近世代数课件-从“群”谈起.ppt

2020 1 28 数学与计算科学学院 从 群 谈起 辛林 2020 1 28 数学与计算科学学院 一 群 的起源1 法国数学家 近代代数学的创始人 伽罗瓦 E Galois 1811 1832 方程的根式求解一元一次方程 一元二次方程 一元三次方程 2020 1 28 数学与计算科学学院 一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程 三个根是 意大利数学家卡尔达诺 大术 1545年 其中是3次单位根 2020 1 28 数学与计算科学学院 一元四次方程 移项 两边加上 得 令右边的判别式为零 求得y的一个三次方程 求其根 代入上式 求得根x 卡尔达诺学生 费拉里发现 记载于 大术 中 2020 1 28 数学与计算科学学院 一般一元n次方程是否有类似的根式解 高斯 GaussC F 德国数学家 1777 1855 于1799年哥丁根大学完成的博士论文证明了代数基本定理 每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根 法国数学家 拉格朗日 1736 1813 预解式 德国数学家 高斯 分圆方程 挪威数学家 阿贝尔 1802 1829 2020 1 28 数学与计算科学学院 伽罗瓦的最主要功绩 首先提出根的置换概念 每一个方程都可以与一个置换群联系 从而用群论方法彻底解决的方程根式解问题 更重要的是 群论的引入 为现代代数学的发展奠定了基础 方程与群的联系 给定多项式f x 伽罗瓦群 其元素是的所有置换 称为f的分裂域 2020 1 28 数学与计算科学学院 2 抽象群 来源较多 难以准确说明 有克莱因抽象群说 也有凯莱抽象群说等 2020 1 28 数学与计算科学学院 二 群的其它应用1 化学分子对称群 分子对称群仅有32种 研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识 氨分子 1个氮原子N和3个氢原子H 2020 1 28 数学与计算科学学院 试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别 1 A为不动点 2 a b c在一个平面上为正三角形 作它们的对称变换 3 习惯上记氨的分子对称群记为 由6个元素组成 2020 1 28 数学与计算科学学院 水分子对称群 水分子 水分子对称群习惯记为 由4个元素组成 1 恒等变换 2 过O的轴的旋转180 o 3 分子所在平面HOH的反射 4 过O且垂直于H联线的平面的反射 2020 1 28 数学与计算科学学院 2 晶体分类 各种晶体中原子排列模型表明 这是一个有一定规则的多面体 可以利用空间格点加以表述 例 氯化纳 NaCl 晶体原子排列模型 白 钠原子氯 氯原子 2020 1 28 数学与计算科学学院 19世纪后半叶 科学家发现 1 晶体外形的全部对称形式 称为对称点群 共32种 2 晶体内部构造一切可能的对称形式 称为空间群 230种 晶体分类的数学理论是由俄国数学家E C 费多罗夫应用群的结构理论于1891年创立 1912年德国物理学家冯 劳厄利用X射线的衍射实验证实了晶体对称群的存在性 为此 他获得1914年度的诺贝尔物理奖 随后英国科学家布拉格父子利用劳厄方法和空间群的计算 给出了晶体中原子的固有排列形状 为此获得1915年诺贝尔物理学奖 2020 1 28 数学与计算科学学院 3 科学计算的重要方法 例设有一块正六边形的瓷砖 在六个顶点上分别染成三个白色和三个黑色 问有几种瓷砖图案 图示如下 计算结果 4种 2020 1 28 数学与计算科学学院 它们是 2020 1 28 数学与计算科学学院 如何计算 Burnside定理 设有限群G作用于有限集合M上 对G中每一个元素g 记g的不动元的集合为Fg 则M在G作用下的轨道数是 2020 1 28 数学与计算科学学院 4 编码理论 编码在数字通讯 计算机和数据处理等科学技术中有广泛应用 信源 2020 1 28 数学与计算科学学院 将信源的信息转化为数字信息传送给收信者称为数字通信 工程上最易实现的是二元数字信息的传送 二元数字信息就是有限长的二元n元数组 c1 cn 其中每一个ci Z2 二元n元数组可以表达2n种不同的符号 因此英文字母 数字及有关号码可用适当的二元n元数组表示之 为解决数字传输过程中可能出现的干扰 除采用各种技术处理外 常采用抗干扰编码的方法 2020 1 28 数学与计算科学学院 设Z2n是信息源的原始数字信息集合 取自然数m n 作单射E Z2nZ2m ImE称为码 ImE中元素称为码字 m称为码长 码字的分量称为码元 显然Z2m是域Z2上的向量空间 如果ImE是Z2m的子空间 称ImE是二元线性码 由于 Z2m 的子群与子空间一致 因此二元线性码也称为群码 特别地 当对某些特殊的编码函数E Z2nZ2m 可以使E成为群同态 比如 E Z2nZ2m使E X XG 其中G是一个n m矩阵 数字通信群的问题 2020 1 28 数学与计算科学学院 三 高中数学新课程 对称与群 选修课杂谈 1 起点 初中毕业 2 开课学期 高中阶段的任意一个学期 3 共计18学时 4 教学目的 1 学会用数学思想观察世界 落实到这一专题 应使学生了解群是研究和观察对称现象的一种数学方法 并能够应用群的方法对平面上基本图形的对称性进行观察 2020 1 28 数学与计算科学学院 2 掌握轴对称 中心对称的变换形式以及正确的表达方法 反射与旋转 3 掌握置换群的运算 特别是为什么这些运算有别于数的运算 4 了解一些数学史 特别是近代代数学是如何发展起来的 2020 1 28 数学与计算科学学院 5 难点 置换表达 2 置换运算 合成 2020 1 28 数学与计算科学学院 1 观察各种对称现象 引导对称性的正确表述 如轴对称 中心对称等 利用距离进行一些必要的计算以加深对称的理解 6 18学时安排参考 2 熟悉平面基本图形 等边三角形 正方形 正五边形等的对称轴 对称中心 并学会如何用符号标记它们 特别是对称轴过顶点时 应如何标记才是正确 如 a b 对称轴l用ab表示有什么问题 2020 1 28 数学与计算科学学院 3 平面刚体运动 利用平面刚体运动重新认识轴对称与中心对称 4 平面刚体运动的基本性质 直线变直线 线段变线段 射线变射线 如何理解平面刚体运动将平面上任意正n边形仍然变为形状和大小保持不变的正n边形 5 有不动点的平面刚体运动 仅一点不动的为旋转 仅一直线不动的为反射 6 平面图形K的对称变换 找出等边三角形 正方形 正五边形等基本图形的对称变换 2020 1 28 数学与计算科学学院 7 对称变换的运算 合成 8 进一步熟悉变换合成 变换表示 恒等变换 逆变换 9 合成的结合律 但一般情况下 没有交换律 用集合形式表达图形K上的所有对称变换 并引入乘法表 10 写出平面上常见图形的对称群 以及乘法表 写出某些化学分子对称群 11 n个文字上的一一对应表达方式 结合前面平面图形进行教学 2020 1 28 数学与计算科学学院 12 置换合成运算 写出用置换表达的平面图形K上对称群的乘法表 13 n个文字对称群与平面图形对称群的关系 14 多元多项式的表达 变元置换方法 15 对称多项式的表达 性质 如何找多元多项式的对称变换 16 抽象群的介绍 17 讲故事 近代代数学的起源 18 安排一次研究性学习 并进行学习总结报告 2020 1 28 数学与计算科学学院 谢谢大家