2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.1平面向量的概念及线性运算学案理.doc

2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.1平面向量的概念及线性运算学案理 [知识梳理] 1．向量的有关概念 2．向量的线性运算 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa. 特别提醒：(1)限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． (2)零向量与任何向量共线． (3)平行向量与起点无关． (4)若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，则＝(＋)．(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案　(1)√　(2)　(3)　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A4P78A组T5)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A. (2)(必修A4P92A组T12)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)． 答案　b－a　－a－b 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 3．小题热身 (1)设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D. (2)设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝________. 答案　 解析　∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝. 题型1　平面向量的基本概念 　　判断下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等； (2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； (3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； (4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； (5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 根据向量的相关概念判定． 解　(1)不正确． (2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． (3)正确，∵＝，∴||＝||且AB∥DC. 又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同．因此＝. (4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线． (5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b. 方法技巧 解决向量的概念问题应关注五点 1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量． 3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． 4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量． 5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 冲关针对训练 下列4个命题： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为________． 答案　(1)(2)(3) 解析　(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行． (3)不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线． (4)正确． 题型2　平面向量的线性运算 　　　如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 用向量的三角形法则转化． 答案　D 解析　在△CEF中，有＝＋. 因为点E是DC的中点，所以＝. 因为点F为BC的一个三等分点，所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故选D. 方法技巧 平面向量线性运算问题的求解策略 1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 3．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． 冲关针对训练 (xx昆明模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λAB＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　∵＝＋＝＋， ∴2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝.故选D. 题型3　共线向量定理及其应用 角度1　解决三点共线问题 　　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 本题用转化法、向量问题实数化． 证明　(1)若m＋n＝1， 则＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴与共线． 又∵B与B有公共点B，∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使＝λ， ∴－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共线，∴，不共线， ∴∴m＋n＝1. 角度2　利用共线求参数的取值 　　(xx南京模拟)已知如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，BF相交于P，连接DP，并延长交AB的延长线于点G，若＝x，＝y，＝z，则x＝________，y＝________，z＝________. 本题需作辅助线． 答案　　　 解析　如图，过E作EQ平行于AB，交BF于点Q，因为E为BC的中点，所以EQ平行于CD，且EQ＝CF，又因为点F为CD的中点，所以＝＝＝＝， 所以＝，所以x＝. 因为点Q为FB的中点， 所以＝＝， 所以y＝.因为＝＝， 所以＝＝， 所以＝，即z＝. 所以x＝，y＝，z＝. 角度3　共线定理与三角形的面积 　　(xx沈阳一模)在△ABC中，O为其内部一点，且满足＋＋3＝0，则△AOB和△AOC的面积比是(　　) A．3∶4 B．3∶2 C．1∶1 D．1∶3 本题采用并项法． 答案　D 解析　根据题意，如图，在△ABC中，设M为AC的中点， 则＋＝2， 又由＋＋3＝0， 则有2＝－3； 从而可得B，O，M三点共线，且2OM＝3BO； 由2OM＝3BO可得，＝＝， S△AOB＋S△BOC＝S△ABC， 又由S△AOB＝S△BOC，则S△AOB＝S△ABC， 则＝.故选D. 方法技巧 1．证明向量共线，对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．见角度1典例． 2．证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．见角度1典例． 3．利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决． 冲关针对训练 1．(xx长春模拟)e1，e2是平面内不共线的两向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　∵A，B，D三点共线，∴与共线， ∴存在实数λ，使得＝λ. ∵＝－＝3e1－e2－(2e1＋e2)＝e1－2e2， ∴e1－ke2＝λ(e1－2e2)， ∵e1、e2是平面内不共线的两向量，∴ 解得k＝2.故选B. 2．(xx大观区校级期末)设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足＝＋，则＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，∵＝＋， ∴－＝＝， ∴||＝||. ∵D是AB的中点，∴AD＝AB， ∴＝＝，故选C. 1．(xx郴州三模)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　设＝t， 则＝＝(＋)＝＋ ＝＋t＝＋(－) ＝＋ ∴λ＝－，μ＝ ∴λ＋μ＝.故选A. 2．(xx淮南模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设C＝y，则＝＋＝＋y ＝＋y(－) ＝－y＋(1＋y)， ∵＝3， 点O在线段CD上(与点C、D不重合)， ∴y∈， ∵＝x＋(1－x)， ∴x∈， 故选D. 3．(xx湖北模拟)若M为△ABC内一点，＝＋，则△ABM和△ABC的面积之比为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设＝，＝，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连接BM，则EF∥AB， ∴＝＝.故选A. 4．(xx全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________． 答案　90 解析　由＝可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90，所以与的夹角为90. [基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．(xx武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D. 2．已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝－ D.＝－－ 答案　D 解析　∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－(＋)＝－(＋)＝－(＋＋)＝－(2＋)＝－－.故选D. 3．(xx衡水中学三调)在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 答案　B 解析　根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋，又＝m＋， ∴解得故选B. 4．(xx石家庄一模)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，] D．(－1,0) 答案　B 解析　设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ， 所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B. 5．(xx广东模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案　B 解析　＝＝－＝＋(－)＝＋，即－＝＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B. 6．(xx广东七校联考)已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 答案　C 解析　因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，所以则mn＝1，故选C. 7．下列命题中是真命题的是(　　) ①对任意两向量a，b，均有：|a|－|b|<|a|＋|b|； ②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量； ③在△ABC中，＋－＝0； ④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0； ⑤－＝. A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．②③ 答案　D 解析　①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|. ∴①不成立． ②真命题．∵(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0， ∴a－b与b－a是相反向量．②成立． ③真命题．∵＋－＝－＝0，∴③成立． ④假命题．∵＋＝，＋＝， ∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0. ∴该命题不成立． ⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．故选D. 8．(xx泉州模拟)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题： ①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 答案　D 解析　由＝a，＝b，则＝＋＝－a－b.＝＋＝a＋b， ＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b. 所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，所以命题②③④正确．故选D. 9．(xx兰州模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，连接AM，BM，延长AC到D使AD＝3AC，延长AM到E使AE＝5AM，因为5＝＋3，所以＝5－3＝－＝. 连接BE，则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等)． 由于＝3，所以S△ABC＝S△ABD. 因为＝，所以S△AMB＝S△ABE，在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝S▱ABED， 故＝＝.故选C. 10．(xx伊宁市模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝(　　) A．3∶2∶1 B．2∶1∶3 C．1∶3∶2 D．1∶2∶3 答案　D 解析　如图所示，延长OB到D，使得BD＝OB，延长OC到E，使得CE＝2OC.连接AD，DE，AE. ∵＋2＋3＝0， ∴点O为△ADE的重心． ∴S△OBC＝S△ODE＝S△ADE＝S△ADE； S△AOC＝S△OAE＝S△ADE＝S△ADE； S△ABO＝S△OAD＝S△ADE＝S△ADE. ∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝∶∶＝1∶2∶3. 故选D. 二、填空题 11．(xx广西模拟)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　 解析　注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝. 12．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________. 答案　 解析　∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝ λ，∴解得λ＝，t＝，所以若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝. 13．(xx河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案　6 解析　如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以∠B1OC＝90. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30，|OC|＝2， 所以|OB1|＝2，|B1C|＝4， 所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 14．(xx沈阳模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 答案　2 解析　连接AO，∵O是BC的中点， ∴＝(＋)． 又∵＝m，＝n，∴＝＋. ∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2. 三、解答题 15．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 解　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴，共线． 又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝1. 16．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量. 解　设＝ma＋nb， 则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝－a＋b. 又∵A，M，D三点共线，∴与共线． ∴存在实数t，使得＝t， 即(m－1)a＋nb＝t. ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb. ∴消去t，得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.① 又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 又∵C，M，B三点共线，∴与共线， ∴存在实数t1，使得＝t1， ∴a＋nb＝t1， ∴ 消去t1，得4m＋n＝1.② 由 ①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.