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西安市2019届高三年级第一次质量检测理科数学注意事项：1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，则集合 .本题选择A选项.2.在复平面内，为虚数单位，复数z=1i对应的向量为OP，复数z2对应的向量为OQ，那么向量PQ对应的复数为（ ）A. 1iB. 1+iC. 1+iD. 1i【答案】D【解析】PQ=z2z=(1i)2(1i)=1i ,选D.3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）（A）直线AA1 （B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与EF都是异面直线，故选D考点：异面直线4.(x2+x+2)(1x21)5的展开式的常数项是（ ）A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值【详解】 x2+x+21x2-15=x2+x+2C501x25-C511x24+C521x23-C531x22+C541x2-1，展开式的常数项C54-2=3.故选:D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题5.函数y=2x23xex的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为y=2x2-3xex有两个零点x1=0,x2=32，所以排除B；当x=0.1时，y1，即a2+b20,b0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（ ）A. 2B. 2C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】设出焦点坐标，根据已知列出关于a、b、c的方程，然后求解离心率【详解】设F为(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：2bcba=3，可得2b2=3ac，即2c2-2a2=3ac，可得2e2-3e-2=0，e1，解得e=2.故应选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题12.设函数f(x)=ex+x2，g(x)=lnx+x23若实数a满足f(a)=0，g(b)=0则（ ）A. g(a)0f(b)B. f(b)0g(a)C. 0g(a)f(b)D. f(b)g(a)0【答案】A【解析】试题分析：对函数f(x)=ex+x2求导得f(x)=ex+1，函数单调递增，f(0)=10，由f(a)=0知0a1，同理对函数g(x)=lnx+x23求导，知在定义域内单调递增，g(1)=-21，所以g(a)00，函数单调递增，f(0)=10，进一步求得函数f(x)=ex+x2的零点0a1；同理对函数g(x)=lnx+x23求导，知在定义域内单调递增，g(1)=-21，所以g(a)010.828，所以有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量X可能取得值为0，1，2，3.PX=0=C73C103=724，PX=1=C72C31C103=2140，PX=2=C71C32C103=740，PX=3=C33C103=1120，X的分布列为 X0123 P 724 2140 740 1120则EX=0724+12140+2740+31120=0.9.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=2，PC=6.（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）若E为PA中点，求二面角E-BD-A的大小.【答案】（1）见解析；（2） 4【解析】【分析】（1）取AB中点H，连结PH，推导出PHAB，由勾股定理得PHHC，从而PH平面ABCD，由此能证明平面PAB平面ABCD（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系Hxyz，利用向量法能求出二面角E-BD-A【详解】（1）取AB中点H，连接PH，PAB是正三角形，H为AB中点，AB=2，PHAB，且PH=3.ABCD是矩形，AB=2，BC=2，CH=1+2=3.又PC=6，PC2=PH2+CH2，PHCH.ABCH=H，PH平面ABCD.PH平面PAB，平面PAB平面ABCD.（2）以H为原点,HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系H-xyz，则A1,0,0，B-1,0,0，P0,0,3，D1,2,0，E12,0,32，则BE=BA+AE=32,0,32，BD=2,2,0.设平面EBD的法向量为n=x,y,z，由nBD=0nBE=0，解得n=-32,62,32，即平面EBD的一个法向量为n=-32,62,32.又平面ABD的一个法向量为HP=0,0,3，设二面角E-BD-A的平面角为，cos=cosn,HP=nHPnHP=22，又0,2，=4，二面角E-BD-A的平面角为4.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，离心率为12，过右焦点F的直线与椭圆C交于不同两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0).（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围.【答案】（1）x24+y23=1； （2）312,312.【解析】【分析】（1）由题意可知：2b23，ca=12，则a2c，代入a2b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，设直线MN的方程为yk（x1）（k0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x0，得y0=3k3+4k2=13k+4k，利用基本不等式，即可求y0的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到y0的取值范围【详解】（1）由题意可得：2b=23，ca=12，又a2=b2+c2，联立解得b=3，a=2，c=1.椭圆C的方程为x24+y23=1.（2）当斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，中点T(x,y)，把y=k(x-1)代入椭圆方程，得到方程(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，x=4k24k2+3，y=k(x-1)=-3k4k2+3，所以MN的中垂线的方程为y-y=-1k(x-x)，令x=0，得y0=1kx+y=k4k2+3=14k+3k，当k0时，4k+3k43，则y0(0,312；当k0，且函数F(x)=f(x)ex在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g(x)=ex+2ex，若在1,e上至少存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数p的取值范围.【答案】（1）p1,+；（2）p(4ee2-1,+)【解析】【分析】（1）Fxpx-px-2lnx，求其导函数，利用F（x）在定义域（0，+）内为增函数，得Fx0在（0，+）上恒成立，得p2xx2+1，设hx=2xx2+1(x0)，利用导数求hx最大值可得正实数p的取值范围；（2）设函数xf（x）g（x）pxp+2ex-2lnx，x1，e，转化为x 在1，e上至少存在一点x0，使得x00xmax0x1,e，求函数x的导函数，然后对p分类求x 的最大值即可.【详解】（1）Fx=fx-ex=px-px-2lnx，Fx=p+px2-2x=px2-2x+px2.由Fx定义域0,+内为增函数，所以Fx0在0,+上恒成立，所以px2-2x+p0即p2xx2+1，对任意x0恒成立，设hx=2xx2+1(x0)，hx=2x2+2-4x2x2+12=2-2x2x2+12=0的根为x=1得hx在0,1上单调递增，在1,+上单调递减，则hxmax=h1=1，所以ph1=1，即p1,+.（2）设函数x=fx-gx=px-p+2ex-2lnx，x1,e，因为在1,e上至少存在一点x0，使得x00成立，则xmax0x1,ex=p+p+2ex2-2x=px2-2x+p+2ex2，当p=0时，x=-2x+2ex20，则x在x1,e上单调递增，xmax=e=-40，舍；当p0，lnx0，则x0时，x=px2+1+2e-xx20，则x在x1,e上单调递增，xmax=e=pe-pe-40，得p4ee2-1，综上，p4ee2-1,+.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题22.选修4-4：坐标系及参数方程已知曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos(+4)=2.（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离OP的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求EA+EB的值.【答案】（1）xy2=0，|OP|max=3（2）|EA|+|EB|=635【解析】【试题分析】(I)将C2方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得OP的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得EA+EB的值.【试题解析】（）由cos(+4)=2得(22cos-22sin)=2，即曲线C2的直角坐标方程为x-y-2=0根据题意得|OP|=9cos2+sin2=8cos2+1， 因此曲线C1上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max=3 （）由（）知直线x-y-2=0与x轴交点E的坐标为2,0，曲线C2的参数方程为:x=22t+2y=22tt为参数，曲线C1的直角坐标方程为x29+y2=1 联立得5t2+22t-5=08分又|EA|+|EB|=|t1|+|t2|，所以|EA|+|EB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=63523.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=3xa.（1）当a=4时，求不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（）x|13x1，即可求解实数a的取值范围.试题解析：（）当a=4时，f(x)=3x-4.由3x-43，解得13x73.所以，不等式f(x)3的解集为x|13x73.（） （当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.所以，实数的取值范围为.
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