近世代数课件-2.2-3单位元逆元消去律.ppt

2 3 单位元 逆元 消去律 内容提要 2 1单位元2 2逆元2 3乘方2 4消去律2 5有限群的另一定义2 6加群2 7元素的阶 在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质 证明 证完 定义1一个群的唯一的能使 是的任意元 的元叫做群的单位元 证明 证完 定义2唯一的能使的元叫做元的逆元 有时简称逆 例 我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通乘法来说作成一个群 这个群的单位元 的逆元是 例 全体整数对于普通加法来说作成一个群 这个群的单位元是零 的逆元是 2 3乘方当是正整数时 我们已经规定过符号的意义 并且 现在我们利用唯一的单位元和的逆元规定 问题 2 4消去律定理 一个群的乘法适合VI 消去律 若 那么 若 那么 2 5有限群的另一定义假如一个群它一定满足 I 闭合性II 结合律VI 消去律现在我们反过来问 假定一个集合适合 VI 它是不是一定构成群 闭合性单位元 表里一定有一行元同横线上的元一样 也一定有一列元同垂线左边的元一样 逆元交换律注 结合律在表中不易看出 2 6加群定义3如果把一个交换群的运算称为加法 这个群就称为加群 加法用符号 例如 整数加群 群论里的许多符号都是因为把群的代数运算叫做了乘法才那样选择的 因此在加群里我们有选择新符号的必要 符号一改变 许多计算规则的形式当然也跟着改变 一个加群的唯一的单位元我们用0表示 并且把它叫做零元 0 0 是任意元 元的唯一的逆元我们用来表示 并且把它叫做的负元 简称负 这里第一个0是整数零 第二个0是加群的零元 运算律 这几个公式与乘法群的相当完全平行 我们要注意 这里的整数m n一般不是加群的元 2 7元素的阶还有一个重要的概念也是利用单位元来规定的 定义4群的一个元 能够使得 例4 刚好包含 的三个根 对于普通乘法来说这个 作成一个群 显然 是的单位元 的逆元是 的逆元是 的逆元是 问题1 在什么条件下 总结一般规律问题2 在什么条件下 总结一般规律问题3 的阶是什么 总结一般规律 作业P38 1 4