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第05节 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数 yA sin (x) 的物理意义，掌握 yA sin (x) 的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2013浙江文6理4； 2014浙江文4，理4；2016浙江文11，理10.1.“五点法”作图；2.函数图象的变换；3.三角函数模型的应用问题.4.往往将恒等变换与图象和性质结合考查5.备考重点： (1) 掌握函数图象的变换；(2) 掌握三角函数模型的应用.【知识清单】1.求三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：（3）由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置（4）利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.2.三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;把函数向右平移个单位，得到函数的图像;把函数向上平移个单位，得到函数的图像;把函数向下平移个单位，得到函数的图像.伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.3 .函数的图像与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】【2018届河北省石家庄二中三模】将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【1-2】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】的图象向左平移单位得到的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是，故选C.【领悟技法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；(4) 求，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.【触类旁通】【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由图易知： ， ，即，由五点法作图知： ，得： ，即，将函数的图象向左平移个单位，得： ，即=故选A.【变式二】【2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数 的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据函数的部分图象知，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.考点2 三角函数图象的变换【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位【答案】A【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得， 则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.【领悟技法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错2. 图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响注3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【触类旁通】【变式一】【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据辅助角公式，我们可将函数化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案.详解：，将其图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的解析式为，由于为偶函数，则，则，由于，故当时，.故选：C.【变式二】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（ ）A. 向左平移 B. 向右平移C. 向左平移 D. 向右平移【答案】B【解析】由函数的图象，变换得到函数的图象向右平移.故选：B考点3函数的图像与性质的综合应用【3-1】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.【3-2】【2017浙江杭州二模】设函数.（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值.【答案】（1）；（2）3.试题解析：（1）因为 . ， ，函数的单调递增区间为： ；（2）， ，的最大值是3.【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5（）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从， ，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（）为保证队员安全，规定在一天中的518时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.【解析】试题分析 ：（1）先画出散点图，可知选做为函数模型，同时可求出各参数， , 代最值点可求.（2）由（）知： ,令，可解得 .试题解析：（）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：- 依题意，选做为函数模型， （）由（）知： 令，即 又 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【领悟技法】1. 求形如或 (其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)2. 如何确定函数当时函数的单调性对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：(1)将化为正(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解4特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域【触类旁通】【变式一】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）A. B. C. D. 【答案】A【易错试题常警惕】易错典例：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是( )A. B. C. D.易错分析：函数的图像向右平移个单位长度误写成.正确解析：依题意,因为,的图像都经过点,所以,又因为,所以,或,即或,在,中,取,即得,故选B.温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休.数与形反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【2018届北京市城六区一模】函数（）的部分图象如图所示， 其中是函数的一个零点(I)写出及的值；()求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（）；（）最小值为；最大值为.【解析】试题分析：（）结合函数的最小正周期可得，由时的函数值可得，函数的解析式为： ，则.（）由（）可知， ，结合正弦函数的性质可得函数在区间上的最小值为；最大值为.（）由（）可知， ，因为，所以，当即时， 的最小值为.当即时， 的最大值为.
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