高中数学 2.4平面向量的坐标课件 北师大版必修4.ppt

4平面向量的坐标 1 平面向量的坐标表示 1 向量a的坐标 2 全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是 的 a x y 一一对应 2 平面向量线性运算的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 和 与差 x1 y1 乘积 x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 其终点的相 应坐标减去起点 的相应坐标 3 向量平行的坐标表示 1 公式 设a b是非零向量 且a x1 y1 b x2 y2 a b 若y1 0且y2 0 则上式可表示为a b 2 文字语言 定理1 若两个向量 与坐标轴不平行 平行 则它们相应的坐标 定理2 若两个向量相对应的坐标 则它们平行 x1y2 x2y1 0 成比例 成比例 1 判一判 正确的打 错误的打 1 位置不同的向量的坐标一定不一样 2 一个向量的坐标等于其起点相应坐标减去终点的相应坐标 3 对于向量a x1 y1 b x2 y2 若a b 则x1x2 y1y2 0 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若向量a 5 2 则向量a的相反向量的坐标是 2 若向量a 1 1 b 3 则a 2b 3 若向量m 2 2 n 1 x 且m n 则x 解析 1 1 错误 当位置不同的向量是相等向量时坐标一样 2 错误 一个向量的坐标等于其终点相应坐标减去起点的相应坐标 3 错误 对于向量a x1 y1 b x2 y2 若a b 则x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 2 1 若向量a 5 2 则向量a的相反向量 a 5 2 答案 5 2 2 若向量a 1 1 b 3 则a 2b 1 1 2 3 5 2 答案 5 2 3 若向量m 2 2 n 1 x 且m n 则2x 2 1 0 解得x 1 答案 1 要点探究 知识点1向量的坐标表示1 对平面向量坐标表示的三点说明 1 向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关 而与它们的具体位置无关 2 向量确定后 向量的坐标就被确定了 3 引入向量的坐标表示以后 向量就有两种表示方法 一种是几何法 即用向量的长度和方向表示 另一种是坐标法 即用一对有序实数表示 有了向量的坐标表示 就可以将几何问题转化为代数问题来解决 2 点的坐标与向量坐标的区别与联系 1 区别 表示形式不同 向量a x y 中间用等号连接 而点的坐标A x y 中间没有等号 意义不同 点A x y 的坐标 x y 表示点A在平面直角坐标系中的位置 a x y 的坐标 x y 既表示向量的大小 也表示向量的方向 另外 x y 既可以表示点 也可以表示向量 叙述时应指明点 x y 或向量a x y 2 联系当平面向量的起点在原点时 平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 微思考 1 如果已知向量的坐标 能否确定向量的位置 提示 不能 已知向量的坐标 向量的两个端点的坐标不能确定 因此向量的位置不能确定 2 相等向量的坐标 端点坐标之间有什么关系 提示 相等向量的坐标相同 但是端点坐标不一定相同 即时练 1 若点A 1 1 B 0 2 则 2 已知 2 4 若点M 3 2 则点N的坐标为 3 已知a 2 0 b x 1 y 1 若a b 则x y 解析 1 若点A 1 1 B 0 2 则 1 1 答案 1 1 2 已知 2 4 若点M 3 2 设N的坐标为x y 则解得则N 1 6 答案 1 6 3 若a b 则解得答案 3 1 知识点2向量共线的坐标表示两个向量共线的表示形式已知a x1 y1 b x2 y2 1 当b 0时 a b 这是几何运算 体现了向量a与b的长度及方向之间的关系 2 x1y2 x2y1 0 这是代数运算 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 从而减少未知数个数 而且使问题的解决具有代数化的特点 程序化的特征 3 当x2y2 0时 即两向量的相应坐标成比例 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示 而且不易出现搭配错误 微思考 1 向量平行的坐标表示有何特征 提示 交叉坐标乘积之差等于零 2 对于平行向量如何根据其坐标判断两向量是同向还是反向 提示 根据向量的坐标 由 x1 y1 x2 y2 当 0时 两向量同向 当 0时 两向量反向 即时练 1 若向量a 1 2 b 1 则向量a b的关系是 2 已知向量a a b b 1 2 若a b 则a b满足的关系式为 解析 1 1 1 2 1 1 0 答案 平行2 已知向量a a b b 1 2 若a b 则2a b 0 答案 2a b 0 题型示范 类型一平面向量的坐标表示及其线性运算 典例1 1 2014 北京高考 已知向量a 2 4 b 1 1 则2a b A 5 7 B 5 9 C 3 7 D 3 9 2 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b R 则 解题探究 1 题 1 中求向量2a b的坐标的运算顺序是什么 2 将向量坐标表示的前提是什么 探究提示 1 将a b的坐标代入求解 2 先建立适当的坐标系将向量用坐标表示 自主解答 1 选A 2a b 2 2 4 1 1 5 7 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以答案 4 方法技巧 平面向量坐标的线性运算方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 变式训练 已知向量 k 12 4 5 k 10 且A B C三点共线 则k 解析 4 k 7 2k 2 因为A B C三点共线 所以 2 4 k 2k 7 0 解得k 答案 补偿训练 设点A 1 2 B 2 3 C 3 1 且求D点的坐标 解题指南 设出D点坐标 将向量用坐标表示即可 解析 设D x y 因为A 1 2 B 2 3 C 3 1 所以 3 1 1 4 x 1 y 2 又因为所以 x 1 y 2 2 3 1 3 1 4 6 2 3 12 3 14 所以解得所以D 2 16 类型二平面向量平行的坐标表示及其应用 典例2 1 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 A B C 或D 0 2 如图所示 已知点A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC与OB的交点P的坐标 解题探究 1 题 1 中a b如何用坐标表示 2 题 2 中点O P B A P C的关系分别是什么 探究提示 1 表示为 1 2 m m 02 分别是共线关系 自主解答 1 选C 因为a 1 m b m 2 且a b 所以1 2 m m m 2 方法一 设P x y 则 x y 4 4 因为共线 所以4x 4y 0 又 x 2 y 6 2 6 且向量共线 所以 6 x 2 2 6 y 0 解由 组成的方程组 得x 3 y 3 所以点P的坐标为 3 3 方法二 设 t 4 4 4t 4t 则 4t 4t 4 0 4t 4 4t 2 6 4 0 2 6 由共线的条件知 4t 4 6 4t 2 0 解得t 所以 4t 4t 3 3 所以点P的坐标为 3 3 延伸探究 在本题 1 中 若向量a b同向 则应该选哪个答案 解析 选B 由本题 1 的解答可知 m 或 当m 时 b a反向 当m 时 b a同向 故m 方法技巧 利用向量共线的条件求值的处理思路 是利用共线向量定理a b b 0 列方程组求解 是利用向量共线的坐标表达式x1y2 x2y1 0直接求解 变式训练 已知向量a 1 3 b 3 n 若2a b与b共线 则实数n的值是 A 6B 9C 3 2D 3 2 解析 选B 2a b 2 6 3 n 1 6 n 因为2a b与b共线 则 n 3 6 n 0 解得n 9 补偿训练 已知向量a 1 2 b 2 0 c 1 2 若向量 a b与c共线 则实数 的值为 A 2B C 1D 解析 选C a b 2 2 又向量 a b与c共线 则 2 2 2 4 4 0 解得 1 易错误区 忽略向量的方向致误 典例 2014 肇庆高一检测 已知向量a m 4 与b 9 m 共线且反向 则m A 6B 6C 6D 36 解析 选B 已知向量a m 4 与b 9 m 共线 可得 m2 4 9 m2 36 0 即m2 36 解得m 6 当m 6时 a 6 4 b 9 6 则a b a与b同向 不符合题意 当m 6时 a 6 4 b 9 6 则a b a与b反向符合题意 故选B 常见误区 防范措施 深入理解向量关系 防止错解利用向量平行的坐标表示解决共线问题时应关注两个向量的方向关系 由方向关系确定参数的取值 如本例中两向量共线且反向 参数的值应取负值 类题试解 已知A 1 3 B 2 4 a 2x 1 x2 3x 3 且a 则x A 1B 1或 4C 0D 4 解析 选A 1 1 又a 则由2x 1 1 解得x 1 由x2 3x 3 1 解得x 1或x 4 舍去 故选A