2020版高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式（第2课时）均值不等式的应用学案（含解析）新人教B版必修5.docx

第2课时均值不等式的应用学习目标1.熟练掌握均值不等式及变形的应用2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题知识点一均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件当a0，b0时，有；当且仅当ab时，以上三个等号同时成立知识点二用均值不等式求最值用均值不等式求最值应注意：(1)x，y是否是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足1yx的最小值为2()2因为x212x，当且仅当x1时取等号所以当x1时，(x21)min2()3由于sin2x24，所以sin2x的最小值为4()4当x0时，x3x322x2，min2()题型一利用均值不等式求最值命题角度1求一元解析式的最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)已知x2，求x的最小值；(3)设0x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时，取等号函数yx(x0)在x2处取得最小值4(2)x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6(3)0x0，y4x(32x)22x(32x)22当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为反思感悟在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备跟踪训练1函数y2x(x0)的最大值为_答案4解析x0，x0，(2x)24，即y2x4命题角度2求二元解析式的最值例2(1)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_；(2)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_答案(1)18(2)解析(1)xy2xy626，设t(t0)，即t22t6，(t3)(t)0，t3，则xy18，当且仅当2xy且2xy6xy，即x3，y6时等号成立，故xy的最小值为18(2)根据题意，1(xy)2xy(xy)22(xy)2，所以(xy)2，所以xy，当且仅当xy0且x2y2xy1，即xy时等号成立反思感悟均值不等式连接了和“xy”与积“xy”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化跟踪训练2已知正数x，y满足xy1，则的最小值是_答案9解析xy1，(xy)14x0，y0，0，0，24，59当且仅当即x，y时等号成立min9题型二均值不等式在实际问题中的应用例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)900618009x1080921080910989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2则9(x1x2)900(x1x2)(x1x2)15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D答案B解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1因为a0，b0，所以(ab)222 4，当且仅当ab时，等号成立5设a，b，cR，ab2，且ca2b2恒成立，则c的最大值是()AB2CD4答案D解析ab2，a2b22ab4又ca2b2恒成立，c4故选D1用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答一、选择题1下列函数中，最小值为4的是()AyxBysinx(0x)Cyex4exDy答案C解析yx中x可取负值，其最小值不可能为4；由于0x，0sinx1，又ysinx在(0，1上单调递减，最小值为5；由于ex0，yex4ex24，当且仅当ex2时取等号，其最小值为4，1，y2，当且仅当x1时取等号，其最小值为22已知x1，y1且lgxlgy4，则lgxlgy的最大值是()A4B2C1D答案A解析x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy24，当且仅当lgxlgy2，即xy100时取等号3已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()AB4CD5答案C解析ab2，12，故y的最小值为4若0x，则函数yx的最大值为()A1BCD答案C解析因为0x，所以14x20，所以x2x，当且仅当2x，即x时等号成立，故选C5若xy是正数，则22的最小值是()A3BC4D答案C解析22x2y21124，当且仅当xy或xy时取等号二、填空题6(2018天津)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案解析由a3b60，得a3b6，所以2a23b62223，当且仅当23b6，即b1时等号成立7设x1，则函数y的最小值是_答案9解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1当x1时，函数y取得最小值98周长为1的直角三角形面积的最大值为_答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取等号，所以直角三角形的面积Sab，即S的最大值为9设a，b0，ab5，则的最大值为_答案3解析由a，b0，所以ab所以3，当且仅当，即a，b时“”成立，所以所求最大值为310某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.答案20解析总运费与总存储费用之和f(x)4x44x2160，当且仅当4x，即x20时取等号三、解答题11已知不等式x25axb0的解集为x|x4或x1(1)求实数a，b的值；(2)若0x1，f(x)，求函数f(x)的最小值解(1)依题意可得方程x25axb0的根为4和1，即(2)由(1)知f(x)，0x1，01x0，0，x(1x)5259，当且仅当，即x时，等号成立，f(x)的最小值为912已知x0，y0,2xyx4ya.(1)当a6时，求xy的最小值；(2)当a0时，求xy的最小值解(1)由题意，知x0，y0，当a6时，2xyx4y646，即()2230，(1)(3)0，3，xy9，当且仅当x4y6时，等号成立，故xy的最小值为9(2)由题意，知x0，y0，当a0时，可得2xyx4y两边都除以2xy，得1，xyxy1(xy)12，当且仅当，即x3，y时，等号成立，故xy的最小值为13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知an为等差数列，相关信息如图所示(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值解(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an62(n1)2n4(nN)，所以y25n36n220n36(n10)264，当n10时，y的最大值为64万元(2)年平均盈利为n20202208(当且仅当n，即n6时取“”)故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元14已知a0，b0，则2的最小值是()A2B2C4D5答案C解析a0，b0，22244，当且仅当ab1时，等号同时成立15若关于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，则对任意实常数k，总有()A2M，0MB2M，0MC2M，0MD2M，0M答案A解析M当kR时，(k21)222222(当且仅当k21时，取等号)2M，0M