群的直积ppt课件

2 4群的直积 2 4DirectProductofGroup 2 4 1群的外直积 ExternalDirectProductofGroup 定义 设G1 G2是两个群 G1 G2 a b a G1 b G2 在G1 G2中定义二元运算为乘法 a1 b1 a2 b2 a1a2 b1b2 则G1 G2关于这种乘法构成群 称G1 G2是G1和G2的外直积 简称直积 更一般地 设G1 G2 Gn是群 考虑G G1 G2 Gn a1 a2 an ai Gi 1 i n 1 定义二元运算为乘法 a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn 则G关于乘法构成群 G G1 G2 Gn为群G1 G2 Gn的外直积 特别地 如果Gi中的二元运算都采用 则称直积为直和 记做 G G1 G2 Gn注1 设e1 e2分别是G1 G2的单位元则 e1 e2 是G1 G2的单位元 注2 设 a b G1 G2 a G1 b G2 则 a b 1 a 1 b 1 注3 当G1 G2是加群时 外直积常记为G G1 G2 2 例1 设G1 Z G2 Z 6 则G1 G2是一个无限群 单位元为0 0 3 5 8 任一元都是无限阶元 例a 1 则 k N ka k 0 例2 设G e a 是二阶循环群 则G G含有4个元 即G G e e e a a e a a 由于 e a e a e e a e a e e e a a a a e e 故G G与Klein四元群同构 G G K4 3 2 4 2群的直积的性质 PropertyofDirectProductofGroup 定理1设G G1 G2 则 G是有限群的充要条件是G1 G2都是有限群 而且当G有限时 G G1 G2 G是交换群的充要条件是G1 G2都是交换群 G1 G2 G2 G1 定理2设a b分别是G1 G2的有限阶元素 则对 a b G1 G2 有 a b a b 定理3设G1 G2分别是m n阶循环群 则G1 G2是循环群的充要条件是 m n 1 4 2 4 3群的直积分解 DirectProductResolvingofGroup 一般情况下 一个群能否表示 分解 为两个群的直积呢 定理1设G是群 A B是G的两个子群 满足 1 A B是G的不变子群 A B G 2 G AB 3 A B e 则G A B 5 证明 由 2 可将G表示为G ab a A b B 而A B a b a A b B 作映射f G A B ab a b a1b1 a2b2 a1 1a2 b1b2 1 A B a1 1a2 b1b2 1 e a1 a2 b1 b2 f是映射且为单射 f也是满射 x1 a1b1 x2 a2b2 G 由 1 2 及正规子群的性质 A和B的元素可交换 故有f x1x2 f a1b1a2b2 f a1a2b1b2 a1a2 b1b2 a1 b1 a2 b2 f x1 f x2 保运算 G A B 6 推论 设群G有n个不变子群Gi G i 1 2 n 使G的每一元均可唯一地表示为G1 G2 Gn的元的积 则G G1 G2 Gn 注 推论中的两个条件 1 G1 G2 Gn是G的不变子群 2 G的每一元均可唯一地表示G1 G2 Gn的元的积 等价于以下三个条件 1 G G1G2 Gn 2 3 ai Gi aj Gj i j 有aiaj ajai 7 更一般地 我们有定理2 G G1 G2 Gn Gi G i 1 2 n 使Gi Gi 且 1 G G1 G2 Gn a1 a2 an ai Gi 1 i n 2 Gi G1 Gi 1 Gi 1 Gn e i 1 2 n 推论 G G1 G2 Gn Gi G i 1 2 n 使Gi G 且 1 a G a a1 a2 an ai Gi 唯一表示 2 ai Gi aj Gj i j ai aj aj ai 8 2 4 4群的内直积 InternalDirectProductofGroup 定义 设G1 G2是群G的两个正规子群 满足条件G G1G2 G1 G2 e 则称G是G1和G2的内直积 定理1设G1 G2是群G的两个子群 则G是G1和G2的内直积的充要条件是G满足下列条件 群G中的每个元素都可唯一地表示成hk的形式 其中h G1 k G2 群G1中的每个元素与群G2中的任意元素可交换 hk kh 定理2设G是正规子群G1 G2的内直积 则G G1 G2 反之 若G G1 G2 则存在群G的两个正规子群G 1 G 2 且G i与Gi同构 使得G是G 1与G 2的的内直积 9 2 4 5群分解为不可分解子群的直积 GroupbeingResolvedDirectProductofUnresolvedSubgroup 定义 设G G1 G2 Gn 其中Gi G 1 i n 映射fi G Gfi x xi x x1x2 xi xn G xi Gi而且fi具有如下性质 1 fi是G的自同态 fi xy fi x fi y 2 fi是幂等的 fi2 fi 3 fi是正交的 对x G 则i j有fifj 0 4 fi是正规的 任意自同构Ca 有fiCa Cafi 则称fi为G的投影 10 注 两个投影fi fj称为正交的 若fifj 0 f1 fn称为正交投影组 若i j有fifj 0定义 群G叫做可分解的 若存在真正规子群G1 G2 使G G1 G2 否则称G是不可分解的 定理1群G可分解 存在投影f 0 为恒等映射 定理2 若群G e 满足正规子群的降链条件 则G存在不等于 e 的正规子群H1 Hr 使G H1 H2 Hr 且Hi都是不可分解的 11 2 4 6有限群的直积分解 DirectProductResolvingofLimitedGroup 定义 设n是正整数 pi是素数 若n p1 1p2 2 pr r n1n2 nr 则称ni 1 i r 为n的初等因子 若ni ni 1 i 1 2 r 1 则称ni为n的不变因子 定理3设G是有限可换群 G n 则G可分解为如下循环群的直积 G 其中p1 1 p2 2 pr r是n的某一个初等因子组 12 定理4 设G是有限可换群 G n n1n2 nr 其中n1 n2 nr为n的不变因子组 则 G可表示n的为不变因子相应的循环群的直积 End 13