资源描述
变力的功功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功，式中应是恒力但实际问题中经常遇到变力，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，对变力做功问题进行归纳总结如下：1.等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。2.微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。3.平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。4.图象法如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出Fx图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。5.能量转化法求变力做功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。用动能定理求变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是W外=EK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。用公式W=Pt求变力做功经典例题如图所示，某人用大小不变的力拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角为，经一段时间后，绳与水平面间的夹角为，已知图中的高度为，求绳的拉力对物体做的功（绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计）分析与解答：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由变到的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：s1s2Fh变式1 如图所示，某人利用跨过定滑轮的绳子拉质量为10kg的物体。定滑轮的位置比A点高4m。若此人缓慢地从A点移动到B点（A、B在同一水平面上，且），此人做了多少功？（g取10m/s2，不计滑轮的质量和摩擦。）分析与解答：在人缓慢地由A移动到B的过程中，虽然拉力的大小不变，但是拉力的方向不断变化，不能直接利用公式计算拉力所做的功。但如果用绳的拉力对物体所做的功等效代换人的拉力所做的功，就能将求变力功的问题转化为求恒力功的问题。由于小锦囊等效思想是物理教学中一种重要思维方法当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功物体在绳的拉力作用下上升的位移所以拉力所做的功变式2 物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少？分析与解答：设物体质量为m，受恒力F1时，F1ma1则a1F1m经t时间的位移此时速度，之后受恒力向左，与v方向相反，则物体做匀减速直线运动：F2ma2，加速度a2F2m，经t时间又回到原出发点，此过程位移为s，方向向左，则力F2做正功。因位移与v的方向相反，则有即联立可得，则力F2做的功所以经典例题如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A0J B20J C10J D20J.分析与解答：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W=FS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F2R=102J=20J，答案B变式1一质量为的小滑块在某小孩手的水平拉力的作用下在水平面做匀速圆周运动，滑块与水平面动摩擦因素为，则一小滑块转动一周的过程中，水平拉力、摩擦力分别做功多少？小锦囊若参与做功的变力，其仅力的大小不变，而方向改变，且力与位移的夹角确定不变，则可通过微分累积 求解分析与解答：手的水平拉力始终在圆周的切线方向上，故可以把圆周均匀分割成N段（N足够大），每段位移为，则每一小段上都可以认为水平拉力（滑动摩擦力）方向不变且与位移方向一致（相反），且每一小段上拉力做功，所以，即：水平拉力、摩擦力分别做功：，经典例题用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）分析与解答：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，可用平均阻力来代替如图1-1，第一次击入深度为，平均阻力，做功为第二次击入深度为到，平均阻力，位移为，做功为两次做功相等：得：，小锦囊若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式求解即：变式1一质量为105kg的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？分析与解答：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f00.0510510N5104N,所以前进100m过程中的平均牵引力:WS1105100J1107J。变式2如图，轻质弹簧的自然长度为，劲度系数为k。现有水平推力F推弹簧，使弹簧缩短x，求推力的功。分析与解答：推力与弹簧力相等。由胡克定律知，当时，；当时，显然弹簧被压缩的过程中的平均推力为：所以推力功为。MNEABO变式3放置的金属板，板中央有一个小孔O，板下存在竖直向上的匀强电场。电场强度为E。AB是一根长为L，质量为m的均匀带正电的绝缘细杆。现将杆下端置于O处，然后将杆由静止释放，杆运动过程中始终保持竖直。当杆下落L时速度达到最大。求：细杆带电量；杆下落的最大速度；若杆没有全部进入电场时速度减少为零，求此时杆下落的位移。分析与解答：下落l/3时，a=0，力平衡下落l/3时，速度最大，由动能定理得：设下落h时，速度为零，由动能定理682460241012F/Ns/m经典例题如图所示，做直线运动的物体所受的合外力与物体运动距离的对应关系已知物体的质量为开始处于静止状态，求末物体的速度多大？分析与解答：物体所受的合外力是变力根据图中曲线下所围的“面积”表示力的功的物理意义，可求得，再由动能定理求得变式1某人从井口匀速提水，水面距井口，水和桶共重200N，提桶的绳子长10m，重20N，求提上一桶水人做多少功？小锦囊若参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象那么所示的阴影面积，即为变力做的功分析与解答：在提水的过程中，人的拉力是变力，属于变力做功问题，虽不能直接用，但可转化为图线进行计算，开始提桶时，拉力大小等于桶重和全绳重220N，随着桶的上升，拉力减少，拉力F与绳上升的位移s的关系是，作出图线，如图6所示，图线与坐标轴包围的面积值就是人做功的数值，所以人做功：ABCDDOREh经典例题如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度V0=4m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为=0.02,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s2）.分析与解答：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上作永不停息的往复运动。由于物体只在在BEC圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为WG=mg(h-R/2),摩擦力所做的功为Wf=-mgscos600,由动能定理得：mg(h-R/2) -mgscos600=0-s=280m.变式1如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。分析与解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-mgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umgL-WAB=0即WAB=mgR-umgL=6(J)变式2如图所示，斜面足够长，其倾角为，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？分析与解答：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：得变式3如图所示，在空间有匀强磁场，磁感强度的方向垂直纸面向里，大小为B，光滑绝缘空心细管MN的长度为h，管内M端有一质量为m、带正电q的小球P，开始时小球P相对管静止，管带着小球P沿垂直于管长度方向的恒定速度u向图中右方运动设重力及其它阻力均可忽略不计（1）当小球P相对管上升的速度为v时，小球上升的加速度多大？（2）小球P从管的另一端N离开管口后，在磁场中作圆周运动的圆半径R多大？（3）小球P在从管的M端到N端的过程中，管壁对小球做的功是多少？分析与解答：（1）设此时小球的合速度大小为v合，方向与u的夹角为有 cos=u/v合=u/此时粒子受到的洛伦兹力f和管壁的弹力N如所示，由牛顿第二定律可求此时小球上升的加速度为：a=fcos=qv合Bcos/m 联立解得：a=quB/m（2）由上问a知，小球上升加速度只与小球的水平速度u有关，故小球在竖直方向上做加速运动设小球离开N端管口时的竖直分速度为vy，由运动学公式得此时小球的合速度故小球运动的半径为（3）因洛化兹力对小球做的功为零，由动能定理得管壁对小球做的功为：W=mv2mu2=quBhOabmgFqE变式4如图所示，水平地面上方有一匀强电场，在该电场中取一点O作为圆心，以R = 10cm为半径在竖直面内作一个圆，圆平面平行于匀强电场的电场线。在O点固定一个电量为Q = 510-4 C的带负电的点电荷。现将一个质量m = 3g、电量q = 210-10 C的带正电小球，放置在圆周上与圆心在同一水平线上的a点时，恰好能静止。若用一外力将小球从a点缓慢地移到圆周的最高点b，求这个外力所做的功（g = 10m/s2，静电力恒量k = 9109Nm2/C2）小锦囊如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。分析与解答：带电小球在a点受到库仑力为N = 0.09 N 带电小球所受重力mg = 0.03 N 所以 F = 3mg小球在a点静止，其受力如右图所示，由平衡条件得电场力qE = mg把小球从a点移到b点，负点电荷Q对它不做功，由动能定理得W mgR qEcosR + qEsinR = 0其中 cos= 3/， sin= 1/解得W = 3mgR = 910-3 JOAB经典例题如图所示，一根轻的刚性杆长为，中点和右端各固定一个质量为的小球，左端为水平转轴开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动，求从开始释放到摆到竖直位置的过程中，杆对球做了多少功？分析与解答：如果没有球，杆上只有球，摆到最低点球的速度为，根据机械能守恒定律有所以现在杆上有、两球，设摆到最低点时球速度为，则球速度为，系统仍满足机械能守恒的条件，有解出球两次末动能之差就是轻杆对球做的功，即变式1如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解答：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：EA= mgh+mV02/2对状态B：EB=W弹簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=（mgh+mv02/2）=125（J）Fba变式2如图所示，离水平地面高1.5L的一个光滑小定滑轮上，静止地搭着一根链条该链条长为L，质量为m（可以看作质量分布均匀）由于受到一个小小的扰动，链条开始无初速滑动，最后落到水平面上当该链条的一端刚要接触地面的瞬间（整个链条还在空间），链条的速度是多大？现在用一根细绳的一端a系住链条的一端，轻绳跨过定滑轮后，将绳拉紧，并在其另一端b用竖直向下的力F缓慢地拉链条，使它仍然搭到定滑轮上去，最终重新静止在定滑轮上，那么拉力F做的功是多少？（不计空气阻力）分析与解答：从图中可以看出该过程链条重心下降的高度为3L/4 小锦囊系统内只有重力和弹力做功，当弹力是变力时，求这个变力功可借助能量守恒定律（尤其是机械能守恒定律）链条下落过程用机械能守恒定律：解得从图中可以看出该过程链条重心上升的高度为5L/4 将链条拉回的全过程用动能定理：因此经典例题一质量为的小球，用长为的轻绳悬挂于点，小球在水平力作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到点，如图所示，此时悬线与竖直方向夹角为，则拉力所做的功为：FPQOTmgA BC D分析与解答：解物理题必须注意把握题中的关键词，比如此题中“很缓慢”三字，表明拉力所做的功并未增加物体的动能，根据题意恰恰是提高了势能，即：（或理解成据功能原理：的功增加了小球的机械能），B正确C选项则是利用了恒力做功公式W=Fscos，但事实上不是恒力如图，三球受，且，则在上拉过程中，C选项不正确答案为B变式1有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图5所示，人至少做多少功？分析与解答：外力做功的数值等于克服重力做功的数值，等于重力势能的增加量：变式2两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图所示，已知水的密度为。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于.分析与解答：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如图中的斜线所示。根据功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：所以重力做的功WG=.变式3面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为，密度为水的，质量为，开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求（1）从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。（2）若将该木块放在底面为正方形（边长为a）的盛水足够深的长方体容器中，开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到容器底部，不计摩擦。求从开始到木块刚好完全没入水的过程中，容器中水势能的改变量。Haaa/2分析与解答：（1）因水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来处于划斜线区域的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为，其势能的改变量为3a/4a/4大块势能的改变量为:根据功能原理，力F所做的功： (2) 因容器水面面积为2a2，只是木块底面积的2倍，不可忽略因木块压入水中所引起的水深变化，木块刚好完全没入水中时，图8中原来处于下方划斜线区域的水被排开到上方划斜线区域。这部分水的质量为/2，其势能的改变量为：。变式4一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力，使活塞缓慢向上移动已知管筒半径m，井的半径，水的密度，大气压Pa求活塞上升m的过程中拉力所做的功（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度）分析与解答：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为m的过程中，活塞始终与管内液体接触（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论）设活塞上升距离为，管外液面下降距离为，因液体体积不变，有：得小锦囊如果系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，且这些力中有变力做功，机械能的增量易求，用功能关系（或功能原理）求解简便题给，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即：其他力有管内、外的大气压力和拉力因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功，故外力做功就只是拉力做的功，由功能关系知：即J活塞移动距离从到的过程中，液面不变，是恒力，做功J所求拉力做的总功为J经典例题质量为的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为时，立即以不变的功率行驶，经过距离，速度达到最大值设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变求汽车的速度由增至的过程中所经历的时间及牵引力做的功分析与解答：汽车以恒定功率运动，此过程中的牵引力是变力当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值对汽车加速过程中由动能定理有又联立得：变式1质量为的机车。以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km/h，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功。分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。分析与解答：根据题意，机车所受阻力，当机车速度达到最大值时，机车功率为：根据，得机车做功：变式2质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。求：汽车所受阻力的大小。3s末汽车的瞬时功率。汽车做匀加速运动的时间。汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。分析与解答：所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。小锦囊第中的时间，有的学生用v=at，得t=vm/a=10s，这是错误的。要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的。由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由FFf=ma得F=8000N，故此时的功率为P= Fv =4.8104W。设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=a t=2t，这时汽车的功率为额定功率。由P=Fv，将F=8000N和v=2 t代入得t=5s。虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引力的功为W=Pt=400005J=2105J.功是高中物理中一个非常重要的物理量，当我们要求某个力的功时，首先要判断力是恒力还是变力，如果是恒力则可用公式W=FScos计算，否则，只能用其他方法，或用动能定理、功能原理等间接求出。
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