微元法的应用ppt课件

微元法的应用 1 一 学习目标 2 微元法在高考中的地位 微元法是一种深刻的思维方法 先分割逼近 找到规律 再累计求和 达到了解整体的目的 关于微元法的题目 连续几年出现在江苏高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中 微元法在教材中的广泛应用 在处理匀变速直线运动的位移 瞬时速度 曲线运动速度方向 万有引力由 质点 向 大的物体 过渡 探究重力做功 变力做功 推导第二宇宙速 推导正弦式交流电峰值和有效值的关系等等 3 微元法的一般思维程序 4 例1如图1所示 一个质量为m的钢性圆环套在一根固定的足够长的水平直杆上 环的半径略大于杆的半径 环与杆之间的动摩擦因数为 t 0时刻给环一个向右的初速度v0 同时对环施加一个方向始终竖直向上的力F 已知力F的大小为F kv k为大于0的常数且已知 v为环的运动速度 且有kv0 mg t t1时刻环开始沿杆做匀速直线运动 试求 在0 t1时间内 环沿杆运动的距离 一 微元法在力学中的应用 环做加速度减小的减速运动 最后匀速 5 解析 kv1 mg v1 mg k 环在任意时刻t的加速度a kv mg m 式改写为 v kv t m g t 在v0 v1区间内对 式各项求和有 v k x m g t 由 式可得v0 v1 kx m gt1 式整理得x m v0 mg k gt1 k k x m g t 取一段时间微元 t 0 a v t 求 在0 t1时间内 环沿杆运动的距离 6 练习1 从地面上以初速度v0竖直上抛出质量为m的球 若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比 t1时刻到达最高点 再落回地面 落地时速率为v1 落地前球已经做匀速运动 求 作出球运动的速率随时间变化的图象 球上升的最大高度 7 设上升至速度为v时加速度为a ma mg kv 取一段时间微元 t a v t有 8 例2 如图所示 一个由绝缘细线构成的刚性轨道水平放置 轨道OCD部分光滑 是以B为中心 l为半径的半圆 AB 2l 直轨道DE部分是粗糙的且足够长 轨道上A处有电荷量为Q1的正点电荷 B处有电荷量为Q2的负点电荷 Q2 Q1 一个质量为m电荷量为 q的小环套在轨道上 环与轨道间的动摩擦因数为 已知点电荷产生电场时 若以无穷远为零势面 其电势可表示为 kQ r Q为场源电荷 r为与电荷的距离 1 若小环初始位置在O处 受到轻微扰动后沿半圆轨道加速运动 求小环运动至D处的速度大小v0 二 微元法在静电场中的应用 9 解 1 根据点电荷产生的电势公式可知 Q2在O D两处产生的电势相等 小环从O运动到D只有点电荷Q1对环做功 由动能定理可得WOD q O D mv02 2即kQ1q l kQ1q 3l mv02 2解得 10 例2 2 若小环到达D点后沿直轨道DE运动 设小环在两个点电荷Q1 Q2共同作用下所受库仑力与速度大小成正比 比例系数为k 经过时间t0静止 求小环在直轨道上运动的距离x 解析 设某时刻t小环运动速度为v时加速度为a mg kv m 取一段时间微元 t a v t有 v g t kv t m g t k x m v g t k m x v0 gt0 kx mx m v0 gt0 k 11 练习2 电量Q均匀分布在半径为R的圆环上 如图3所示 求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度和电势 图3 解析 选电荷元 空间元 注意矢量和标量不同的叠加方法 它在P点产生的电场的场强的x分量为 根据对称性 电荷元在P点的电势为 12 三 微元法在电磁感应中的应用 例3 如图4 两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成 角 导轨间距为d 两导体棒a和b与导轨垂直放置 两根导体棒的质量都为m 电阻都为R 回路中其余电阻不计 整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中 磁感应强度的大小为B 在t 0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动 同时将b由静止释放 b经过一段时间后也作匀速运动 已知d 1m m 0 5kg R 0 5 B 0 5T 30 g取10m s2 不计两导棒间的相互作用力 13 三 微元法在电磁感应中的应用 为使导体棒b能沿导轨向下运动 a的速度v不能超过多大 解析 设a的速度为v1 由于b初态速度为零 则I E1 2R Bdv1 2R 对b FA BId B2d2v1 2R b要下滑FA mgsin 将 式代入 式得 v1 10m s 14 三 微元法在电磁感应中的应用 例3 如图4 两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成 角 导轨间距为d 两导体棒a和b与导轨垂直放置 两根导体棒的质量都为m 电阻都为R 回路中其余电阻不计 整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中 磁感应强度的大小为B 在t 0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动 同时将b由静止释放 b经过一段时间后也作匀速运动 已知d 1m m 0 5kg R 0 5 B 0 5T 30 g取10m s2 不计两导棒间的相互作用力 若a在平行于导轨向上的力F作用下 以v1 2m s的速度沿导轨向上运动 试导出F与b的速率v2的函数关系式并求出v2的最大值 解析 设a的速度为v1 b的速度为v2 回路电流为I 则 I E1 E2 2R Bd v1 v2 2R 对a mgsin FA Fmgsin B2d2 v1 v2 2R F 代入数据得 F 3 v2 4 N 设b的最大速度为vm 则有 B2d2 v1 vm 2R mgsin 代入数据得 vm 8m s 15 三 微元法在电磁感应中的应用 在 中 当t 2s时 b的速度达到5 06m s 2s内回路中产生的焦耳热为13 2J 求该2s内力F做的功 结果保留三位有效数字 解析 对b mgsin FA ma即mgsin B2d2 v1 v2 2R ma取一段时间微元 t a v t mgsin B2d2 v1 v2i 2R m v2i t代入数据并整理得 8 v2i 2 v2i t 等式求和得 8 t v2i t 2 v2i8t x2 2v2将t 2s v2 5 06m s代入上式得 x2 5 88m 解法1 a的位移 x1 v1t 2 2 4m由动能定理知 mv22 2 0 WF mgx1sin mgx2sin WAWA Q代入数据得 WF 14 9J 解法2 棒a有一很小位移 x1时 力F做的功为Wi Fi x1 mgsin30 x1 B2d2 v1 v2i x 2R代人数据得Wi 3 x1 0 25v2i x1式中v2i可由 式求得 v2i 8 2 v2i t得 Wi 3 x1 8 2 v2i t 0 25 x1 5 x1 0 5 v2i x1 t式中 v2i为棒b在 t时间内的速度增量 x1为棒a在 t时间的位移 所以 x1 t v1 2m s 代入 式并求和得WF 5 x1 0 5v1 v2i 5x1 0 5v1v2 5 4J 1 5 06J 14 9J 两种解法 其中第二种解法并未使用 2s内回路中产生的焦耳热为13 2J 这一条件 所以 这是一个有多余已知条件的高考模拟题 在条件充分的情况下 微元法并不是唯一选择 不要形成遇到电磁感应必用微元这样的先入为主的印象 16 练习3 1如图5所示 两平行光滑的金属导轨AD CE相距L 1 0m 导轨平面与水平面的夹角 30 下端用导线连接R 0 40 的电阻 导轨电阻不计 PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场 磁场的宽度d 0 40m 边界PQ HG均与导轨垂直 质量m 0 10kg 电阻r 0 10 的金属棒MN垂直放置在导轨上 且两端始终与导轨电接触良好 从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放 取g 10m s2 1 若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场 在同一水平线上各处磁感应强度相同 金属棒进入磁场后 以a 2 5m s2的加速度做匀加速运动 求磁场上边缘 紧靠GH 的磁感应强度 2 在 1 的情况下 金属棒在磁场区域运动的过程中 电阻R上产生的热量是多少 3 若PQGH范围内存在着磁感应强度B 0 50T的匀强磁场 金属棒在磁场中运动过程受到F 0 75v 0 5 N v为金属棒运动速度 沿导轨向下的力作用 求金属棒离开磁场时的速度 17 解析 1 设磁场上边缘的磁感应强度为B0 金属棒刚进入磁场时的速度为v0 产生的感应电流为I0 受到的安培力为F0 则有I0 B0Lv0 R r F0 B0I0Lmv02 2 mgdsin mgsin F0 ma代入数据解得v0 2m s B0 0 25T 2 设电阻R上产生的热量为Q 金属棒到达磁场下边界时的速度为v 则v2 v02 2admv2 2 0 mg 2dsin WAWA Q总Q总 mg 2dsin mv2 2QR RQ总 R r 代入数据解得QR 0 080J 3 设金属棒离开磁场时的速度为v 则mgsin F F安 m v t其中F安 t BIL t B2L2v t R r B2L2 x R r 则 m v mg t 2 F t B2L2 x R r 0 25 x即m v v0 0 25d代入数据解得v 3 0m s 18 练习3 2如图6所示 两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成 导轨间距L 1m 倾角 45 水平部分处于磁感应强度B 1T的匀强磁场中 磁场方向竖直向上 磁场左边界MN与导轨垂直 金属棒ab质量m1 0 2kg 电阻R1 1 金属棒cd质量m2 0 2kg 电阻R2 3 导轨电阻不计 两棒与导轨间动摩擦因数 0 2 开始时 棒ab放在斜导轨上 与水平导轨高度差h 1m 棒cd放在水平轨上 距MN距离为s0 两棒均与导轨垂直 现将ab棒由静止释放 取g 10m s2 求 1 棒ab运动到MN处的速度大小 2 棒cd运动的最大加速度 3 若导轨水平部分光滑 要使两棒不相碰 棒cd距离MN的最小距离s0 19 解析 1 对ab运用动能定理得m1gh m1gcos45 h sin45 m1v02 2v0 4m s 2 棒ab运动到MN处 cd加速度最大Em BLv0Im Em R1 R2 Fm B2L2v0 R1 R2 1NFm m2g m2aa 3m s2 3 在光滑不相碰的情况下 两棒最终速度必相等 设为vm对ab棒有vm v0 a1 t F1 t m对cd棒有vm 0 a2 t F2 t m任一时刻有F1 F2 故得vm v0 vm 0 即vm v0 2设某时刻ab的速度为v1 cd的速度为v2 在时间微元内 ab速度变化为 v1E BL v1 v2 I E R1 R2 由牛顿运动定律对ab有F1 m1 v1 t B2L2 v1 v2 R1 R2 得v1 v2 R1 R2 m1 v B2L2 t两棒在水平导轨运动的相对位移 即为两棒不相碰的最小距离 故有S0 v1 v2 t R1 R2 m1 B2L2 v1 R1 R2 m1 B2L2 v0 v0 2 1 6m 牛顿定律微分形式与动量定律 动量守恒定律的关系 当我们通过一定数量 微元求和法 习题的练习后 切忌逢电磁感应综合题就先入为主的要采用 微元求和法 解题 请看练习3 3 20 练习3 3 如图7所示 光滑绝缘水平面上放置一均匀导体制成的正方形线框abcd 线框质量为m 电阻为R 边长为L 有一方向竖直向下的有界磁场 磁场的磁感应强度为B 磁场区宽度大于L 左边界与ab边平行 线框在水平向右的拉力作用下垂直于边界线穿过磁场区 1 若线框以速度v匀速穿过磁场区 求线框在离开磁场时ab两点间的电势差 2 若线框从静止开始以恒定的加速度a运动 经过t1时间ab边开始进入磁场 求cd边将要进入磁场时刻回路的电功率 3 若线框以初速度v0进入磁场 且拉力的功率恒为P0 经过时间T cd边进入磁场 此过程中回路产生的电热为Q 后来ab边刚穿出磁场时 线框速度也为v0 求线框穿过磁场所用的时间t 21 解析 1 线框在离开磁场时 cd边产生的感应电动势E BLv回路中的电流I E R则ab两点间的电势差U IRab BLv 4 2 t1时刻线框速度v1 at1设cd边将要进入磁场时刻速度为v2 则v22 v12 2aL此时回路中电动势E2 BLv2回路的电功率P E22 R解得P B2L2 a2t12 2aL R 3 设cd边进入磁场时的速度为v 进入磁场过程中 P0T WA mv2 2 mv02 2 P0T Q设线框从cd边进入到ab边离开磁场的时间为 t 则P0 t mv02 2 mv2 2解得 t Q P0 T线框离开磁场时与进入过程相同 时间还是T 所以线框穿过磁场总时间tt 2T t Q P0 T 22 巩固1 如图8所示 两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上 导轨间距为l 导轨足够长且电阻忽略不计 导轨平面的倾角为 条形匀强磁场的宽度为d 磁感应强度大小为B 方向与导轨平面垂直 长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成 型装置 总质量为m 置于导轨上 导体棒中通以大小恒为I的电流 由外接恒流源产生 图中未图出 线框的边长为d d l 电阻为R 下边与磁场区域上边界重合 将装置由静止释放 导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回 导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直 重力加速度为g 求 1 装置从释放到开始返回的过程中 线框中产生的焦耳热Q 2 线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 3 经过足够长时间后 线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm 图8 23 解析 1 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中 作用在线框上的安培力做功为W由动能定理mgsin 4d W BIld 0且Q W解得Q 4mgdsin BIld 2 设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1 则线框共向下运动2d 由动能定理mgsin 2d W mv12 2 0有装置在磁场中运动时收到的合力F mgsin FA感应电动势E感 Bdv感应电流I感 E感 R安培力FA BI d由牛顿第二定律 取时间微元 t 有a v t F m则 v gsin B2d2v mR t有v1 gt1sin 2B2d3 mR解得 3 经过足够长时间后 线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动由动能定理mgsin xm BIl xm d 0解得xm BIld BIl mgsin 24 巩固2 如图9所示 两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的xOy平面内 导轨与x轴平行 左端接有阻值为R的电阻 在x 0的一侧存在竖直向下的磁场 金属棒质量为m 电阻为r 与金属导轨垂直放置 且接触良好 开始时 金属棒位于x 0处 现给金属棒一大小为v0 方向沿x轴正方向的初速度 金属棒沿导轨滑动 金属导轨电阻可忽略不计 问 金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功和电阻R上产生的焦耳热 若导轨间的磁场是匀强磁场 磁感应强度为B 导体棒最终在导轨上静止时的坐标x1 若导轨间的磁场是非匀强磁场 磁感应强度B沿x轴正方向增加 且大小满足 导体棒最终在导轨上静止时的坐标x2 图9 25 解析 根据动能定理w 0 mv02 2Q mv02 2QR QR R r Rmv02 2 R r E BdvF BId B2d2v R r ma v a tm v B2d2v R r t B2d2 R r xx1 mv0 R r B2d2 m v B2d2v R r t d2 R r kx xmv0 d2 R r kx x d2 R r kx22 2 26 总结 1 微元思想在高中物理教材中有着广泛应用 也是近几年江苏高考压轴题和各大名校自主招生考试中的热点 2 微元法在处理连续变化的问题时 有其独特的方法 要注意取元的原则 可加性 有序性 平权性3 最常见的换 元 技巧有如下几种 时间元 与 空间元 间的相互代换 表现时 空关系的运动问题中最为常见 体元 面元 与 线元 间的相互代换 实质上是降 维 线元 与 角元 间的相互代换 元 的表现形式的转换 孤立元 与 组合元 间的相互代换 充分利用 对称 特征 4 微元法并不是处理变力问题的唯一方法 还有动能定理 图像法 平均力法 积分法等 27 微元法的一般思维程序 第一步 取元 隔离选择恰当微元 空间元 时间元 作为突破整体研究的对象 微元可以是 一小段线段 圆弧 一小块面积 一个小体积 小质量 一小段时间 但应具有整体对象的基本特征 第二步 模型化 将微元模型化 如视作点电荷 质点 匀速直线运动等 并运用相关物理规律 求解这个微元 并注意适当的换元 第三步 求和 将一个微元的求解结果推广一到其他微元 并充分利用各微元间的关系 如对称关系 矢量方向关系 量值等关系 对各微元的解出结果进行叠加 以求出整体量的合理解答 28