1 是 x2 2x 1 0 的 A 充要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件解析解x2 2x 1 0得x 1 所以 x 1 是 x2 2x 1 0 的充要条件 解析答案 A 解析答案 反思与感悟 2 判断下列各题中 p是否为q的充要条件 在 ABC中 p A B q sinA sinB 解在 ABC中 显然有 A B sinA sinB 所以p是q的充要条件 若a b R p a2 b2 0 q a b 0 解若a2 b2 0 则a b 0 即p q 若a b 0 则a2 b2 0 即q p 故p q 所以p是q的充要条件 p x 3 q x2 9 解由于p x 3 q x2 9 所以p是q的充要条件 判断p是q的充分必要条件的两种思路 1 命题角度 判断p是q的充分必要条件 主要是判断p q及q p这两个命题是否成立 若p q成立 则p是q的充分条件 同时q是p的必要条件 若q p成立 则p是q的必要条件 同时q是p的充分条件 若二者都成立 则p与q互为充要条件 2 集合角度 关于充分条件 必要条件 充要条件 当不容易判断p q及q p的真假时 也可以从集合角度去判断 结合集合中 小集合 大集合 的关系来理解 这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 1 a b中至少有一个不为零的充要条件是 A ab 0B ab 0C a2 b2 0D a2 b2 0解析a2 b2 0 则a b不同时为零 a b中至少有一个不为零 则a2 b2 0 D 解析答案 2 函数y x2 2x a没有零点 的充要条件是 解析函数没有零点 即方程x2 2x a 0无实根 所以有 4 4a 0 解得a 1 反之 若a 1 则 0 方程x2 2x a 0无实根 即函数没有零点 故 函数y x2 2x a没有零点 的充要条件是a 1 a 1 解析答案 反思与感悟 题型二充要条件的证明例2求证 方程x2 2k 1 x k2 0的两个根均大于1的充要条件是k 2 解析答案 反思与感悟 证明 必要性 若方程x2 2k 1 x k2 0有两个大于1的根 不妨设两个根为x1 x2 则 解得k0 设方程x2 2k 1 x k2 0的两个根为x1 x2 则 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 k2 2k 1 1 k k 2 0 反思与感悟 又 x1 1 x2 1 x1 x2 2 2k 1 2 2k 1 0 x1 1 0 x2 1 0 x1 1 x2 1 综上可知 方程x2 2k 1 x k2 0有两个大于1的根的充要条件为k 2 反思与感悟 一般地 证明 p成立的充要条件为q 时 在证充分性时应以q为 已知条件 p是该步中要证明的 结论 即q p 证明必要性时则是以p为 已知条件 q为该步中要证明的 结论 即p q 解析答案 返回 跟踪训练2求证 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要条件是b 0 证明 充分性 如果b 0 那么f x kx 因为f x k x kx 所以f x f x 所以f x 为奇函数 必要性 因为f x kx b k 0 是奇函数 所以f x f x 对任意x均成立 即k x b kx b 所以b 0 综上 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要条件是b 0 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析当a b 0时 得a b 所以a b 但若a b 不一定有a b 0 A 1 2 3 4 5 解析答案 2 已知集合A 1 a B 1 2 3 则 a 3 是 A B 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析a 3时 A 1 3 A B 当A B时 a 2或3 A 1 2 3 4 5 3 已知 a 2 直线x y 0与圆x2 y a 2 2相切 则 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析a 2时 直线x y 0与圆x2 y 2 2 2相切 解析答案 C 是 的充要条件 1 2 3 4 5 解析答案 4 已知直线l1 x ay 6 0和直线l2 a 2 x 3y 2a 0 则l1 l2的充要条件是a 解析由1 3 a a 2 0得a 3或 1 而a 3时 两条直线重合 所以a 1 1 1 2 3 4 5 解析答案 所以p是q的充要条件 充要 课堂小结 返回 1 充要条件的判断有三种方法 定义法 等价命题法 集合法 2 充要条件的证明与探求 1 充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明 在证明时要注意两种叙述方式的区别 p是q的充要条件 则由p q证的是充分性 由q p证的是必要性 p的充要条件是q 则由p q证的是必要性 由q p证的是充分性 2 探求充要条件 可先求出必要条件 再证充分性 如果能保证每一步的变形转化过程都可逆 也可以直接求出充要条件