近世代数课件-第三章环与域.ppt

第三章环与域 加群 环的定义交换律 单位元 零因子 整环除环 域无零因子环的特征子环 环的同态多项式环理想剩余类环 同态与理想最大理想商域 2020 1 28 1加群 环的定义 定义 一个交换群叫做一个加群 假如将群的代数运算叫做加法 并且用称号 表示 即 加群中的唯一元用0表示 称为零元 元a的逆元用 a表示 则有运算规则 规定 则有 1加群 环的定义 0为 中零元 定义一个集合 叫做环 假如 1 是个加群 即 对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群 对于一个叫做乘法的运算来说是闭的 关于乘法满足结合律 关于乘法与加法满足分配律 则有运算规则 1加群 环的定义 2020 1 28 0为 中零元 1加群 环的定义 规定 则有 1加群 环的定义 2020 1 28 交换律 单位元 零因子 整环 定义一个环 叫做交换环 假如 其中a b为 中任意元 所以有 定义一个环 的一个元e叫做一个单位元 假如有 其中a为 中任意元 注 不是所有环都有单位元 如下例 例 所有偶数 对于普通数的加法和乘法作成一个环 但 没有单位元 单位元的唯一性 一个环 如果有单位元则其单位元是唯一的 证明 设 有两个单位元e和e 则有 所以性质成立 注一个环 中的单位元用1表示 且规定 交换律 单位元 零因子 整环 定义一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元 假如 逆元唯一性 环一个元a若有逆元 则最多只有一个逆元 证明 设a有两个逆元b和b 则 所以性质成立 注 不是环中所有元都有逆元 如整数环中除 和 1外其余元都滑逆元 交换律 单位元 零因子 整环 用a 1表示a的逆元 且规定 则对任何整数都有 交换律 单位元 零因子 整环 定义若在一个环 里 但 则称a是环 的一个左零因子 b是环 的一个右零因子 例 所有模n的剩余类 规定R中的加法和乘法如下 可以验证 是一个环 称为模n的剩余类环 若n不是素数 则 但 所以n非平凡因子均为 的零因子 交换律 单位元 零因子 整环 例 高等代数中一个数域 上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个有单位元的环 则当 时有非0矩阵乘积为 矩阵 所以有零因子 如 但 交换律 单位元 零因子 整环 定理在一个没有零因子的环里两个消去律成立 反之一个环里消去律成立 则这个环没有零因子 证明 因为 没有零因子 所以由 得 和 即 消去律成立 交换律 单位元 零因子 整环 反之 假设消去律成立 因为 所以由消去律知若 则 所以环 没有零因子 交换律 单位元 零因子 整环 推论一个环若有一个消去律成立 则另一个消去律也成立 定义一个环 叫做一个整环 若 乘法适合交换律 有单位元 3 没有零因子 其中a b为 中任意元素 例如整数环是一个整环 交换律 单位元 零因子 整环 2020 1 28 除环 域 例 只包括一个元a加法和乘法规定为 则 是个环 它只一个元a既是0元 也是a的逆元等 例 全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成一个环 显然对于任意一个非 有理数a 都有逆元a 1 定义一个环 叫做一个除环 若 至少包含一个不等于零的元 有一个单位元 每一个不等零的元都逆元 定义一个交换除环叫做一个域 除环的性质 除环无零因子 因为 除环 的不等零的元对于乘法来说作成一个群 称为除环 的乘法群 注 除环由两个群构成 分配律是一这两个群之间联系的桥梁 除环 域 所以在域中可以用 表示a 1b和ba 1 则有以下结论 但是a 1b不一定等于ba 1 而在域中 则有a 1b ba 1 方程ax b和ya b各有一个唯一解是a 1b和ba 1 除环 域 当且仅当ad bc时成立 则 是一个除环 但不是交换环 因为对于非零元 均有逆元 但是 i 0 0 1 0 i 0 1 i 0 0 i 所以 这个环是四元数除环 除环 域 环的分类 除环 域 2020 1 28 无零因子环的特征 例 设p是一个素数 则模p的所有剩余类 构成一个环 则可以证明 是一个域 证明 只需证明 的所有非零元 作成一个乘群 结合律成立 则数的乘法结合律知 由于p是素数 所以p不整除a p不整除b时一定有p不整除ab 所以 时有 即 讨论规则 p不整除a 但p整除a x x 时 则p整除x x 即有 所以 是一个乘法群 则 是一个域 无零因子环的特征 注 在该域中 一个非零元a有p a 0 证明 因为p a a a a pa 0 分析原因 是因为 中除零元外 其余元的阶 加法 均为p是一个有限数 定理 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶 对于加法来说 都一样 所以a的阶不超过b的阶 b的阶不超过a的阶 所以a的阶 b的阶 无零因子环的特征 定义一个无无零子环 的非零元的相同的 加法 阶叫做环 的特征 定理 若无零因子环 的特征是一个有限数n 则n一定是素数 证明 假如n不是素数 n n1n2 那么对于 的一个非零元a有 但是 与 是无零因子环矛盾 所以n是素数 无零因子环的特征 推论整环 除环 域的特征或是无限大 或是一个素数 结论 在一个特征为p的交换环中有 无零因子环的特征 2020 1 28 5子环 环的同态 定义一个环R的一个子集S叫做R的一个子环 假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环 一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环 假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环 同样可以规定子整环 子域概念 结论 一个环的非空子集S作成子环的充要条件是 5子环 环的同态 例1R本身是环R的子环 由0一个元作成的集合也是R的子环 例2一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环 叫作环R的中心 定理2设R和是两个环 并且R与同态 则R的零元的象是的零元 R的元a的负元的象是a的象的负元 R是交换环则也是交换环 R若有单位元1 则也有单位元而且是1的象 5子环 环的同态 注 R是无零因子环 是一个有零因子 5子环 环的同态 显然是R到的一个同态满射 R的零元是 0 0 而 注 R是有零因子环 是一个无零因子 5子环 环的同态 5子环 环的同态 5子环 环的同态 定理4 挖补定理 设S是环R的一个子环 S在R里的补足集合与另一个环没有共同元 并且 则存在一个与R同构的环而是的子环 所以有同构映射 R中不属于S的元为a b c 则 规定一个映射 则可以证明 5子环 环的同态 2020 1 28 6 多项式环 定义一个可以写成 形式的R0的元叫做R上的一个多项式 ai叫做多项式的系数 其中 系数是R上的所有多项式构成一个集合记为 定义加法与乘法运算如下 加法 其中 结论 1 加法与乘法封闭 定义叫做R上的的多项式环 乘法 6 多项式环 定义R0的一个元x叫做R上的一个未定元 若R中找不到不都等于0的元a0 a1 an 使得 6 多项式环 定义令 是环R上的多项式 则n称为为个多项式的次数 0多项式没有次数 定理1有单位元交换一定有未定元x存在 证明思路 1 利用交换环R构造一环 其中只有有限个ai不等于零 则定义加法和乘法可证明其为交换环 2 利用可以得到一个包含R的环P 3 证明P包含R上的未定元 6 多项式环 定义一个有形式 多项式环记作 定义R上的x1 x2 xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0 则称x1 x2 xn为R上的无关未定元 6 多项式环 定理2R为一个交换环 n为一个正整数 则一定有R上的无关未定元x1 x2 xn存在 证明思路 由定理1和数学归纳法得到 6 多项式环 证明思路 则定义映射 可以证明其为一个同态映射 6 多项式环 2020 1 28 7理想 定义环R的一个非空子集 叫做一个理想子环 理想 若 1 2 显然 只包含零元的集合 是R的理想 称为R的零理想 R自己也是R的理想 称为R的单位理想 定理1除环R中有零理想和单位理想 所以对任意 所以 注 理想对除环和域没有用处 7理想 例1设R是整数环 n为是0 1的整数 则所有倍数rn作成一个理想 例2环R上的一元多项式环R x 则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是R x 的理想 7理想 设R一个环 若a为R的一个非0元 则所有形式为 的元构成一个集合是R的一个理想记作 7理想 定义上面得到的理想叫做由a生成的主理想 记作 a 当R为交换环时 当R有单位元时 当R有单位元且为交换环时 7理想 是R的一个理想 证明 因为 则 所以是R的理想 7理想 定义 称为由 生成的理想 记作 7理想 例3设R x 整数环R上的一元多项式环 则 1 可以证明 7理想 2020 1 28 8剩余环 同态与理想 设R为一个环 为其一个理想 则对加法运算 是R的一个分类 称为R的模的剩余类 显然 8剩余环 同态与理想 加法 乘法 则有结论 定理1设R是一个环 是它的一个理想 是所有模的剩余类作成的集合 则是一个环且与R同态 证明映射 是R到的同态满射 所以 与R同态 所以是一个环 定义叫做环R的模的剩余类环记作 8剩余环 同态与理想 定理2设R与是两个环 并且同态 则同态满射的核是R的一个理想 并且 证明 1 证明是R的一个理想 8剩余环 同态与理想 假设 那么 则有 即 假设 那么 则有 即 所以 是R的一个理想 8剩余环 同态与理想 2 证明 规定一个法则 则由 得 是一个映射 且是一个满射 而 所以 是一个一一映射 由于 所以