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2019届高三数学模拟试题 理(含解析)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:因为与互为共轭复数,考点:共轭复数,复数的运算2. 设集合,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,则,选C.3. 已知函数f(x)为奇函数,且当x0时, f(x) =x2+1x ,则f(-1)= ( )A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】当x0时,f(x)x21x,f(1)12112.f(x)为奇函数,f(1)f(1)2.4. 用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是A. 方程x2+ax+b=0没有实根 B. 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C. 方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D. 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根A【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.5. 将函数y=sin(2x +)的图像沿x轴向左平移8 个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为A. 34 B. 4 C. 0 D. 4【答案】B【解析】试题分析:由题意得y=sin(2(x+8)+)=sin(2x+4+)关于y轴对称,所以4+=2+k(kZ),=4+k(kZ), 的一个可能取值为4,选B.考点:三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x而言. 函数yAsin(x),xR是奇函数k(kZ);函数yAsin(x),xR是偶函数k(kZ);函数yAcos(x),xR是奇函数k(kZ);函数yAcos(x),xR是偶函数k(kZ);6. 已知实数x,y满足axay(0a1y2+1 B. ln(x2+1)ln(y2+1)C. sinxsiny D. x2y2【答案】D【解析】试题分析:实数x,y满足axay(0ay,对于选项A.若,则等价为x2+1y2+1,即x2y,但x2y,但sinxsiny不成立;对于选项C. 若ln(x2+1)ln(y2+1),则等价为x2y2成立,当x=1,y=1时,满足xy,但x2y2不成立;对于选项D.当xy时,x3y3恒成立, 故选D.考点:1、函数的单调性;2、不等式比较大小.7. 给定两个命题p、q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q的A. 充分而不必条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析:p是q的必要而不充分条件,q是p的充分不必要条件,即qp,但p不能q,其逆否命题为pq,但q不能p,则p是q的充分不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定8. 已知函数f(x)=|x2|+1,g(x)=kx,若f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是A. (0,12) B. (12,1) C. (1,2) (D)(2,+)【答案】B【解析】试题分析:由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,如图所示:KOA=12,数形结合可得-1k12考点:根的存在性及根的个数判断9. 过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0【答案】A【解析】试题分析:由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可解:因为过点(3,1)作圆(x1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足故选A考点:圆的切线方程;直线的一般式方程10. 已知ab,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为A. x2y=0 B. 2xy=0 C. x2y=0 D. 2xy=0【答案】A【解析】试题分析:ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,C1的离心率为:a2b2a, 双曲线C2的方程为x2a2y2b2=1,C2的离心率为:a2+b2a,C1与C2的离心率之积为32,a2b2aa2+b2a=32,(ba)2=12,ba=22,C2的渐近线方程为:y=22x,即x2y=0,故选A.考点: 1、椭圆、双曲线的离心率;2、双曲线的渐近线.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆、双曲线的简单性质及椭圆、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线,属于中档题.求解与椭圆双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.本题解答过程是根据离心率之积列出关于a,b的方程解得ba,进而得到渐近线方程的.11. 抛物线C1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线C2: x23y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=A. 316 B. 38 C. 233 D. 433【答案】D【解析】试题分析:由已知可求得抛物线C1的焦点F坐标及双曲线C2的右焦点F1的坐标,从而就可写出直线FF1的方程,联立直线方程与抛物线的方程可求得点M的横坐标,从而由导数的几何意义可用p将C1在点M处的切线的斜率表示出来,令其等于双曲线C2渐近线的斜率从而可解出p的值因为抛物线C1:y=12px2 (p0)的焦点F(0,), 双曲线C2:x23y2=1的右焦点F1(2,0),渐近线方程为;所以直线FF1的方程为:代入y=12px2并化简得,解得,由于点M在第一象限,所以点M的横坐标为:,从而C1在点M处的切线的斜率=,解得:;故选D考点:1抛物线的性质;2双曲线的性质;3导数的几何意义12. 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xyz取得最大值时,2x+1y2z的最大值为A. 0 B. 1 C. 94 D. 3【答案】D【解析】据已知不等式得z=x23xy+4y2z,故xyz=xyx23xy+4y2=1x23xy+4y2xy=1xy+4yx3,据均值不等式得xyz=1xy+4yx312xy4yx3=1,当且仅当xy=4yx,,即x=2y时取得最大值,此时z=2y2且2x+1y2z=2y22y2=(1y1)2+11,当y=1时取得最大值1.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13. 下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是_【答案】314. 若(ax2+bx)4的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为_.【答案】2【解析】Tr+1=C6r(ax2)6r(bx)r=C6ra6rbrx122rxr =C6ra6rbrx123r ,令123r=3,r=3,则C63a3b3=20,a3b3=1,则ab=1 ,a2+b22ab=2,则a2+b2的最小值为2.15. 已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=3,|AC|=2,若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为_【答案】712【解析】APBC=(AB+AC)BC=ABBC+ACBC=0,.AB=3,AC=2,ABAC=3 ,则93(1)+4=0,=712.16. 定义“正对数”:ln+x=0,0x0,b0,则ln+(ab)=bln+a若a0,b0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b若a0,b0,则ln+(ab)ln+aln+b若a0,b0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有:_ (写出所有真命题的编号)【答案】【解析】试题分析:因为定义的“正对数”:ln+x=00x1lnxx1是一个分段函数 ,所以对命题的判断必须分情况讨论:对于命题(1)当0a0时,有0ab0时,有ab1,从而ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,所以ln+(ab)=bln+a;这样若a0,b0,则ln+(ab)=bln+a,即命题正确.对于命题举反例:当a=14,b=2时,ln+(ab)=ln+12=0,ln+a+ln+b=ln+14+ln+2=0+ln2=ln2所以ln+(ab)ln+a+ln+b,即命题不正确.对于命题,首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质:ln+x0,且ln+xlnx,(1)当0a1,0b1时,ln+aln+b=00=0,而ln+(ab)0,所以ln+(ab)ln+aln+b;(2)当a1,0b1,ln+aln+b=lna0=lna,而ln+(ab)=lnab=lnalnb,因为lnb0,所以ln+(ab)ln+aln+b;(3)当0a1,b1时,有0ab1,ln+aln+b=0lnb=lnb0,而ln+(ab)=0,所以ln+(ab)ln+aln+b;(4)当a1,b1时,ln+aln+b=lnalnb=lnab,而ln+xlnx,所以ln+(ab)ln+aln+b,综上即命题正确.对于命题首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质:若x1x2,则ln+x1ln+x2,(1)当0a1,0b1时,有0a+b2,从而ln+(a+b)ln+2=ln2,ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2,所以ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2;(2)当a1,0b1,从而ln+(a+b)=ln(a+b)ln(a+a)=ln(2a),ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln(2a),所以ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2;(3)当0a1,b1时,与(2)同理,所以ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2;(4)当a1,b1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab),因为2ab(a+b)=aba+abb=a(b1)+b(a1)0,所以2aba+b,从而ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2,综上即命题正确.通过以上分析可知:真命题有.考点:指数函数、对数函数及不等式知识的综合.三、解答题:本大题共6小题,共74分.17. 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= 79.()求a,c的值; ()求sin(A-B)的值.【答案】(1)a=c=3(2)10272【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB,得b2(ac)22ac(1cosB),又ac6,b2,cosB79,所以ac9,解得a3,c3.(2)在ABC中,sinB1cos2B429,由正弦定理得sinAasinBb223,因为ac,所以A为锐角,所以cosA1sin2A13,因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB10227.18. 已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),设函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点(12,3)和点(23,2).()求m,n的值;()将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调增区间.【答案】(I)P(A)=310(II)见解析;E()=9130【解析】试题分析:()利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简,将函数过的点(12,3)和点(23,2)代入就可得到关于m,n的方程,解方程求其值;()利用图像平移的方法得到y=g(x)的解析式,利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1求得角,得g(x)=2cos2x,求减区间需令2x2k,+2k解x的范围试题解析:(1)由题意知y=f(x)的过图象过点(12,3)和(23,2),所以3=msin6+ncos6,2=msin43+ncos43,即3=12m+32n,2=32m12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知由题意知g(x)=f(x+)=2sin(2x+2+6)设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知1+x02=1,所以,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入y=g(x)得sin(2+6)=1,因为01e2时,方程有两个根;当c=1e2时,方程有一两个根;当时,方程有无两个根.【答案】(1)当时(2)【解析】试题分析:对函数求导,令,解出 ,分别研究 再区间 和上得符号,判断出函数的单调性,并求出最值;根据函数 的单调性与最值模拟出函数的图象,再画出的图象,根据值所在的范围不同观察图象的交点个数,得出方程的根的个数.试题解析:(1),令得,当,函数单调递减;函数单调递减;所以当时,函数取得最的最大值(2)由(1)知, 先增后减,即从负无穷增大到,然后递减到c,而函数 是(0,1)时由正无穷递减到0,然后又逐渐增大。故令 得,所以当时,方程有两个根;当时,方程有一两个根;当时,方程有无两个根.
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