2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理学案 新人教B版选修2-2.doc

1.4.2微积分基本定理1理解微积分基本定理的含义2会用定理求定积分微积分基本定理(1)F(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之_(2)微积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则f(x)dx_.其中F(x)叫做f(x)的一个_由于F(x)cf(x)，F(x)c也是f(x)的原函数，其中c为常数一般地，原函数在a，b上的改变量F(b)F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：_.(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法但当运用公式不能直接求积分时，需考虑用定积分的几何意义来解决(2)利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找出使F(x)f(x)的函数F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x)(3)求导运算与求原函数运算互为逆运算【做一做11】下列各式中，正确的是()AF(x)dxF(b)F(a)BF(x)dxF(a)F(b)CF(x)dxF(b)F(a)DF(x)dxF(a)F(b)【做一做12】计算(2x4)dx_.求定积分有哪些常用技巧？剖析：(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分题型一 利用微积分基本定理求函数的定积分【例题1】求下列定积分：(1)(2x2)2dx；(2)dx；(3)cos(x)dx.分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定理求解反思：(1)求f(x)dx一般分为两步：求f(x)的原函数F(x)，计算F(b)F(a)的值即为所求(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx.常数因子可提到积分符号外面，即kf(x)dxkf(x)dx.当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dxf(x)dx.定积分对区间的可加性，若ca，b，则有f(x)dxf(x)dxf(x)dx.题型二 几类特殊被积函数的定积分【例题2】求下列定积分：(1)dx；(2)若f(x)求f(x)dx；(3)dx.分析：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函数，再求定积分反思：(1)对于直接用微积分基本定理不易求解的题目，转化为用定积分的几何意义来求解，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键(2)对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和要注意各段定积分的上、下限的取值(3)对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分若是计算|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f(x)的正负，转化为分段函数求原积分题型三 利用定积分求平面图形的面积【例题3】下图中，阴影部分的面积是()A16 B18 C20 D22反思：求平面图形的面积的一般步骤是：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积的和，即各积分的绝对值之和1(sin xcos x)dx的值是()A0 B C2 D42曲线ycos x与坐标轴所围成的图形的面积是()A2 B3 C D43如图，阴影部分的面积是()A2 B2C D4计算dx_.5已知函数f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，则a_.答案：基础知识梳理(1)差(2)F(b)F(a)原函数f(x)dxF(x)F(b)F(a)【做一做11】C【做一做12】5(x24x)2x4，(2x4)dx(x24x)(5245)05.典型例题领悟【例题1】解：(1)(x22)2x44x24，又x44x24，(2x2)2dx(x44x24)dx.(2)，又，dx()dx2.(3)cos(x)cos xsin x，cos(x)dxdxcos xdxsin xdxsin xcos xsin0.【例题2】解：(1)设y，即(x3)2y225(y0)，dx表示圆(x3)2y225的面积的，dx.(2)f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3(sin xx)sin 1.(3)dxdx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx(cos xsin x)dx(sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x)2(1)【例题3】B由题意，阴影部分的面积Sdy18随堂练习巩固1C原式(cos xsin x)2.2B结合ycos x的图象可知，面积Scos xdxcos xdxsin xsin x123.3CS(3x22x)dx.41dxln xln eln 1101.51或(3x22x1)dx(x3x2x)4.2(3a22a1)4，即3a22a10，a1或a.