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10.2双曲线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形、标准方程.2016浙江,7双曲线的标准方程椭圆、离心率双曲线的几何性质1.理解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2018浙江,2双曲线的焦点坐标2016浙江,7,文13双曲线的离心率椭圆、双曲线的定义和标准方程2015浙江,9双曲线的渐近线双曲线的定义和标准方程2014浙江,16双曲线的渐近线、离心率直线与双曲线的位置关系分析解读1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计2020年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,8)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点.若|PF2|,|PO|,|PF1|成等比数列,则双曲线的离心率为() A.2B.3C.2D.5答案A2.(2018浙江宁波高三期末,15)已知双曲线C的渐近线方程是y=22x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为,若点N的坐标为(0,6),M是双曲线C左支上的一点,则FMN周长的最小值为.答案x2-y28=1;65+2考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江重点中学12月联考,2)双曲线y29-x24=1的离心率是()A.52B.53C.132D.133答案D2.(2018浙江名校协作体期初联考,2)双曲线y29-x24=1的渐近线方程是()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案C炼技法【方法集训】方法求双曲线离心率(范围)的常用方法1.(2018浙江金华十校模拟(4月),2)双曲线x24-y2=1的离心率为() A.5B.3C.52D.32答案C2.(2018浙江萧山九中12月月考,9)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,位于第一象限的点P在l1上,若l2PF1,l2PF2,则双曲线的离心率是()A.5B.3C.2D.2答案C过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一双曲线的定义和标准方程 (2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(27,8)考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e20,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案52B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津文,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.x23-y29=1B.x29-y23=1C.x24-y212=1D.x212-y24=1答案A2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1答案B4.(2016课标全国,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A5.(2015天津,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x221-y228=1B.x228-y221=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1答案D6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是.答案210考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国文,10,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22答案D2.(2018课标全国理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案C3.(2018课标全国理,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3C.23D.4答案B4.(2015课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是.答案26.(2017课标全国理,15,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案233C组教师专用题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国理, 5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为() A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案C3.(2015福建,3,5分)若双曲线E:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案B4.(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线x2cos2-y2sin2=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案A5.(2014天津,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为() A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案A6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.24D.23答案A考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国理,5,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A2.(2017课标全国文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.B.C.D.答案D3.(2017课标全国理,9,5分)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案A4.(2016天津,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D5.(2016课标全国,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为()A.2B.C.3D.2答案A6.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1D.y2-x24=1答案C7.(2015课标,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案D8.(2015重庆,10,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-2,0)(0,2)D.(-,-2)(2,+)答案A9.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.43答案D10.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2答案D11.(2014广东,4,5分)若实数k满足0k0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m答案A13.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案A14.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案B15.(2018北京文,12,5分)若双曲线x2a2-y24=1(a0)的离心率为52,则a=.答案416.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案217.(2017课标全国文,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.答案518.(2016北京,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案219.(2015北京,10,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的一条渐近线为3x+y=0,则a=.答案3320.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:x2a2-y2b2=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案521.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案22.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与y24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案x23-y212=1;y=2x23.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:x2a2-y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,|MF|NF|恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=a2+1,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y= (x-c),解得Bc2,-c2a.又直线OA的方程为y=x,则Ac,ca,kAB=ca-c2ac-c2=.又因为ABOB,所以-1a=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为x0x3-y0y=1(y00),即y=x0x-33y0.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M2,2x0-33y0;直线l与直线x=的交点为N32,32x0-33y0,则|MF|2|NF|2=(2x0-3)2(3y0)214+32x0-32(3y0)2=(2x0-3)29y024+94(x0-2)2=(2x0-3)23y02+3(x0-2)2.因为P(x0,y0)是C上一点,则x023-y02=1,代入上式得|MF|2|NF|2=(2x0-3)2x02-3+3(x0-2)2=(2x0-3)24x02-12x0+9=,所求定值为|MF|NF|=23=233.评析本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应用能力、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点M与点N的坐标是解决本题的前提,注意点P(x0,y0)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推理论证能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,4)双曲线9y2-4x2=1的渐近线方程为() A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案C2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,9)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于它的实轴长,则该双曲线离心离e的取值范围是()A.1e2B.1e2D.e5答案B3.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),2)若y=2x是曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b0)的一条渐近线,则C的离心率为() A.3B.3C.62D.答案B4.(2018浙江诸暨高三期末,8)已知双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),F1,F2为其左,右焦点,若P是双曲线右支上的一点,且tanPF1F2=,tanPF2F1=2,则该双曲线的离心率为()A.5 B.52C.355D.3答案A5.(2018浙江高考模拟卷,5)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是() A.3+1B.3-1C.2D.3+12答案A6.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)已知双曲线右支上存在点P使得PAF=23,PA=AF,其中A是双曲线的右顶点,F是左焦点,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.23-2D.3+1答案C7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为()A.6-1B.3+12C.6+12D.6+1答案C8.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,以坐标原点O为圆心,|OF|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y轴右侧的两个交点记为A,B,且AFB=120,则双曲线的离心率为() A.2B.3C.2D.5答案C9.(2018浙江绍兴高三适应性模拟,7)如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,A为虚轴的一端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B,且AB=tBF(tR),则该双曲线的离心率为() A.2B.5C.1+32D.1+52答案D10.(2018浙江诸暨高三适应性考试,7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得的弦长为433,则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.62D.6答案B二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)11.(2018浙江嵊州高三期末质检,12)已知双曲线C:x22-y2t=1(t0)的其中一条渐近线经过点(1,1),则该双曲线的右顶点的坐标为,渐近线方程为.答案(2,0);y=x12.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若AF=3FB,则此双曲线的离心率为.答案6213.(2017浙江名校协作体联考,16)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若OP=OA+OB,=425(,R),则双曲线的离心率e为 .答案
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