2019版高考数学 2.6 幂函数与二次函数课件.ppt

第六节幂函数与二次函数 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 幂函数 定义 一般地 函数 叫做幂函数 其中 是自变量 为常数 y x x 幂函数的图象比较 2 二次函数 解析式 一般式 f x 顶点式 f x a x h 2 k a 0 顶点坐标为 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 ax2 bx c a 0 h k 图象与性质 b 0 2 必备结论教材提炼记一记 1 f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的横坐标是方程 的实根 2 若x1 x2为f x 0的实根 则f x 在x轴上截得的线段长应为 x1 x2 ax2 bx c 0 3 当 时 恒有f x 0 当 时 恒有f x 0 4 幂函数图象的性质 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 配方法 待定系数法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 3 记忆口诀 幂函数在第一象限的图象 正抛负双 大竖小横 说明 0且 1时图象是抛物线型 1时图象是竖直抛物线型 0 1时图象是横卧抛物线型 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数y 是幂函数 2 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 3 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 4 二次函数y ax2 bx c x m n 的最值一定是 解析 1 错误 不符合幂函数的定义 2 正确 因若相交 则x 0得y 0 若y 0 则得x 0 3 错误 幂函数y x 1在定义域上不单调 4 错误 当 m n 时 二次函数的最值 在区间端点达到 而非答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1P82A组T10改编 已知点M 3 在幂函数f x 的图象上 则f x 的表达式为 A f x x2B f x x 2C f x D f x 解析 选B 设幂函数的解析式为y x 则3 所以 2 即y x 2 2 必修1P79T1改编 设 1 1 3 则使函数y x 的定义域为R且为奇函数的所有 值为 A 1 3B 1 1C 1 3D 1 1 3 解析 选A 在函数y x 1 y x y y x3中 只有函数y x和y x3的定义域是R 且是奇函数 故 1 3 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 长沙模拟 函数y 的图象是 解析 选B 因为函数y 是幂函数 幂函数在第一象限内恒过点 1 1 排除A D 当x 1 0 1时 y x 在直线y x下方 排除C 2 2014 上海高考 若f x 则满足f x 0 若满足f x 0 即 所以因为y 是增函数 所以 1的解集为 0 1 即x的取值范围是 0 1 答案 0 1 3 2015 蚌埠模拟 函数y 3 的值域是 解析 因为2 2x x2 x 1 2 1 1 所以 1 所以y 2 答案 2 考点1幂函数的图象及性质 典例1 1 2015 长春模拟 若则a b c的大小关系是 A a b cB c a bC b c aD b a c 2 已知函数f x m2 m 1 xm2 m 3是幂函数 且x 0 时 f x 是增函数 则m的值为 A 1B 2C 1或2D 3 解题提示 1 利用幂函数与指数函数的单调性比较 2 先利用幂函数的定义确定出m的取值范围 再利用f x 在 0 上是增函数确定m的具体值 规范解答 1 选D 因为y 在第一象限内是增函数 所以 因为y 是减函数 所以 所以b a c 2 选B 因为f x 是幂函数 所以m2 m 1 1 解得m 1或m 2 当m 1时 m2 m 3 3 当m 2时 m2 m 3 3 f x x 3或f x x3 而易知f x x3在 0 上为增函数 f x x 3 在 0 上为减函数 所以m的值为2 易错警示 解答本例题 2 有三点容易出错 1 对幂函数的定义不明确 不能确定m2 m 1 1 2 对幂函数的图象不理解 不清楚x 0 时函数递增的含义 3 在求得m后没有进行检验 互动探究 本例 2 已知变为 幂函数f x t3 t 1 t N 是偶函数 则实数t的值如何 解析 因为函数是幂函数 所以t3 t 1 1 解得t 0或1或 1 当t 0时 函数是奇函数 当t 1时 函数是偶函数 当t 1时 函数是偶函数 故实数t的值为 1或1 规律方法 1 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 转化为同指数幂 再选择适当的函数 借助其单调性进行比较 2 幂函数的指数与图象特征的关系当 0 1时 幂函数y x 在第一象限的图象特征 变式训练 1 2015 南昌模拟 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 解析 选C 设幂函数的解析式为y x 因为幂函数y f x 的图象过点 4 2 所以2 4 解得 所以y 其定义域为 0 且是增函数 当0 x 1时 其图象在直线y x的上方 对照选项 故选C 2 已知f x 若0 a b 1 则下列各式正确的是 解析 选C 因为0 a b 1 所以0 a b 1 又函数f x 为增函数 所以f a f b 加固训练 1 2015 珠海模拟 已知幂函数y f x 的图象过点 则log4f 2 的值为 A B C 2D 2 解析 选A 设f x x 由图象过点 得 2 幂函数y x 1及直线y x y 1 x 1将平面直角坐标系的第一象限分成八个 卦限 如图所示 那么幂函数y 的图象经过的 卦限 是 A B C D 解析 选D 由0 x x 1时 y x知 y 的图象经过 卦限 故选D 3 当0g x f x 答案 h x g x f x 考点2求二次函数的解析式 典例2 1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 则此二次函数的解析式为 2 2015 长沙模拟 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 2x的解集为 1 3 若方程f x 6a 0有两个相等的根 则f x 的单调递增区间为 解题提示 1 根据条件 利用二次函数一般式 顶点式或零点式求解 2 先求出函数解析式 然后根据二次函数的图象确定其单调递增区间 规范解答 1 设f x ax2 bx c a 0 由题意得解得所以所求二次函数为f x 4x2 4x 7 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 方法一 利用顶点式 设f x a x m 2 n 因为f 2 f 1 所以抛物线的对称轴为x 所以m 又根据题意函数有最大值8 所以n 8 所以y f x 因为f 2 1 所以 8 1 解得a 4 所以f x 8 4x2 4x 7 方法二 利用零点式 由已知f x 1 0两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 即 8 解得a 4 所以所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 答案 f x 4x2 4x 7 2 因为f x 2x 0的解集为 1 3 设f x 2x a x 1 x 3 且a 0 所以f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0得ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 解得a 1或a 由于a 0 舍去a 1 将a 代入 式得f x 所以函数f x 的单调增区间是 3 答案 3 规律方法 求二次函数解析式的方法 变式训练 1 2015 合肥模拟 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b R x R 若函数f x 的最小值为f 1 0 则f x 解析 由题意知解得所以f x x2 2x 1 答案 x2 2x 1 2 2015 武汉模拟 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 解析 f x bx2 ab 2a x 2a2 由已知条件ab 2a 0 又f x 的值域为 4 则因此f x 2x2 4 答案 2x2 4 加固训练 1 若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 则f x 的解析式为 解析 由f 0 1 得c 1 所以f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x 所以a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 所以所以因此 f x x2 x 1 答案 f x x2 x 1 2 2015 绵阳模拟 如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中 其中OC 1 BC 1 OA 2 动点P从C出发沿折线段CBA运动到A 包括端点 设点P的横坐标为x 函数f x 1 求函数y f x 的解析式 2 作出函数y f x 的草图 并求f x 的单调递增区间 解析 1 由已知C 0 1 A 2 0 B 1 1 当点P位于线段BC上 即0 x 1时 点P x 1 于是 x 1 2 x 1 y x 2 x 1 x2 2x 1 当点P位于BA上 即1 x 2时 点P x 2 x 于是 x 2 x 2 x x 2 y x 2 x 2 x x 2 2x2 6x 4 于是函数f x 2 f x 的图象如图所示 由图象知 f x 的单调增区间为 考点3二次函数的图象和性质知 考情高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低 常与一元二次方程 一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点 以选择题 填空题的形式出现 考查二次函数的图象与性质的应用 明 角度命题角度1 二次函数的最值问题 典例3 2015 长沙模拟 已知函数y x2 ax 在区间 0 1 上的最大值是2 实数a的值为 解题提示 先求出二次函数的对称轴 然后讨论对称轴与 0 1 的关系 从而确定a的值 规范解答 y x a2 a 2 其图象的对称轴为x 当0 1 即0 a 2时 ymax a2 a 2 由 a2 a 2 2 得a 3或a 2 与0 a 2矛盾 舍去 当 0 即a 0时 y在 0 1 上单调递减 有ymax f 0 由f 0 2得 2解得a 6 当 1 即a 2时 y在 0 1 上单调递增 有ymax f 1 由f 1 2得 1 a 2 解得a 综上 得a 6或a 答案 6或 命题角度2 求解一元二次不等式恒成立问题 典例4 2015 石家庄模拟 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 解题提示 思路一 分a 0 a 0 a0求解 思路二 分离参数a得a 然后求g x 的最大值即可 规范解答 方法一 当a 0时 f x 由f x 0 x 1 4 得 所以a 1或 a 1或 即a 当a 0时 解得a 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 所以不合题意 综上可得 实数a的取值范围是a 答案 方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得a 在 1 4 上恒成立 令g x 所以g x max g 2 所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要a 即可 答案 悟 技法1 二次函数最值问题的类型及处理思路 1 类型 对称轴 区间都是给定的 对称轴动 区间固定 对称轴定 区间变动 2 解决这类问题的思路 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 1 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 2 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x a f x max a f x a f x min 通 一类1 2015 贵阳模拟 函数y ax2 bx与y ab 0 a b 在同一直角坐标系中的图象可能是 解析 选D 对A y ax2 bx满足得 b a 即 1 此时y 在 0 上单调递减 不符合 同理B C也不符合 对D y ax2 bx满足得 b a 即 1 此时y 在 0 上单调递减 故选D 2 2015 中山模拟 如图是二次函数y ax2 bx c图象的一部分 图象过点A 3 0 对称轴为x 1 给出下面四个结论 b2 4ac 2a b 1 a b c 0 5a b 其中正确的是 A B C D 解析 选B 因为图象与x轴交于两点 所以b2 4ac 0 即b2 4ac 正确 对称轴为x 1 即 1 2a b 0 错误 结合图象 当x 1时 y 0 即a b c 0 错误 由对称轴为x 1知 b 2a 又函数图象开口向下 所以a 0 所以5a 2a 即5a b 正确 3 2015 焦作模拟 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 解析 y x2 2x 3的对称轴为x 1 当m 1时 y f x 在 0 m 上为减函数 所以ymax f 0 3 ymin f m m2 2m 3 2 所以m 1 无解 当1 m 2时 ymin f 1 12 2 1 3 2 ymax f 0 3 当m 2时 ymax f m m2 2m 3 3 不满足题意 答案 1 2 4 2015 衡水模拟 已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 则实数a的取值范围是 解析 当x0 1 2 时 由f x x2 2x得f x0 1 3 又对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 所以当x1 1 2 时 g x1 1 3 当a 0时 解得a 综上所述 实数a的取值范围是 0 答案 0 巧思妙解2数形结合思想在解决二次函数问题中的妙用 典例 2015 中山模拟 设函数f x g x x2 bx b R 若y f x 的图象与y g x 的图象有且仅有两个不同的公共点A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当a0B 当a0 y1 y20时 x1 x20时 x1 x2 0 y1 y2 0 常规解法 选B 设F x x3 bx2 1 则方程F x 0与f x g x 同解 故其有且仅有两个不同零点x1 x2 由F x 0 得x 0或x 这样 必须且只需F 0 0或 0 因为F 0 1 故必有 0由此得b 不妨设x10 由此知y1 y2 巧妙解法 选B 在同一坐标系内画出f x 及g x x2 bx的草图如图所示 其中点A x1 y1 关于原点的对称点C也在函数y 的图象上 坐标为 x1 y1 而点B的坐标 x2 y2 在图象上也明显的显示出来 由图象可知 x1 x2 0 y1 y2 0 方法指导 1 利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题 二次函数的单调区间 二次函数在给定区间上的最值 借助二次函数求参数的范围 与二次函数相关的图象交点个数问题 2 二次函数问题利用数形结合的关键 准确作出二次函数的图象 结合图象求解 类题试解 2015 杭州模拟 已知函数f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8 设H1 x max f x g x H2 x min f x g x max p q 表示p q中的较大值 min p q 表示p q中的较小值 记H1 x 的最小值为A H2 x 的最大值为B 则A B A 16B 16C a2 2a 16D a2 2a 16 常规解法 选B 由f x g x 得 x a 2 4 所以当x a 2和x a 2时 两函数值相等 f x 图象为开口向上的抛物线 g x 图象为开口向下的抛物线 两图象在x a 2和x a 2处相交 则所以A H1 x min f a 2 4a 4 B H2 x max g a 2 4a 12 所以A B 16 巧妙解法 选B f x 顶点坐标为 a 2 4a 4 g x 顶点坐标 a 2 4a 12 并且f x 与g x 的顶点都在对方的图象上 图象如图 由题意知 A B分别为两个二次函数顶点的纵坐标 所以A B 4a 4 4a 12 16