连续时间信号的傅里叶分析上课.ppt

信号与系统Signalsandsystems 第三章连续时间信号的傅立叶分析Fourieranalysisofcontinuoustimesignals 引言 时域分析的要点是 以冲激函数为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数 f t f t 能否分解为其他简单信号的加权和 傅立叶级数 傅立叶级数 将周期信号展成三角函数或指数函数的形式 为何要这样展开 复指数信号通过LTI系统 常数 H s est 3 1LTI连续时间系统对复指数信号的响应 复指数信号通过LTI系统 思考 如果信号 能表示为 由系统的线性 和的响应等于响应的和 信号 通过LTI系统的响应为 3 2连续时间周期信号的复指数分解 傅立叶级数 周期为T的连续时间周期信号f t 可分解为复指数信号的线性组合 信号f t 的基波角频率 傅立叶级数表示FourierSeriesrepresentation 傅立叶级数系数FourierSeriescoefficient 3 2 1 3 2 3 傅氏级数的物理意义 展开傅立叶级数 直流分量 一次谐波 二次谐波 k次谐波 f t 3 2 4 3 2 5 傅氏级数例题 欧拉公式 例3 2 1已知连续时间信号求其傅立叶级数表示式及傅氏系数解 傅氏级数例题 例3 2 2连续时间周期脉冲信号f t 如图 求其傅立叶级数表示式 解 f t 周期为T基波角频率 抽样函数 傅氏级数例题 2 取T 8T1 3 2 9 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量 各分量所占的比重怎样 就采用了称为频谱图的表示方法 如果以频率为横轴 以幅度或相位为纵轴 绘出ak及 的变化关系 便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况 这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱 周期信号的频谱 傅氏级数例题 2 取T 4T1 3 2 9 傅氏级数例题 取T 4T1 取T 8T1 周期信号的频谱特点 1 离散性 谱线是离散的而不是连续的 谱线之间的间隔为 这种频谱常称为离散频谱 2 谐波性 谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍 3 收敛性 各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小 当谐波次数无限增高时 谱线的高度也无限减小 傅氏级数的收敛 傅氏级数的收敛条件 狄里赫利条件 Dirichletcondition 1 信号f t 在任意一个周期T内绝对可积 2 3 信号f t 在任意一个周期T内 只有有限个极大和极小值点 信号f t 在任意一个周期T内 只有有限个间断点 而且在这些间断点处f t 必须是有限值 3 2 21 周期信号的傅立叶级数 不满足狄里赫利条件的周期信号 狄里赫利条件信号f t 在任意一个周期T内绝对可积信号f t 在任意一个周期T内 只有有限个极大和极小值点信号f t 在任意一个周期T内 只有有限个间断点 而且在这些间断点处f t 必须是有限值 1 2 3 吉布斯现象 满足狄里赫利条件的周期信号可以用傅立叶级数表示 在实际应用中 通常只能取有限项傅氏级数来近似 N越大 近似误差越小 项数趋于无穷时的极限就是理想的傅立叶级数表示 共2N 1项 3 2 22 3 2 23 吉布斯现象 取N 1 5 21 81 用有限项傅氏级数逼近连续时间周期脉冲信号f t 周期信号通过LTI连续时间系统 LTI特性 周期信号通过LTI系统的响应 仍是一个由原谐波分量线性组合而成的周期信号 特征值 周期信号通过LTI连续时间系统 周期信号通过LTI系统的响应的求解步骤 1 计算傅氏级数系数 得到傅氏级数表达式 2 计算特征值 得到系统响应 周期信号通过LTI系统例题 例3 2 4LTI系统的冲激响应为求如图周期信号f t 通过该系统的响应y t 解 1 求傅氏级数系数 f t 的傅氏级数表示 周期信号通过LTI系统例题 2 求f t 通过LTI系统后各谐波分量的特征值 系统响应 3 3连续时间非周期信号的复指数分解 傅立叶变换 周期信号可分解为复指数信号之和 傅立叶级数 非周期信号能否分解为复指数信号之和 周期信号fT t 非周期信号f t 周期T 演示 周期方波信号的非周期演变 周期方波信号fT t 非周期信号f t 周期T 3 3 1 3 3连续时间非周期信号的复指数分解 傅立叶变换 假设f t 是周期为T的周期信号 则f t 一定可以写成 傅立叶反变换 傅立叶变换 傅立叶变换FourierTransform 傅立叶逆变换InverseFourierTransform f t 称为信号的时域表示 F 称为信号的频域表示 信号f t 与其傅氏变换F 一一对应 傅氏变换的物理意义 傅氏逆变换式可写为 非周期信号可以分解为无穷多个复指数信号之和 傅氏变换称为信号的频谱密度函数 复指数信号的幅度为 幅度谱 相位谱 3 3 9 1 F 是一个密度函数的概念 2 F 是一个连续谱 3 F 包含了从零到无限高频所有频率分量 4 各频率分量的频率不成谐波关系 常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 3 3 11 常用信号的傅立叶变换 双边指数信号 3 3 13 常用信号的傅立叶变换 矩形脉冲信号 门函数 3 3 14 常用信号的傅立叶变换 单位冲激信号 单位冲激信号的傅立叶变换的幅度恒为1 单位冲激信号等幅地包含所有频率成份 常用系统的单位冲激响应来描述LTI连续时间系统 3 3 15 物理意义 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量 因此 这种频谱常称为 均匀谱 或 白色谱 常用信号的傅立叶变换 信号 傅氏变换的收敛 傅氏变换的存在条件 狄里赫利条件 1 信号f t 绝对可积 2 3 信号f t 在任意有限区间内 只有有限个极大和极小值点 信号f t 在任意有限区间内 只有有限个间断点 而且在这些间断点处f t 必须是有限值 3 3 18 吉布斯现象 满足狄里赫利条件的连续时间信号存在傅氏变换 可以用傅氏逆变换表示 然而当积分区间只取有限频段近似时 和周期信号的情况一样 在f t 的跳变点附近会出现吉布斯现象 3 3 19 3 4傅立叶变换的性质 傅立叶变换的性质从不同侧面反映了一个信号的时域特性和频域描述间的对应关系掌握这些性质对理解和认识傅氏变换的实质及熟练应用傅氏变换解决信号处理中的具体问题十分重要 线性 若 则 其中 为任意常数 两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅氏变换的加权求和 线性同样适用于多个信号加权求和的情况 3 4 1 1 线性 已知信号 根据线性 其傅氏变换为 已知信号f t 的傅氏变换 根据线性 该信号为 2 时移特性 信号的时移不改变其傅立叶变换的幅度谱 仅在其相位谱上增加的相移 若则 3 4 2 2 时移特性 已知 根据时移特性 已知 根据时移特性 3 频移特性 若 则 信号在时域乘以一个复指数信号 其傅氏变换在频域被频移 3 4 6 例3 4 1利用傅氏变换的性质 求下列信号的傅氏变换 欧拉公式 1 复指数信号 2 余弦信号 3 正弦信号 解 1 2 频移特性 线性 欧拉公式 3 线性 例 调幅信号的频谱 载波技术 4 时间和频率标度 若 则 如果信号在时域上压缩 或扩展 倍 相应的傅立叶变换就在频域上扩展 或压缩 倍 该性质又称为傅氏变换的尺度变换特性 已知 根据尺度变换特性 演示 4 时间和频率标度 时宽为的门函数 时宽为的门函数 沿时间轴压缩两倍 时域反转特性 在尺度变换特性中 令则 信号在时域上关于纵坐标反转 则其傅氏变换在频域上也反转 已知 a a 时域反转频域反转 时域压缩 时域展宽 时域中的压缩 扩展 等于频域中的扩展 压缩 例题 例3 4 2已知 求信号的傅氏变换 解 令 时移特性 令 尺度变换 3 4 18 5 共轭对称性 若 则 时域共轭频域共轭并且反转 f t 为实信号 6 对偶性 若 则 对某些信号 直接由定义式计算傅氏变换可能非常困难 但利用对偶性可使问题变得十分简单 3 4 29 傅氏变换的性质例题 例3 4 4求信号的傅氏变换 解 对偶性 直接计算积分困难 脉宽的矩形脉冲 矩形脉冲是实偶信号 令 3 4 31 傅氏变换的性质例题 若信号在时域为门函数 则其频谱为抽样函数若信号的频谱为门函数 则其时域为抽样函数 傅氏变换的性质例题 例3 4 5求信号的傅氏变换 解 对偶性 按傅氏变换定义式直接计算积分困难 双边指数信号 线性 3 4 32 7 时域卷积特性 若 则 两个信号在时域上的卷积 对应于两信号在频域上频谱的乘积 利用时域卷积特性可简化对LTI系统的响应的求解 傅氏变换的性质例题 例3 4 6已知一LTI连续时间系统冲激响应为 解 直接计算冲激响应与输入信号的卷积较困难 下面采用傅氏变换的时域卷积特性求解 时域卷积特性 求输入信号的响应 傅氏变换的性质例题 2 8 时域微分特性 若 则 信号f t 在时域求导 则对应其频谱在频域乘以 连续对f t 求导n次 则 3 4 35 3 4 36 8 时域微分特性 利用时域微分特性 对余弦信号的傅氏变换对利用时域微分特性 线性 整理 3 4 37 傅氏变换的性质例题 1 例3 4 8求下列信号的傅立叶变换 1 符号函数 2 阶跃信号 9 时域积分特性 若 则 3 4 41 10 能量定理 帕斯瓦尔关系 若 则 对信号功率的积分 对能量谱密度的积分 总能量 信号功率 单位时间内的能量 能量谱密度 单位频率内的能量 帕斯瓦尔关系Parseval srelation 帕斯瓦关系又称能量定理 3 4 43 连续时间信号f t 信号能量信号和功率信号 1 信号的瞬时功率 离散时间信号f n 连续时间信号f t 2 信号的能量 离散时间信号f n 5能量信号和功率信号 连续时间信号f t 3 信号的平均功率 离散时间信号f n 能量谱 帕斯瓦尔定理 11 幅度调制 时域相乘 特性 若 则 两个信号在时域相乘 对应它们在频域的卷积 两个信号在时域相乘 可以看成是用一个信号的幅度去改变 调制 另一个信号的幅度 所以称为幅度调制特性 3 4 45 傅氏变换的性质例题 例3 4 10已知信号f t 的频谱如图 求信号的傅立叶变换 频谱搬移形状不变幅度减半 傅氏变换的性质例题 例3 4 11求信号的频谱 解 幅度调制特性 卷积的微分积分特性 傅氏变换的性质例题 2 12 频域微分和积分特性 若 则 频域积分特性为 频域微分特性为 对求n阶导数 傅氏变换的性质例题 例3 4 12求信号的傅氏变换 解 频域微分特性 3 4 51 3 4 49 例 一升余弦脉冲 波形如图所示 表示为 试求f t 的傅里叶变换 求升余弦的FT 3 5周期信号的傅立叶变换 周期信号f t 傅立叶级数表示 复指数信号的傅立叶变换 周期信号f t 的傅立叶变换 3 5 1 周期信号的傅立叶变换 周期信号的傅立叶变换由冲激串组成冲激出现在各次谐波频率处 求周期信号傅氏变换的步骤 1 求傅氏级数系数 得到傅氏级数表示 2 求傅氏变换 第k个冲激的强度与相应的傅立叶级数系数成正比 例 冲激串信号 求其傅立叶变换 解 的傅氏系数 的傅氏级数表示 1 2 的傅氏变换 3 5 2 傅里叶生平 1768年生于法国1807年提出 任何周期信号都可用正弦函数级数表示 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在 热的分析理论 一书中 1822年法国数学家傅里叶 1768 1830 傅立叶的两个最主要的贡献 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点 例1 求 的傅立叶变换