卷积积分及其性质ppt课件

2 3卷积积分 信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法 1 2 3卷积积分 2 3卷积积分 一 信号的时域分解与卷积积分 1 信号的时域分解 1 预备知识 问f1 t p t 直观看出 2 2 3卷积积分 2 任意信号分解 0 号脉冲高度f 0 宽度为 用p t 表示为 f 0 p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 3 2 3卷积积分 2 任意信号作用下的零状态响应 根据h t 的定义 t h t 由时不变性 t h t f t 由齐次性 f h t 由叠加性 f t yzs t 卷积积分 4 2 3卷积积分 3 卷积积分的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 t 和f2 t 则定义积分 为f1 t 与f2 t 的卷积积分 简称卷积 记为f t f1 t f2 t 注意 积分是在虚设的变量 下进行的 为积分变量 t为参变量 结果仍为t的函数 5 2 3卷积积分 例 f t et t h t 6e 2t 1 t 求yzs t 解 采用定义法卷积 当tt时 t 0 6 2 3卷积积分 用定义法计算卷积积分步骤 1 换元 f1 t f1 f2 t f2 t 2 视情况变积分限 f1 f2 t 中是否含有 或 t 如果有 则将积分下限换为0 如果有 t 则将积分上限换为t 注意 t为参变量 为自变量 3 积分 与普通函数积分一致 7 2 3卷积积分 二 卷积的图解法 1 换元 t换为 得f1 f2 2 反转平移 由f2 反转 f2 然后右移t f2 t 3 乘积 f1 f2 t 4 积分 从 到 对乘积项积分 注意 t为参变量 用图解法计算卷积积分步骤 8 2 3卷积积分 例 f t h t 如图 求yzs t f t h t 解 采用图解法卷积 h t h 反折 h 平移t t 0时 h t 向左移 h t f 0 故yzs t 0 0 t 1时 h t 向右移 1 t 2时 3 t时 h t f 0 故yzs t 0 2 t 3时 0 h t h f h t 9 2 3卷积积分 图解法一般比较繁琐 但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的 确定积分的上下限是关键 例 f1 t f2 t 如图所示 已知f t f2 t f1 t 求f 2 f1 f1 2 解 1 换元 2 f1 得f1 3 f1 右移2得f1 2 4 f1 2 乘f2 5 积分 得f 2 0 面积为0 10 2 4卷积积分的性质 卷积代数运算与冲激函数或阶跃函数的卷积微分积分性质卷积的时移特性 卷积积分是一种数学运算 它有许多重要的性质 或运算规则 灵活地运用它们能简化卷积运算 11 2 4卷积积分的性质 下面讨论均设卷积积分是收敛的 或存在的 一 卷积代数 满足乘法的三律 交换律 2 分配律 系统并联运算结合律 系统级联运算 证明 12 系统并联 系统并联 框图表示 结论 子系统并联时 总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和 2 4卷积积分的性质 13 系统级联 系统级联 框图表示 结论 子系统级联时 总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积 2 4卷积积分的性质 14 2 4卷积积分的性质 二 函数与冲激函数的卷积 1 f t t t f t f t 证 f t t t0 f t t0 2 f t t f t 证 f t n t f n t 15 3 f t t t t 2 4卷积积分的性质 注意区分 t t 特例 16 2 4卷积积分的性质 三 卷积的微积分性质 1 证 上式 n t f1 t f2 t n t f1 t f2 t f1 n t f2 t 2 证 上式 t f1 t f2 t t f1 t f2 t f1 1 t f2 t 3 在f1 0和f2 0的前提下 f1 t f2 t f1 t f2 1 t 17 2 4卷积积分的性质 例1 f1 t 1 f2 t e t t 求f1 t f2 t 解 通常复杂函数放前面 代入定义式得f2 t f1 t 注意 套用f1 t f2 t f1 t f2 1 t 0 f2 1 t 0显然是错误的 例2 f1 t 如图 f2 t e t t 求f1 t f2 t 解法一 f1 t f2 t f1 t f2 1 t f1 t t t 2 f1 t f2 t 1 e t t 1 e t 2 t 2 18 例2 图 a 系统由三个子系统构成 已知各子系统的冲激响应如图 b 所示 求复合系统的冲激响应 并画出它的波形 a b 解 如图 c 所示 c 19 2 4卷积积分的性质 解 f1 t t t 2 f1 t f2 t t f2 t t 2 f2 t t f2 t f2 1 t 四 卷积的时移特性 若f t f1 t f2 t 则f1 t t1 f2 t t2 f1 t t1 t2 f2 t f1 t f2 t t1 t2 f t t1 t2 前例 f1 t 如图 f2 t e t t 求f1 t f2 t 利用时移特性 有 t 2 f2 t f2 1 t 2 f1 t f2 t 1 e t t 1 e t 2 t 2 20 2 4卷积积分的性质 例 f1 t f2 t 如图 求f1 t f2 t 解 f1 t 2 t 2 t 1 f2 t t 1 t 1 f1 t f2 t 2 t t 1 2 t t 1 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1 由于 t t t t 据时移特性 有f1 t f2 t 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1 2t t 2 t 2 t 2 21 2 4卷积积分的性质 求卷积是本章的重点与难点 求解卷积的方法可归纳为 1 利用定义式 直接进行积分 对于容易求积分的函数比较有效 如指数函数 多项式函数等 2 图解法 特别适用于求某时刻点上的卷积值 3 利用性质 比较灵活 三者常常结合起来使用 22 相关函数是研究一个函数和另一个函数经过一个延时 后的相似程度 它被广泛应用于雷达回波的识别 通信同步信号的识别等领域 是鉴别信号的有力工具 相关是一种与卷积类似的运算 与卷积不同的是没有一个函数的反转 相关函数的定义相关与卷积的关系相关函数的图解 五 相关函数 2 4卷积积分的性质 23 1 实能量有限信号相关函数的定义 两个实能量有限函数f1 t 和f2 t 的互相关函数定义为 由上式可得 R12 R21 2 自相关函数 显然 R R R 为偶函数 2 4卷积积分的性质 在上式中若f1 t f2 t f t 得自相关函数 1 互相关函数 24 2 相关与卷积的关系 可见 R12 t f1 t f2 t 同理 R21 t f1 t f2 t 特别地 若f1 t 和f2 t 均为实偶函数 则卷积与相关完全相同 2 4卷积积分的性质 25 3 相关函数的图解 0 t1 2 26 4 实功率有限信号相关函数的定义 若f1 t 与f2 t 是实功率有限信号 1 互相关函数 2 自相关函数 2 4卷积积分的性质 27 解 对此功率有限信号 由自相关函数的定义 有 5 求解实例 2 4卷积积分的性质 28 6 相关函数的性质 1 周期信号自相关函数仍为周期信号 且周期相同 2 余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证 任意相位的正弦 余弦之自相关函数仍为余弦 3 自相关函数是偶函数 R 0 为最大值 2 4卷积积分的性质 29