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课时规范练21三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是() A.2B.C.32D.22.(2017安徽蚌埠一模,文3)已知sin+5=33,则cos2+25=()A.13B.33C.23D.323.已知2sin 2=1+cos 2,则tan 2=()A.43B.-43C.43或0D.-43或04.已知cos23-2=-79,则sin6+的值等于()A.13B.13C.-19D.195.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.,0,B.2,-4,34C.,-8,38D.2,-4,46.(2017湖北武汉二月调考,文9)为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象()A.向右平移4个单位长度B.向左平移4个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向左平移2个单位长度7.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.8.(2017江苏无锡一模,12)已知sin =3sin+6,则tan+12=.9.(2017北京东城一模,文15)已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,)上的单调减区间.导学号2419074310.(2017山东潍坊二模,文17)已知函数f(x)=23sinx+6cos x(00,02的图象的相邻两对称轴之间的距离为,且在x=6时取得最大值2,若f()=95,且60),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则的最小值为()A.12 016B.14 032C.12 016D.14 032导学号2419074413.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,则cos(-)的值为.14.(2017山东潍坊一模,文16)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsin Acos C+csin Acos B=32a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tan Asin xcos x-12cos 2x(0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为2,将函数y=f(x)的图象向左平移4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间-24,4上的值域.导学号24190745创新应用组15.(2017福建福州一模,文10)已知m=tan(+)tan(-+),若sin 2(+)=3sin 2,则m=()A.-1B.34C.32D.216.(2017辽宁沈阳一模,文17)已知函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a,且当x0,2时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得图象向右平移12个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间0,2上所有根之和.答案：1.Bf(x)=2sinx+62cosx+6=2sin2x+3,故最小正周期T=22=,故选B.2.A由题意sin+5=33,cos2+25=cos 2+5=1-2sin2+5=1-2332=13.故选A.3.C因为2sin 2=1+cos 2,所以2sin 2=2cos2.所以2cos (2sin -cos )=0,解得cos =0或tan =12.若cos =0,则=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan 2=0.若tan =12,则tan 2=2tan1-tan2=43.综上所述,故选C.4.Bcos23-2=-79,cos-3+2=-cos3+2=-cos 26+=-1-2sin26+=-79,解得sin26+=19,sin6+=13.故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-4,则T=22=.又2k-22x-42k+2(kZ),k-8xk+38(kZ)为函数的单调递增区间.故选C.6.Ay=sin 2x+cos 2x=222sin2x+22cos2x=2cos 2x-8,y=cos 2x-sin 2x=222cos2x-22sin2x=2cos 2x+8=2cos 2x+4-8,只需将函数y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移4个单位长度可得函数y=sin 2x+cos 2x的图象.7.3f(x)=1+2cos2x-12cosx+sin x+a2sinx+4=cos x+sin x+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.8.23-4sin =3sin+6=332sin +32cos ,tan =32-33.又tan12=tan3-4=tan3-tan41+tan3tan4=3-13+1=2-3,tan+12=tan+tan121+tantan12=32-33+2-31+32-33(2-3)=3+(2-3)(2-33)(2-33)-3(2-3)=-16-834=23-4.9.解 (1)函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x.图象过点4,1,即1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4.函数的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函数f(x)的单调减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调减区间为8,58.10.解 (1)函数f(x)=23sinx+6cos x=23sinx32+23cos x12cos x=3sin2x+6+32.f(x)的图象过点512,32,3sin2512+6+32=32,2512+6=k,kZ,即=6k-15.再结合02,可得=1,f(x)=3sin2x+6+32,故它的最小正周期为22=.(2)将y=f(x)的图象向右平移6个单位长度,得到函数y=g(x)=3sin2x-6+32的图象.由已知g2=536=3sin-6+32,sin-6=13,cos2-3=1-2sin2-6=79.11.D由题意,T=2,即T=2=2,即=1.又当x=6时,f(x)取得最大值,即6+=2+2k,kZ,即=3+2k,kZ.02,=3,f(x)=sinx+3+1.f()=sin+3+1=95,可得sin+3=45.623,可得2+3,cos+3=-35.sin2+23=2sin+3cos+3=245-35=-2425.故选D.12.D由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016)是函数f(x)的最大值.显然要使结论成立,只需保证区间x0,x0+2 016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f(x)=cos x(sin x+3cos x)=12sin 2x+32(1+cos 2x)=sin2x+3+32,则2 0161222,求得14 032,故的最小值为14 032.13.23270,2,2(0,).cos =13,cos 2=2cos2-1=-79,sin 2=1-cos22=429,又,0,2,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos 2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)=-79-13+429223=2327.14.解 (1)bsin Acos C+csin Acos B=32a,由正弦定理,得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=32sin A.A为锐角,sin A0,sin Bcos C+sin Ccos B=32,可得sin(B+C)=sin A=32,A=3.(2)A=3,可得tan A=3,f(x)=3sin xcos x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.其图象上相邻两条对称轴间的距离为2,可得T=22=22,解得=1,f(x)=sin2x-6,将y=f(x)的图象向左平移4个单位长度后,图象对应的函数为y=g(x)=sin2x+4-6=sin2x+3.x-24,4,可得2x+34,56,g(x)=sin2x+312,1.15.Dsin 2(+)=3sin 2,sin(+)-(-)=3sin(+)-(+-),sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=3sin(+)cos(+-)-3cos(+)sin(+-),即-2sin(+)cos(+-)=-4cos(+)sin(+-),12tan(+)=tan(+-),故m=tan(+)tan(-+)=2,故选D.16.解 (1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a=cos 2x+1+3sin 2x+a=2sin2x+6+a+1,x0,2,2x+66,76,f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,f(x)=2sin2x+6+3,由2k-22x+62k+2,kZ,可得k-3xk+6,kZ,f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin4x-6+3,由g(x)=4可得sin4x-6=12,4x-6=2k+6(kZ)或4x-6=2k+56(kZ),解得x=k2+12(kZ)或x=k2+4(kZ).x0,2,x=12或x=4,所有根之和为12+4=3.
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