山东省济南市2019届高三数学3月模拟考试试卷 理（含解析）.doc

山东省济南市2019届高三数学3月模拟考试试卷 理（含解析）本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算，然后得到，再确定是在复平面的象限.【详解】z=1+2i2+i=1+2i2i5=45+35iz=4535i，所以在复平面对应的点位于第四象限.故选D项.【点睛】复数的四则运算，与的关系，复数与复平面的关系.2.已知全集U=x|x|2，集合P=x|log2x1，则CUP=（ ）A. (2,0B. (2,1C. (0,1)D. 1,2)【答案】A【解析】【分析】对集合P和U进行化简，然后求得CUP.【详解】集合U中：x2，2x2，集合P中：log2x1，0x2CUP=x|2x0故选A项.【点睛】考查集合补集的求法，属于简单题.3.已知an为等比数列，若a3=2，a5=8，则a7=（ ）A. 64B. 32C. 64D. 32【答案】B【解析】【分析】法一：由等比数列a3,a5可求得q2，再由a5和q2求得a7.法二：由等比数列的性质，等比中项求得.【详解】法一：an为等比数列，且a3=2,a5=8q2=a5a3=4， a7=a5q2=32法二：an为等比数列a52=a3a7 a7=32【点睛】本题考查等比数列求公比和其中一项的值，等比中项，属于简单题.4.随着我国经济实力的不断提升，居民收人也在不断增加。某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A. 该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B. 该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C. 该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D. 该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍【答案】C【解析】【分析】2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以在计算实际消费额时，需要对2018年的各项消费占比乘以2，再与2014年各项消费额相比.【详解】选项A中，2018年食品消费占0.2，2014年食品消费占0.4，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A项错误.选项B中，2018年教育医疗消费占0.2，2014年教育医疗消费占0.2，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年教育医疗消费额是2014年的两倍，故B项错误.选项C中，2018年休闲旅游消费占0.25，2014年休闲旅游消费占0.1，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年休闲旅游消费消费额是2014年的五倍，故C项正确.选项D中，2018年生活用品消费占0.3，2014年生活用品消费占0.15，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年生活用品消费额是2014年的四倍，故D项错误.【点睛】读懂折线图中所对应的数据，注意总量的变化，属于简单题5.已知实数x，y满足约束条件xy+30x+2y0x2，则z=3x+y的最小值为（ ）A. 5B. 2C. 7D. 11【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【详解】由约束条件xy+30x+2y0x2，画出可行域ABC如图z=3x+y变为y=3x+z为斜率为-3的一簇平行线，为在y轴的截距，最小的时候为过C点的时候，解xy+3=0x+2y=0得x=2y=1所以C2,1，此时z=3x+y=32+1=5故选A项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.6.2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ）A. 16B. 13C. 23D. 56【答案】D【解析】【分析】可以找事件的反面，即小王和小李都被选中的概率，然后用1减去，得到结果.【详解】设小王和小李都被选中为事件M，则PM=16，则小王和小李至多一人被选中的概率为116=56，故选D.【点睛】对于至多，至少之类的概率题，可以找其反面概率，然后用1减去后得到结果，古典概型.属于简单题.7.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2019，则输出的y值为（ ）A. 18B. 14C. 12D. 1【答案】C【解析】【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x的值减少4，当x0时，得到y=2x的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x的值减少4，输入x=2019，因为2019除以4余3，经过多次循环后x=3，再经过一次循环后x=1满足x0的条件，输出y=2x=21=12【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x的值，得到输出值.属于简单题.8.若log2x=log3y=log5z1，则（ ）A. 2x3y5zB. 5z3y2xC. 3y2x5zD. 5z2x3y【答案】B【解析】【分析】利用k=log2x=log3y=log5z1，把x,y,z用k表示，并得到2x,3y,5z，构造幂函数，利用幂函数的单调性，得到结果.【详解】log2x=log3y=log5z1设k=log2x=log3y=log5z，则k1，则x=2k,y=3k,z=5k则2x=2k+1,3y=3k+1,5z=5k+1设函数ft=tk+1，k1,k+10ft在t0,+单调递减f5f3f2即5k+13k+12k+1，因此5z3y0)在0,上的值域为12,1，则的最小值为（ ）A. 23B. 34C. 43D. 32【答案】A【解析】【分析】要使fx的值域为-12,1，得到x的范围要求，则x-6要在其范围内，然后得到的范围，找到最小值.【详解】0x-6x-6-6而fx值域为-12,1，发现f0=sin-6=-122-656，整理得231，则最小值为23，选A项.【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.11.设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（ ）A. 23B. 34C. 53D. 74【答案】C【解析】【分析】根据AF2=2F2B表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出a,c关系，求出离心率.【详解】AF2=2F2B设BF2=x，则AF2=2x由椭圆的定义，可以得到AF1=2a2x,BF1=2axAF1AF2=0,AF1AF2在RtAF1B中，有2a2x2+3x2=2ax2，解得x=a3AF2=2a3,AF1=4a3在RtAF1F2中，有4a32+2a32=2c2整理得c2a2=59，e=ca=53故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出a,c关系，得到离心率.属于中档题.12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=x2，直线为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为1的圆锥；图是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图是底面边长和高均为1的正四棱锥；图是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.【详解】几何体T是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的横坐标为x2fx=x2,fx=2x，k=f1=2切线为y1=2x1，即y=2x1，x12=y,x2=y+12横截面面积s=x22x12 =y+124y=y122图中的圆锥高为1，底面半径为12，可以看成由直线y=2x+1绕y轴旋转得到横截面的面积为s=x2=y122.所以几何体T和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a，b满足a=(1,3)，|b|=3，a(ab)，则a与b夹角的余弦值为_.【答案】23【解析】【分析】由aab得到aab=0，展开后将已知条件带入，即可得到答案.【详解】a=1,3,a=1+32=2aab，aab=0，即a2ab=0设a,b之间的夹角为，则a2abcos=0423cos=0,cos=23【点睛】本题考查向量位置关系，模长的基本运算和向量数量积的相关内容，难度不大，属于简单题.14.1x1(x+1)5的展开式中，x的系数为_（用数字作答）.【答案】-5【解析】【分析】x+15展开式与1x1相乘得到x项，则展开式中x2项与1x相乘，x项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求x的系数，则x+15展开式中x2项与1x相乘，x项与-1相乘，所以展开式中x2项为C51x4=5x2与1x相乘得到5x，展开式中x项为C53x2=10x，与-1相乘得到10x，所以x的系数为10+5=5【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.15.已知函数f(x)=x22ax+9,x1,x+4x+a,x1,，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是_【答案】a2【解析】【分析】x1，可得fx在x=2时，最小值为4+a，x1时，要使得最小值为f1，则fx对称轴x=a在1的右边，且f14+a，求解出a即满足fx最小值为f1.【详解】当x1，fx=x+4x+a4+a，当且仅当x=2时，等号成立.当x1时，fx=x22ax+9为二次函数，要想在x=1处取最小，则对称轴要满足x=a1并且f14+a，即12a+9a+4，解得a2.【点睛】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.16.已知一族双曲线En:x2y2=n2019（nN*，且n2019），设直线x=2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记AnBnCn的面积为an，则a1+a2+a3+a2019=_.【答案】5052【解析】【分析】设点坐标Anx0,y0，表示出AnBnCn的面积，得到an的通项，然后对其求前2019项的和.【详解】设Anx0,y0，双曲线En:x2y2=n2019的渐近线为x+y=0,xy=0，互相垂直.点Anx0,y0在两条渐近线上的射影为Bn,Cn，则AnBn=x0y02,AnCn=x0+y02易知AnBnCn为直角三角形，SAnBnCn=12x0y02x0+y02=x02y024=n20194即an=n20194为等差数列，其前2019项的和为S2019=a1+a201920192=120194+20192019420192=5052【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知2bsinC=acosC +ccosA，B=23，c=3.（1）求角C；（2）若点E满足AE=2EC，求BE的长.【答案】（1）C=6；（2）BE=1【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sinC的值，从而得到角C的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sinC的值，从而得到角C的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC中把边和角都解出来，然后在ABE中利用余弦定理求解；解法二：在ABC中把边和角都解出来，然后在BCE中利用余弦定理求解；解法三：将BE用BA,BC表示，平方后求出BE的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sinBsinC=sinAcosC+sinCcosA，又sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin(-B)=sinB，所以2sinBsinC=sinB.由于sinB=320，则sinC=12.又因为0C0，所以sinC=12.又因为0C0.所以sinC=12.又因为0C3，所以C=6.（2）【解法1】由正弦定理易知bsinB=csinC=23，解得b=3.又因为AE=2EC，所以AE=23AC=23b，即AE=2.在ABC中，因为B=23，C=6，所以A=6，所以在ABE中，A=6，AB=3，AE=2由余弦定理得BE=AB2+AE2-2ABAEcos6=3+4-23232=1，所以BE=1.【解法2】在ABC中，因为B=23，C=6，所以A=6，a=c=3.由余弦定理得b=(3)2+(3)2-233cos23=3.因为AE=2EC，所以EC=13AC=1.在BCE中，C=6，BC=3，CE=1由余弦定理得BE=BC2+EC2-2BCECcos6=3+1-23132=1所以BE=1.【解法3】在ABC中，因为B=23，C=6，所以A=6，a=c=3.因为AE=2EC，所以BE=13BA+23BC.则|BE|2=19(BA+2BC)2=19|BA|2+4BABC+4|BC|2=193-43312+43=1所以BE=1.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.18.如图，在四棱锥PABCD中，底而ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA=AB=2，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE=BF.（1）证明：平面PEF平面MBD；（2）当三棱锥FPEC的体积最大时，求二面角CMFE的余弦值【答案】（1）见解析；（2）63【解析】【分析】（1）连结AC交BD于N连结MN，则MNPA,MN面ABCD，MNAC,而ACBD，AC面BMD，易证EFAC，则EF面BMD，可得平面PEF平面MBD.解法二：通过建立空间直角坐标系，找出平面PEF，平面MBD的法向量，通过法向量互相垂直来证明.（2）通过建立空间直角坐标系，找到两个平面法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的余弦值.【详解】（1）【解法一】：（综合法）证明：连接AC交BD于N，连接MN.因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，AN=BN，又因为PM=MC，所以MN/PA.由PA底面ABCD知，MN底面ABCD，又AC底面ABCD，所以ACMN；又BDMN=N；BD,MN平面MBD，所以AC平面MBD.在ABC中，因为BE=BF，BA=BC，所以BEBA=BFBC，即EF/AC，所以EF平面MBD.又EF平面PEF，所以平面PEF平面MBD.【解法二】（向量法）因为PA底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则P(0,0,2)，M(1,1,1)，B(2,0,0)，D(0,2,0).设E(t,0,0)，则F(2,2-t,0).PE=(t,0,-2)，PF=(2,2-t,-2)，MB=(1,-1,-1)，MD=(-1,1,-1).设m1=a1,b1,c1为平面PEF的一个法向量，则m1PE=0m1PF=0即ta1-2c1=02a1+(2-t)b1-2c1=0可取m1=(2,-2,t).设m2=a2,b2,c2为平面MBD的一个法向量，则m2MB=0m2MD=0即a2-b2-c2=0-a2+b2-c2=0可取m2=(1,1,0).因为m1m2=21-21+t0=0，所以m1m2.所以平面PEF平面MBD.（2）解：设BE=BF=x，由题意知，SCEF=12(2-x)x，又PA=2，所以VF-PEC=VP-EFC=1312(2-x)x2=13(2-x)x=-13(x-1)2+13.易知当三棱锥F-PEC的体积最大时，x=1，即此时E，F分别为棱AB，BC的中点.以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则C(2,2,0)，F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(1,1,1).MF=(1,0,-1)，FE=(-1,-1,0)，FC=(0,1,0).设n=x1,y1,z1是平面MEF的法向量，则nMF=0nFE=0即x1-z1=0-x1-y1=0可取n=(1,-1,1).设m=x2,y2,z2是平面MCF的法向量，则mMF=0mFC=0即x2-z2=0y2=0可取m=(1,0,1).则cos=nm|n|m|=232=63.由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角C-MF-E的余弦值为-63.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直的判定证明，面面垂直的判定证明，二面角的求法，属于中档题.19.设M是抛物线E:x2=2py(p0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为y=x1.（1）求E的方程；（2）已知过点(0,1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点.是否存在常数使得|AB|+|CD|=|AB|CD|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）E:x2=4y；（2）=14【解析】【分析】（1）通过直线y=x1与抛物线相切，=0，求出抛物线方程.（2）将所求的AB+CD=ABCD转化为=1AB+1CD，直曲联立得到x1+x2,x1x2，利用弦长公式表示出AB，同理得到CD，带入上式整理化简可得所求.【详解】（1）【解法一】由y=x-1x2=2py消y得x2-2px+2p=0.由题意得=4p2-8p=0，因为p0，所以p=2.故抛物线E:x2=4y【解法二】设Px0,x022p，由x2=2py得y=x22p，y=xp.由x0p=1x022p=x0-1解得p=2.故抛物线E:x2=4y.（2）假设存在常数使得|AB|+|CD|=|AB|CD|成立，则=1|AB|+1|CD|.由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为y=kx+1，则由y=kx+1x2=4y，消去y得，x2-4kx-4=0.设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=4k，x1x2=-4.所以|AB|=1+k2x1+x22-4x1x2 =1+k216k2+16=41+k2.（也可以由y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，得到|AB|=y1+y2+2=41+k2.）因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|=41+1k2.所以=1|AB|+1|CD|=141+k2+141+1k2=1+k241+k2=14.所以，存在常数=14使得|AB|+|CD|=|AB|CD|成立.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线相切的处理方式，弦长公式等，比较综合，对计算量的要求较高，属于中档题.20.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28，且n5,6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.【答案】（1）0.064；（2）见解析；（3）m=23，n=5.【解析】【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则一级12个滤芯，二级6个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到X可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.（3）因为m+n=28且n5,6，则可分为两类，即m=22,n=6和m=23,n=5，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.【详解】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯。设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)=0.40.40.4=0.064.（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4.由题意，X可能的取值为20，21，22，23，24，并且P(X=20)=0.20.2=0.04，P(X=21)=0.20.42=0.16，P(X=22)=0.40.4+0.20.42=0.32，P(X=23)=0.40.42=0.32，P(X=24)=0.40.4=0.16.所以X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16EX=200.04+210.16+220.32+230.32+240.16=22.4.（3）【解法一】因为m+n=28，n5,6，若m=22，n=6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为2280+2000.32+4000.16+6160=2848；若m=23，n=5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为2380+2000.16+5160+4000.4=2832.故m，n的值分别为23，5.【解法二】因为m+n=28，n5,6，若m=22，n=6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1（单位：元），则Y1176019602160p0.520.320.16EY1=17600.52+19600.32+21600.16=1888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2（单位：元），则Y2=6160=960，EY2=1960=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为EY1+EY2=1888+960=2848.若m=23，n=5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1（单位：元），则Z118402040p0.840.16EZ1=18400.84+20400.16=1872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2（单位：元），则Z28001200p0.60.4EZ2=8000.6+12000.4=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为EZ1+EZ2=1872+960=2832.故m，n的值分别为23，5.【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.21.已知函数f(x)=xlnxa2x2+(a1)x，其导函数f(x)的最大值为0.（1）求实数a的值；（2）若fx1+fx2=1x1x2，证明：x1+x22.【答案】（1）a=1；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对fx求导，然后根据导数形式对a进行分类讨论，通过导函数fx最大值为0，求得a的值.（2）要证x1+x22，则需证x22x1，再利用fx的单调性，证fx2F1，对Fx求导，研究其单调性和极值，得到结论.【详解】（1）由题意，函数f(x)的定义域为(0,+)，其导函数f(x)=lnx-a(x-1)记h(x)=f(x)则h(x)=1-axx.当a0时，h(x)=1-axx0恒成立，所以h(x)在(0,+)上单调递增，且h(1)=0.所以x(1,+)，有h(x)=f(x)0，故a0时不成立；当a0时，若x0,1a，则h(x)=1-axx0；若x1a,+，则h(x)=1-axx0.所以h(x)在0,1a单调递增，在1a,+单调递减。所以h(x)max=h1a=-lna+a-1=0.令g(a)=-lna+a-1，则g(a)=1-1a=a-1a.当0a1时，g(a)1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)的单减，在(1,+)单增.所以g(a)g(1)=0，故a=1.（2）当a=1时，f(x)=xlnx-12x2，则f(x)=1+lnx-x.由（1）知f(x)=1+lnx-x0恒成立，所以f(x)=xlnx-12x2在(0,+)上单调递减，且f(1)=-12，fx1+fx2=-1=2f(1)不妨设0x1x2，则0x112，只需证x22-x1，因为f(x)在(0,+)上单调递减，则只需证fx2f2-x1，又因为fx1+fx2=-1，则只需证-1-fx1-1.令F(x)=f(x)+f(2-x)（其中x(0,1)），且F(1)=-1.所以欲证f2-x1+fx1-1，只需证F(x)F(1),x(0,1)，由F(x)=f(x)-f(2-x)=1+lnx-x-(1+ln(2-x)-2+x)，整理得：F(x)=lnx-ln(2-x)+2(1-x),x(0,1)，F(x)=2(1-x)2x(2-x)0，x(0,1)所以F(x)=lnx-ln(2-x)+2(1-x)在区间(0,1)上单调递增，所以x(0,1)，F(x)=lnx-ln(2-x)+2(1-x)F(1)，x(0,1)，故x1+x22.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosy=1+3sin（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin+6=23.（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）射线OP的极坐标方程为=6，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线的交点为B，求线段AB的长.【答案】（1）x+3y43=0；（2）2【解析】【分析】）（1）将参数方程消参得到普通方程，利用x=cosy=sin，把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程.（2）解法一：利用极坐标的相关特点进行求解.解法二：将极坐标转化为直接坐标后进行求解.【详解】（1）由x=3cosy=1+3sin，可得：x=3cosy-1=3sin，所以x2+(y-1)2=3cos2+3sin2=3，所以曲线C的普通方程为x2+(y-1)2=3.由sin+6=23，可得32sin+12cos=23，所以32sin+12cos-23=0，所以直线的直角坐标方程为x+3y-43=0.（2）【解法一】曲线C的方程可化为x2+y2-2y-2=0，所以曲线C的极坐标方程为2-2sin-2=0.由题意设A1,6，B2,6，将=6代入2-2sin-2=0，可得：12-1-2=0，所以1=2或1=-1（舍去），将=6代入sin+6=23，可得：2=4，所以|AB|=1-2=2.【解法二】因为射线OP的极坐标方程为=6，所以射线OP的直角坐标方程为y=33x(x0)，由x2+(y-1)2=3y=33x(x0)解得A(3,1)，由x+3y-43=0y=33x(x0)解得B(23,2)，所以|AB|=(23-3)2+(2-1)2=2.【点睛】本题考查了参数方程化一般方程，极坐标与直角坐标之间的转化.属于简单题23.已知函数f(x)=|x2|+|2x1|.（1）求不等式f(x)3的解集；（2）若不等式f(x)ax的解集为空集，求实数a的取值范围.【答案】（1）0,2；（2）3aax对任意xR恒成立，分类讨论，去掉绝对值，利用一次函数保号性解决恒成立问题.【详解】（1）【解法一】由题意f(x)=-3x+3,x12x+1,12x23x-3,x2，当x12时，f(x)=-3x+33，解得x0，即0x12，当12x2时，f(x)=x+13，解得x2，即12x2，当x2时，f(x)=3x-33，解得x2，即x=2.综上所述，原不等式的解集为0,2.【解法二】由题意f(x)=-3x+3,x12x+1,12xax对任意xR恒成立，即函数y=ax的图象始终在函数y=f(x)的图象的下方，如图当直线y=ax过点A(2,3)以及与直线y=-3x+3平行时为临界点，所以-3a32.【解法2】不等式的解集为空集可转化为对任意恒成立，（i）当时，即恒成立，若，显然不合题意，若，即，则恒成立，符合题意，若，即，只需即可，解得，故，所以；（ii）当时，即恒成立，若，即，恒成立，符合题意，若，即，则恒成立，符合题意，若，即，只需即可，解得，故，所以；（iii）当时，即恒成立，若，即，只需即可，解得，故，若，即，则，不合题意，若，即，则恒成立，不合题意，所以；综上所述，-3a32.【点睛】利用分类讨论，数形结合都可以解决含绝对值的不等式，本题还涉及到划归与转化的数学思想，利用保号性解决恒成立问题，属于中档题.