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2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，则AB=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，故选C【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】1+i2=11=0，i+i2=i1，11i=1ii2=1+i，1i2=12i+i2=2i，为纯虚数的是1i2，故选D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. y=x3+x B. y=log2x C. y=2x2-3 D. y=2x【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=log2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=2x不存在零点，故得解【详解】对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：y=log2x为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符；对于选项D：y=2x不存在零点，与题意不符，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题4.执行如图所示的程序框图，如果输入n=5、m=3，则输出p的等于（）A. 3 B. 12 C. 60 D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【详解】模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3， 满足条件km，执行循环体，k=2，p=12， 满足条件km，执行循环体，k=3，p=60， 不满足条件kr=1，故cos=2不是圆的切线，故A错误；在B中，=2cos是圆，不是直线，故B错误； 在C中，cos=-1即x=-1， 圆心0,1到x=-1的距离d=1=r=1，故cos=-1是圆的切线，故C正确； 在D中，sin=-1即y=-1， 圆心0,1到y=-1的距离d=2r=1，故sin=-1不是圆的切线，故D错误 故选C【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1E2的值所在的区间为（）A. (1,2) B. (5,6) C. (7,8) D. (15,16)【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】lgE=4.8+1.5M，lgE1=4.8+1.58=16.8，lgE2=4.8+1.57.5=16.05，E1=1016.8，E2=1016.05，E1E2=100.75，100.7590.75=31.5=335，100.754=1000，64=1296，100.751f(x),|f(x)|1若f（x）=x21+x2，则Ff（1）=_；若f（x）=ea-|x|-1，且对任意xR，Ff（x）=f（x），则实数a的取值范围为_【答案】 (1). 12 (2). ,ln2【解析】【分析】通过fx的范围，可得Ffx=fx，代入可得所求值；由题意可得fx1恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围【详解】若fx=x21+x2，由fx1，可得x21+x2，成立，即有Ffx=fx=x21+x2，则Ff1=12；若fx=ea|x|1，且对任意xR，Ffx=fx，可得fx1恒成立，即为1ea|x|11，即有0ea|x|2，可得axln2，即ax+ln2，由x+ln2的最小值为ln2，则aln2，故答案为12，-,ln2【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为ax+ln2恒成立是解决的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在ABC中，2csinAcosB=asinC（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为a2，求cosA的值【答案】（1）4；（2）31010【解析】【分析】（1）由正弦定理可得cosB=22，结合范围0B，可求B的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求b的值，进而可求cosA的值【详解】（1）在ABC中，由正弦定理可得：csinA=asinC，所以：cosB=asinC2csinA=22，又0Bx+1ex恒成立，设gx=x+1ex，求出gx的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案【详解】（1）当a=1时，fx=xexx22x，其导数fx=exx+12x2，f0=1又因为f0=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x；（2）根据题意，当x0时，“曲线y=f（x）在直线y=-x的上方”等价于“axexx22xx恒成立”，又由x0，则axexx22xx aexx10 ax+1ex，则原问题等价于ax+1ex恒成立；设gx=x+1ex，则gx=xex，又由x0，则gx0，则函数gx在区间0,+上递减，又由g0=1e0=1，则有x+1exx+1ex恒成立，必有a1，即的取值范围为1,+【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为ahx或ahmaxx或ahminx即可，利用导数知识结合单调性求出hmaxx或hminx即得解，属于中档题.19.已知椭圆C：x2a2+y22=1过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A，直线AP与C交于另一点B设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点P代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线PA:y1=kx2，PB:y1=kx2，设点A的坐标为x1，y1，Bx2，y2，分别求出x1x2，y1y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆C：x2a2+y22=1过点P（2，1），可得a2=8所以c2=a22=82=6，所以椭圆C的方程为x28+y22=1，离心率e=622=32，（2）直线AB与直线OP平行证明如下：设直线PA:y1=kx2，PB:y1=kx2，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由x28+y22=1y=kx-2k+1得4k2+1x2+8k12kx+16k216k4=0，2x1=16k216k+44k2+1，x1=8k28k21+4k2同理x2=8k2+8k24k2+1，所以x1x2=16k4k2+1，由y1=kx12k+1，y2=kx1+2k+1有y1y2=kx1+x24k=8k4k2+1，因为A在第四象限，所以k0，且A不在直线OP上kAB=y1y2x1x2=12，又kOP=12，故kAB=kOP，所以直线AB与直线OP平行【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20.对给定的dN*，记由数列构成的集合(d)=an|a1=1，|an+1|=|an+d|，nN*（1）若数列an（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合（d），若d2求证：存在整数k，使得对（d）中的任意数列an，整数k不是数列an中的项；（3）已知数列an，bn（d），记an，bn的前n项和分别为An，Bn若|an+1|bn+1|，求证：AnBn【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出d=2，a1=1，a2=3，a3=a2+d=a2+2，由此能求出a3的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列and，则an具有md1，（mZ）的形式，由此能证明取整数k=d，则整数k均不是数列an中的项；（3）由an+1=an+d，得：an+12=an2+2and+d2，从而an+12=an2+2and+d2，由此利用累加法得an+121=d2n+2Sn+2Snd，从而An=an+122dnd2+12d，同理Bn=bn+122dnd2+12d，由此能证明AnBn【详解】（1）由于数列an（2），即d=2，a1=1由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5 证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若an（d），则an具有md1，（mZ）的形式当n=1时，a1=0d+1，因此n=1时结论成立假设当n=k（kN*）时结论成立，即存在整数m0，使得ak=m0d01成立当n=k+1时，|an+1|=|m0d01+d0|=|（m0+1）d01|，ak+1=（m0+1）d1，或ak+1=-（m0+1）1，所以当n=k+1时结论也成立由可知，若数列an（d）对任意nN*，an具有md1（mZ）的形式由于an具有md1（mZ）的形式，以及d2，可得an不是d的整数倍故取整数k=d，则整数k均不是数列an中的项（3）由|an+1|=|an+d|，可得：an+12=an2+2and+d2，所以有an+12=an2+2and+d2，an2=an-12+2an-1d+d2，an-12=an-22+2an-1d+d2，a22=a12+2a1d+d2，以上各式相加可得an+12-1=d2n+2Sn+2Snd，即An=-，同理Bn=-，当时，有，dN*，-，【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题
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