2019届高三数学上学期诊断性考试试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学上学期诊断性考试试卷 理(含解析)说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第2页，第卷为第3页至第5页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合题意,计算集合A,计算交集,即可.【详解】解得,所以,故选A.【点睛】本道题考查了交集运算方法,属于较容易题.2.命题“x1，都有x0”的否定是( )A. x1，都有x0 B. x1，使得x0C. x改为,即可.【详解】命题否定,改为,改为,故该命题的否定为x1，使得x0,故选B.【点睛】本道题考查了命题的否定改写,难度较简单.3.函数y=x3在点0,0处的切线是( )A. x轴 B. y轴 C. x轴和y轴 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】本道题求导，计算斜率，利用点斜式，计算切线方程，即可。【详解】求导得到y=3x2,所以切线斜率为0,而切线过0,0，故为x轴。【点睛】本道题考查了运用求导计算切线斜率，考查了点斜式方程计算方法，难度较小。4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 643 B. 16+833 C. 28 D. 16+823【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到故体积V=r2h+13r2l=224+132223=16+833，故选B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等。5.已知向量a,b均为非零向量，a2ba,b2ab，则a,b的夹角为（ ）A. 6 B. 23 C. 3 D. 56【答案】C【解析】a-2ba,b-2aba-2ba=0b-2ab=0,解得：a2=2abb2=2ab，即a=ba2=2abcosa,b=abab=12，a,b的夹角为3故选：C6.设x，y满足约束条件x+y1x0y0，则z=x+2y1的最小值是（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式，还原可行域，如图：将z=x+2y1转化成y=12x+z+12，该目标函数从虚线位置平移，当移到A点的时候，z取到最小值，而A的坐标为1,0，代入目标函数，计算出z=0.【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制出可行域，将目标函数转化为一般函数，平移，计算最值，即可，难度中等。7.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. 32f B. 322fC. 1225f D. 1227f【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以an=122an1(n2,nN+)，又a1=f，则a8=a1q7=f(122)7=1227f故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若an+1an=q（q0,nN*）或anan1=q（q0,n2,nN*）， 数列an是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列an中，an0且an12=anan2（n3,nN*），则数列an是等比数列.8.将函数y=sin2x+3的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数gx满足( )A. 在区间12,2上单调递增 B. 对称轴是x=k+712,kZC. 在区间6,3上单调递减 D. 对称中心是k+3,0,kZ【答案】B【解析】【分析】本道题化简得到gx,结合正弦三角函数的性质,依次判定，即可。【详解】结合左加右减原则，得到gx=sin2x2+3=sin2x+3对A选项,单调递减区间满足2+2k2x+332+2k,解得12+kx712+k,故A错误.B选项,对称轴满足2x+3=32+2k,解得x=712+k,故B正确.C选项,单调递减区间满足2+2k2x+32+2k,解得512+kx0,b0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左，右支于另一点M,N,若PF1=3PF2，且MF2N=60，则双曲线的离心率为( )A. 52 B. 3 C. 2 D. 72【答案】D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可。【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而F1O=F2O，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1MF2为平行四边形，结合MF2N=600，故F1MF2=600对三角形F1MF2运用余弦定理，得到，F1M2+F2M2F1F22=2MF1MF2cosF1MF2而结合PF1=3PF2，可得MF1=a,MF2=3a，F1F2=2c，代入上式子中，得到a2+9a24c2=3a2，结合离心率满足e=ca，即可得出e=ca=72，故选D。【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难。11.已知O为坐标原点，直线l:y=kx+3，圆C：x2+y232=4若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB面积的最大值为( )A. 23 B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】【分析】本道题分别计算三角形的高和底边，结合三角形面积计算公式，结合二次函数性质，即可。【详解】设圆C的圆心为C，直线y=kx+3过定点0,3，点O到直线l的距离为d=31+k2，而结合直线与圆所截的弦长公式为AB=2MA2d2=2431+k2所以面积为S=12dAB=431+k231+k2，令t=31+k2得到S=4tt2，当t=2时候，S取最大值，为2，故选D。【点睛】本道题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了换元思想，难度中等。12.若函数fx是R上的单调函数，且对任意的实数x都有ffx+22x+1=13，则flog22019=( )A. 10111012 B. 10101011 C. 10091010 D. 1【答案】C【解析】【分析】本道题先计算出fx的解析式，然后代入x的值，计算结果，即可。【详解】假设fx0=13，得到fx+22x+1=x0，进而fx=x022x+1从而fx0=x022x0+1=13当x0=1，fx0=13，因为fx是单调函数，所以当x=1fx=13，得到x0=1，所以fx=122x+1，因而flog22019=122log22019+1=10091010，故选C。【点睛】本道题考查了函数解析式的计算方法，关键得出f1=13，即可，属于较难的题。第卷(非选择题，共90分)二填空题(本题包括4小题，共20分)13.设随机变量XN3,2，若PXM=0.3，则PX6-M=_.【答案】0.3【解析】【分析】结合随机变量X图像关于x=3对称，计算概率，即可。【详解】分析知道,M与6-M关于3对称,属于PXM=0.3【点睛】本道题考查了离散型随机变量函数图像，难度较容易。14.若cos6=13，则sin3+=_.【答案】13【解析】【分析】利用诱导公式sin=cos2,即可.【详解】sin3+=sin23+=cos3+=13【点睛】本道题考查了诱导公式,关键抓住sin=cos2,属于容易题.15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90,AB=BC=BB1=2,D为AC的中点直线A1D与直线B1C所成角的正弦值为_.【答案】12【解析】【分析】结合题意，构造空间坐标系，利用空间向量数量积公式，计算夹角，即可。【详解】构造空间直角坐标系，设BC为x轴，AB为y轴，BB1为z轴，则A10,2,2D1,1,0,B10,0,2,C2,0,0，所以A1D=1,1,00,2,2=1,1,2B1C=2,0,00,0,2=2,0,2，结合空间向量数量积公式得到A1DB1C=A1DB1Ccos，得到cos=32，所以sin=12【点睛】本道题考查了空间向量数量积运算公式，关键建立空间坐标系，即可，属于中档题。16.已知x1是函数fx=2x+x2的一个零点，x2是函数gx=log2x1+x3的一个零点，则x1+x2的值为_.【答案】3【解析】【分析】可以将函数零点问题看成两个函数交点问题,结合函数关于y=x对称,计算结果,即可.【详解】fx的零点问题可以转化成hx=2x+1与mx=3x的交点,而函数gx的零点问题可以看成tx=log2x1与mx=3x的交点,结合反函数的求解得出hx与tx互为反函数,关于y=x对称,绘制函数图像,得到结合对称可知,AE=BD,而BGD=450,所以BD=DG,而AE=x1,OD=x2,G点坐标为3,0,所以x1+x2=3【点睛】本道题考查了函数零点问题,关键将零点问题转化成函数交点个数问题,属于较难的题.三解答题(本题包括6小题，共70分)17.ABC中，角A,BC所对边分别为a,b,c，且tanA2tanB2+ 3tanA2+tanB2=1.（1）求角C；（2）若ABC的面积为43,a=2，求边c的值【答案】（1）23 （2）221【解析】【分析】（1）利用正切两角和公式，计算A+B2，计算C角，即可。（2）结合三角形面积计算公式，计算出b，结合余弦定理，计算c，即可。【详解】解：（1）因为tanA2tanB2+3tanA2+tanB2=1，所以tanA2+tanB21tanA2tanB2=33 所以tanA+B2=33因为0A+BTn恒成立，求k的最小值.【答案】（1）an=n （2）1【解析】【分析】（1）运用SnSn1，得到递推公式，发现是等差数列，计算通项，即可。（2）对bn运用裂项相消法，求和，得到k的范围，即可。【详解】解：（1）因为Sn=nan12nn1,n1 所以Sn1=n1an112n1n2,n2 相减得：an=nann1an1n1n2所以anan1=1，所以an是首项为1，公差为1的等差数列所以an=n（2）bn=2n2n12n+11=12n112n+11 所以Tn=1211221+12211231+.+12n112n+11 =12112n+11Tn恒成立，所以k1，即kmin=1.【点睛】本道题考查了等差数列通项计算方法，考查了裂项相消法求和，难度较难。19.已知椭圆C：x24+y2b2=1经过点3,22，过定点3,0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与点A，B对应的“椭点”分别是P，Q，(定义：若点Mx0,y0在椭圆x2a2+y2b2=1ab0上，则Nx0a,y0b称为椭圆C上与点M对应的“椭点”)（1）求椭圆C的方程。（2）若PQ=2，求直线l的方程【答案】（1）x24+y22=1 （2）x7y3=0【解析】【分析】（1）把该点坐标代入椭圆方程中，计算b，得出椭圆方程，即可。（2）结合题意，证明OPOQ，结合向量数量积为0，建立等式，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系，代入OPOQ中，计算参数，即可。【详解】解：（1）因为椭圆C:x24+y2b2=1经过点3,22,所以34+12b2=1 所以b2=2 椭圆 的方程为x24+y22=1 （2）设Ax1,y1,Bx2,y2，则Px12,y12，Qx22,y22 所以x124+y122=1，x224+y222=1 所以OP=x124+y122=1,OQ=x224+y222=1因为PQ=2,所以OPOQ,所以OPOQ=x1x24+y1y22=0（*）由已知得， l斜率存在，设l:y=kx3，所以x24+y22=1y=kx3 所以1+2k2x212k2x+18k24=0所以x1+x2=12k21+2k2,x1x2=18k241+2k2,，所以y1y2=kx13kx23=5k21+2k2 代入（*）式得：k2=17 所以直线l的方程是 x7y3=0或x+7y3=0【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，关键找出OPOQ=0，结合根与系数关系，计算参数，即可，所以较难的题。20.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，ADC=45,AD=2,CD=1,PB=PC=3,PA=2（1）证明：平面PAC平面PCD；（2）求直线PA与平面PCB所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）1010 【解析】【分析】（1）证明AC平面PCD，结合平面与平面垂直判定，即可。（2）建立空间直角坐标系，分别得出O,P,A,B,C坐标，计算平面PCB的法向量，计算向量PA坐标，结合空间向量数量积，计算，即可。【详解】解（1）证明：因为ADC=450,AD=2,CD=1,所以ACCD,AC=1所以PC=3,PA=2所以ACPC因为PCCD=C,PC,CD平面PCD，所以AC平面PCD因为AC平面PAC，所以平面PAC平面PCD （2）由（1）知 AC平面PCD,AC平面ABCD所以平面PCD平面ABCD，交线为CD，过P在平面PCD内做CD的垂线，垂足为O， 取BC中点为M，连PM,AM，因为在PCD中，因为PB=PC=3,AB=AC=1,所以BCPM,BCAM,又PMAM=M,PM,AM平面PAM所以BC平面PAM,因为 AD平行BC,所以AD平面PAM,因为直线AP平面PAM,所以直线AB直线AP, 又AB=2,AP=2,所以PD=6.在PCD中，由余弦定理得cosPCD=3+1623=33,即cosPCO=33,sinPCO=63 所以PO=PCsinPCO=363=2,CO=333=1, 由此，CO平行AD,CO=AD,所以OBOD以直线OP为z轴，直线OD为x轴，直线OB为y轴建立空间直角坐标系.所以O0,0,0,P0,0,2,A1,1,0,B0,1,0,C1,0,0设n=x,y,z是平面PBC的一个法向量，因为PB=0,1,2,BC=1,1,0 所以y2z=0xy=0，取n=2,2,1，又PA=1,1,2,所以nPA=2,n=5,PA=2，cosn,PA=225=1010,所以直线PA与平面PCB所成角的正弦值1010.【点睛】本道题考查了平面与平面垂直的判定，考查了空间向量数量积计算夹角问题，难度偏难。21.xx“双十一”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000元可参加一次抽奖(例如：顾客甲消费930元，不得参与抽奖；顾客乙消费3400元，可以抽奖三次)。如图1，在圆盘上绘制了标有A，B，C，D的八个扇形区域，每次抽奖时由顾客按动按钮使指针旋转一次，旋转结束时指针会随机停在圆盘上的某一个位置，顾客获奖的奖次由指针所指区域决定(指针与区域边界线粗细忽略不计)。商家规定：指针停在标A，B，C，D的扇形区域分别对应的奖金为200元、150元、100元和50元。已知标有A，B，C，D的扇形区域的圆心角成等差数列，且标D的扇形区域的圆心角是标A的扇形区域的圆心角的4倍(I)某顾客只抽奖一次，设该顾客抽奖所获得的奖金数为X元，求X的分布列和数学期望；(II)如图2，该商场统计了活动期间一天的顾客消费情况现按照消费金额分层抽样选出15位顾客代表，其中获得奖金总数不足100元的顾客代表有7位现从这7位顾客代表中随机选取两位，求这两位顾客的奖金总数和仍不足100元的概率【答案】（1）详见解析（2）57 【解析】【分析】（1）分别计算出X=50,100,150,200对应的概率，计算期望，即可。（2）结合古典概型，计算出PB，结合PB=1PB，即可。【详解】解：（1）设标有A,B,C,D的扇形区域的圆心角分别为a1,a2,a3,a4 由题意知：a4=4a1,a1+a2+a3+a4=,所以a1=10,a2=5,a3=310,a4=25 所以顾客抽奖一次，获得奖金X可能取值为50,100,150,200，所对应的概率分别为 110,15,310,25所以X的分布列为X50100150200P1101531025期望EX=110 （2）由已知得：1消费金额位于2000,3000,3000,4000内的顾客，获奖金额一定高于100元，2消费金额位于0,1000内的顾客获奖金额为0元，3消费金额位于1000,2000内的顾客获奖金额可能为50,100,150,200元分层抽样得 0,1000内抽到的顾客代表人数为3636+60+48+3615=3人，则获得奖金总数不足100元的剩余4位顾客代表必然获得奖金数为50元.设获奖金额为0元的三位顾客代表为x1,x2,x3，获奖金额为50元的四位顾客代表为 y1,y2,y3,y4事件 B= “从这7位顾客代表中随机选取两位的奖金总数仍不足100元”B= “从这7位顾客代表中随机选取两位的奖金总数等于100元”从这7位顾客代表中随机选取两位的基本事件空间为：=x1,x2,.,y3,y4共有21个基本事件；B=y1,y2,y1,y3,y1,y4,y2,y3,y2,y4,y3,y4共有6个基本事件。PB=621=27,所以PB=1PB=57从这7位顾客代表中随机选取两位，他们的奖金总数仍不足100元的概率为57【点睛】不同考查了分布列计算期望，考查了古典概型计算公式，难度中等。22.已知函数fx=x2x+alnx（1）讨论函数fx的单调区间；（2）若函数fx的极小值大于e2，求实数的取值范围【答案】（1）详见解析（2）e2e2,18【解析】【分析】（1）求导，结合a取不同范围，计算单调区间，即可。（2）构造函数gx，计算fx的极小值大于e2，判定x0的范围，计算a的范围，即可。【详解】解：（1）fx定义域为 0,+,fx=2x2x+ax 10当a18,x0,+,fx0,fx单调递增区间为0,+a18时，由fx=0得x=x1=118a4或x=x2=1+18a420当0a18时，0xx2,fx0,fx 单调递增区间：0,x1,x2,+x1xx2时，fx0,fx单调递减区间：x1,x230当a0时，0xx2fxx2时，fx0,fx单调递增区间：x2,+故：单调递增区间是单调递增区间是单调递增区间是单调递减区间是单调递增区间为（2）由（1)知:当时，函数的极小值点，此时 令时，递增，时递减又 要使得则有， 又的取值范围为【点睛】本道题考查了结合导函数判定原函数单调性，考查了二次函数的性质，难度较大。