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12函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数的极值点与极值的概念1.如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值3极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点知识点二函数极值的判定1单调性判别：(1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值(2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值2图表判别：(1)极大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加极大值减少(2)极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)减少极小值增加知识点三求函数yf(x)的极值的步骤1求出导数f(x)2解方程f(x)0.3对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点1导数值为0的点一定是函数的极值点()2在可导函数的极值点处，切线与x轴平行()3函数f(x)无极值()4定义在a，b上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0(a，b)()5函数的极值点一定是其导函数的变号零点()题型一求函数的极值例1求下列函数的极值(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)x22lnx.考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)x22lnx的定义域为(0，)，f(x)2x，解方程0，得x11，x21(舍去)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值1因此当x1时，f(x)有极小值1，无极大值反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图像也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x，则f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)令f(x)0，得x12，x2ln2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，ln2)ln2(ln2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2)，(ln2，)上是增加的，在(2，ln2)上是减少的当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)题型二已知函数极值(或极值点)求参数例2设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)alnxbx2x，f(x)2bx1.由题意可知f(1)f(2)0，解方程组得a，b，经验证，当a，b时，x1与x2是函数f(x)的两个极值点f(x)lnxx2x.(2)x1，x2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点理由如下：f(x)x1x1x1.又f(x)的定义域为(0，)，当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，此时f(x)是增加的；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)是增加的故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1.题型三函数极值的综合应用例3已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1，所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图像如图所示因为直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(3,1)引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解由本例解析可知当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图像有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图像只有一个交点反思感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，得解得16m0)的图像有两个不同的交点，则a0.设函数ylnx1上任一点(x0,1lnx0)处的切线为l，则切线斜率kl，当l过坐标原点时，解得x01，则kl1，令2a1，得a，结合图像知0aBaCa且a0Da且a0考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案C解析f(x)3ax22x1，令f(x)0，即3ax22x10有两个不等实根，则得a0，则f(x)是增加的；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)是减少的，f(x)的极小值点为a2.4设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.5已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案2解析因为f(x)3x22axb，由题意知即解得则ab2.1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题一、选择题1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点函数的极值与导数的关系题点判定函数的极值点答案B解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选B.2.如图为yf(x)的导函数的图像，则下列判断正确的是()f(x)在(3,1)上为增加的；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减少的，在(1,2)上为增加的；x2是f(x)的极小值点ABCD考点函数极值的应用题点函数极值在图像上的应用答案B解析当x(3，1)时，f(x)0，f(x)在(3，1)上为减少的，在(1,2)上为增加的，不对；x1是f(x)的极小值点；当x(2,4)时，f(x)时，f(x)0；当0x时，f(x)0，解得x3或x0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的递减区间为()A(1,1) B(，1)C(1，) D(，1)和(1，)考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案A解析令f(x)3x23a0，得x，令f(x)0，得x或x；令f(x)0，得x0)的极大值为6，极小值为2，f()2，f()6，即a3ab2且a3ab6，得a1，b4，则f(x)3x23，由f(x)0，得1x1.递减区间为(1,1)故选A.6设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图像的一部分如图所示，则()Af(x)的极大值为f()，极小值为f()Bf(x)的极大值为f()，极小值为f()Cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)考点函数极值的应用题点函数的极值在图像上的应用答案D解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(3)7已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值考点函数的极值与导数的关系题点判别极值点与极值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.8已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()Aa1Ba1CaDa考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案A解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.二、填空题9函数yxex在其极值点处的切线方程为_考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函数yxex在极值点处的切线方程为y.10.已知函数f(x)ax3bx22，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数的极小值是_考点函数极值的应用题点函数极值在函数图像上的应用答案2解析由图像可知，当x0时，f(x)0，当0x0，故当x0时，函数f(x)取极小值f(0)2.11若直线ya与函数f(x)x33x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是_考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230，得x1，可得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，所以当2a2时恰有三个相异的公共点三、解答题12.函数f(x)x3ax2bxc的图像如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的递减区间考点极值的应用题点函数的极值在图像上的应用解(1)函数的图像过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图像与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0，得x0或x.由题意可知当x时，函数取得极小值4.3a24，解得a3，a3，bc0.(2)由(1)知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)，由f(x)0，得0x0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点14函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数是增加的，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.15已知函数f(x)x22lnx，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1,3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解(1)f(x)的定义域是(0，)令f(x)2x0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，又f(1)1，所以f(x)的极小值为1，无极大值(2)k(x)f(x)h(x)x2lnxa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，令k(x)0，得0x2，所以k(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的要使函数k(x)在1,3上恰有两个不同的零点，则需所以22ln2a32ln3.
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