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2019-2020年高中数学 组合 1.3.3 组合的应用教学设计 新人教A版选修2-3教学目标:1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;2、能够解决一些组合应用问题 教学重点:解决一些组合应用问题 教学过程一、复习引入:1.组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明:不同元素;“只取不排”无序性;相同组合:元素相同2组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示3组合数公式的推导:(1)一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步: 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数; 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:(2)组合数的公式:或4.组合数的性质1:5.组合数的性质2:+二、讲解新课:典例分析例1将1,2,3,9这9个数字填在如下图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为()34A. 6种 B. 12种C. 18种 D. 24种答案:A解析:第一行从左到右前面两个格子只能安排1,2,最右下角的格子只能是9,这样只要在剩余的四个数字中选取两个,安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大),剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中 (由小到大),故总的方法数是C6.例2从编号为1,2,3,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法? 解:分为三类:1奇4偶有 ; 3奇2偶有; 5奇1偶有,一共有+例3现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其 中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?解:我们可以分为三类:让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有;让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有;让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有,一共有+42种方法例4甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ?解法一:(排除法)解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有;另一类为甲不值周一,但值周六,有,一共有+42种方法例56本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法?解:第一步:从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法;第二步:将5个“不同元素(书)”分给5个人有种方法根据分步计数原理,一共有1800种方法 例6、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本解:(1)无序不均匀分组问题先选1本,有C种选法;再从余下的5本中选2本,有C种选法;最后余下3本全选,有C种选法故共有分配方式CCC60(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有分配方式CCCA360(种)(3)无序均匀分组问题先分三组,则应是CCC种方法,但是这里出现了重复不妨记六本书为A, B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则CCC种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A种情况,而这A种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有15(种)(4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式ACCC90(种)(5)无序部分均匀分组问题共有分配方式15(种)(6)有序部分均匀分组问题在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式A90(种)(7)直接分配问题甲选1本,有C种方法;乙从余下的5本中选1本,有C种方法;余下4本留给丙,有C种方法共有分配方式CCC30(种)课堂小节:本节课学习了组合的应用课堂练习:1已知集合A1,2,3,4,B5,6,7,C8,9现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成的集合个数为()A24 B36C26 D27解析:分三类:第一类:选集合A、B可组成CC12个集合;第二类:选集合A、C可组成CC8个集合;第三类:选集合B、C可组成CC6个集合由分类加法计数原理,可组成128626个集合答案:C2(1)3人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有空位,则不同坐法的种数为几种?(2)有5个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?(3)现有10个保送上大学的名额,分配给7所学校,每校至少有1个名额,问名额分配的方法共有多少种?解析:(1)由题意知有5个座位都是空的,我们把3个人看成是坐在座位上的人,往5个空座的空档插,由于这5个空座位之间共有4个空,3个人去插,共有A24(种)(2)总的排法数为A120(种),甲在乙的右边的排法数为A60(种)(3)解法一每个学校至少一个名额,则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类:若3个名额分到一所学校有7种方法;若分配到2所学校有C242(种);若分配到3所学校有C35(种)共有7423584(种)方法解法二10个元素之间有9个间隔,要求分成7份,相当于用6块档板插在9个间隔中,共有C84种不同方法所以名额分配的方法共有84种
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