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2019届高三数学上学期期末考试试题 文(含解析)一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:解得,又,则,则,故选A.考点:一元二次不等式的解法,集合中交集运算.2.以为准线的抛物线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定抛物线的开口及的值即可得解.【详解】易知以为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上,且,开口向右,所以.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程的求解,属于基础题.3.已知a为函数f(x)=x312x的极小值点,则a=A. 4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】D【解析】试题分析:,令得或,易得在上单调递减,在上单调递增,故的极小值点为2,即,故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点在可导函数中,函数的极值点是方程的解,但是极大值点还是极小值点,需要通过这个点两边的导数的正负性来判断,在附近,如果时,时,则是极小值点,如果时,时,则是极大值点.4.记为等差数列的前项和,若, 则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得:,由等差数列的性质可得:,该数列的公差:,故.本题选择B选项.5.若两个单位向量,的夹角为120,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根据条件求解即可.【详解】由两个单位向量,的夹角为120,可得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积求向量的模长,属于基础题.6.已知变量x,y满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出x,y满足的可行域,然后平移直线,当直线经过点A(3,0)时取得最大值,求出即可。【详解】作出变量x,y满足的可行域,如下图阴影部分,平移直线,当直线经过点A(3,0)时,取得最大值,所以的最大值为3.故选A.【点睛】本题考查了线性规划问题,属于基础题。7.已知表示两条不同直线, 表示平面, 下列说法正确的是( )A. 若则 B. 若则C. 若则 D. 若则【答案】B【解析】试题分析:线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B正确.考点:空间点线面位置关系【此处有视频,请去附件查看】8.已知函数,则A. 是奇函数,且在R上是增函数 B. 是偶函数,且在R上是增函数C. 是奇函数,且在R上是减函数 D. 是偶函数,且在R上是减函数【答案】A【解析】分析:讨论函数的性质,可得答案.详解:函数的定义域为,且 即函数 是奇函数,又在都是单调递增函数,故函数 在R上是增函数。故选A.点睛:本题考查函数的奇偶性单调性,属基础题.9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为,则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】圆的半径,弦长的一半为1,以及圆心到渐近线的距离为,三者满足,解出ab的关系即可求出离心率。【详解】圆的圆心为(2,0),半径,双曲线的渐近线为,即,则圆心(2,0)到直线的距离为解得,则离心率.故答案为C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,及双曲线的性质,属于基础题。10.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先通过三视图还原该几何体,然后求出该几何体外接球的半径,进而求出该几何体外接球的表面积。【详解】由题意可知该几何体(如下图)是正方体被平面和平面截去三棱锥和三棱锥所剩下的部分,它的外接球和该正方体的外接球一样,设外接球半径为,则,解得,所以该几何体外接球的表面积为.故选D.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图及外接球问题,属于中档题。11.在中,若,则的形状一定是( )A. 等边三角形 B. 不含60的等腰三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】结合三角形的性质,对等式进行恒等变换,可以得到,进而求出角是直角,即可选出答案。【详解】由题意知,所以题中等式可转化为:,即,则,故,所以角为直角,即的形状一定是直角三角形。故答案为C.【点睛】本题考查了三角形的性质,及三角恒等变换,属于基础题。12.已知函数在定义域内可导,若且,记,则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可以得到函数图象的对称轴,由,可以得到函数的单调性,进而可以比较的大小关系。【详解】由得函数的图象关于对称,则,又因为,所以当时,此时函数为单调递增函数;所以,即.故答案为D.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性,属于基础题。二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分 ,共20分)13.曲线 恒过定点_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由即可得解.【详解】由,知曲线 恒过定点(4,3).故答案为:(4,3).【点睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题,属于基础题.14.曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】,故切线方程为,即15.若n是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是_【答案】或 【解析】【分析】根据等比中项的概念求出n值,然后分别利用椭圆、双曲线的性质求解离心率.【详解】由n是2和8的等比中项,得 ,解得n= ,当n=4时,圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆,离心率为 ,当n= -4时,圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线,离心率为故填:或.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程,考查了圆锥曲线的离心率的求法,涉及了等比中项的概念,考查了计算能力. 解题的关键是正确运用离心率公式.16.在正方体中, 分别为棱,的中点,则直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】找出直线的平行线,就等于直线与所成的角,求出即可。【详解】如图,取的中点为,连结,则易知,所以与直线与所成的角相等,设正方体的棱长为2,则,连结,则,则.【点睛】本题考查了异面直线的夹角,属于基础题。三、 解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)17.的内角所对的边分别为,向量与平行(1)求;(2)若,求的面积【答案】();().【解析】试题分析:()由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式,再由正弦定理化边为角,可求得角A;()由余弦定理(选用角A的等式),求出边,再选用公式可得三角形面积试题解析:(I)因为,所以由正弦定理,得,又,从而,由于所以(II)解法一:由余弦定理,得,而,得,即因为,所以,故面积为考点:向量平行的坐标运算,正弦定理,余弦定理,三角形面积【此处有视频,请去附件查看】18.已知数列是等比数列,,是和的等差中项,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】();()【解析】试题分析:()将已知条件转化为首项和公比表示,通过解方程得到基本量,从而确定通项为;()由数列的通项公式得数列的通项,结合特点采用错位相减法求和试题解析:()设数列的公比为,因为,所以, 1分因为是和的等差中项,所以 2分即,化简得因为公比,所以 4分所以() 5分()因为,所以所以 7分则, 9分得,10分,所以 12分考点:数列求通项与求和19.已知函数 (1)求函数的最小正周期;(2)若,求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)对函数进行化简,然后利用公式,可求出最小正周期;(2)先求出函数的单调性,然后即可求出值域。【详解】(1),所以最小正周期为,(2)由(1)知又因为,在区间上是减函数,在上是增函数,又,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数的单调性,属于中档题。20.如图,在四面体中,点分别是的中点. (1)求证:直线平面(2)求证: 平面平面(3)若平面平面且求三棱锥的体积【答案】(1)见解析; (2)见解析. (3)【解析】试题分析:(1)利用中位线的性质可得到AD即可证明;(2)由题意可知,只需证明BD平面EFC,即可证明平面面;(3)由题意可知,是正三角形,因此可将看成是底面来求三棱锥的体积,由前面可知AD是以为底面时三棱锥的高,分别计算出来代入体积公式即可求解。试题解析:(1)EF是的中位线,所以又 (2)(3)因为面面,且所以,由和得是正三角形所以考点:1.直线与平面平行的判定及性质;2.平面与平面垂直的判定及性质;3.三棱锥体积的求解21.已知椭圆,左右焦点分别为,且,点在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)过的直线与椭圆C相交于两点,若的面积为, 求直线的方程.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由可以求出,将点代入椭圆方程可以解出与的值,即可得出答案;(2)当直线与轴垂直时,可以求出两点的坐标,即可求出的面积,经计算不符合题意;当直线与轴不垂直时,设出直线方程,与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,利用弦长公式可以表示出,利用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离,进而得到的面积表达式,求得的值即可得到直线的方程。【详解】(1)因为所以,又点在该椭圆上,所以,又,解得,所以椭圆C的方程为.(2)当直线与轴垂直时,可得,的面积为3,不符合题意。当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,代入椭圆的方程得,显然成立,设则,所以,用点到直线距离公式可得到直线的距离,所以的面积,化简得解得,因此直线的方程为或.【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时,一般设出交点坐标,但不求交点坐标,而是用韦达定理作整体运算(把或看作一个整体)。22.已知函数其中为常数(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数在区间上为单调函数, 求的取值范围.【答案】(1)递增区间,递减区间;(2).【解析】【分析】(1)将代入函数表达式,然后对函数求导,利用导函数的性质即可求出的单调区间;(2)函数在区间上为单调函数,可以得到导函数在区间上满足或,然后求出的取值范围即可。【详解】(1)若时,定义域为,则,当,函数单调递增,当,函数单调递减。(2),若函数在区间上是单调函数,即在上或恒成立,即或在上恒成立,即或在上恒成立,令,因函数在上单调递增,所以或,即或解得或或,故的取值范围是.【点睛】(1)若函数在区间(a,b)内单调递增,则,若函数在(a,b)内单调递减,则.(2)或恒成立,求参数值的范围的方法:分离参数法:或.若不能分离参数,就是求含参函数的最小值,使;或是求含参函数的最大值,使得.
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