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考点规范练30等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案C解析a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,q=2.a2=a1q=12.2.在正项等比数列an中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为()A.212B.93C.93D.35答案B解析a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,a2a48=3.又a1a49=a2a48=a252=3,a250,a1a2a25a48a49=a255=93.故选B.3.(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案D解析由题意知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为122的等比数列,则第八个单音的频率为(122)7f=1227f.4.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D解析an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.5.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案A解析a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.设数列an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-12解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+432(-1)=4a1-6.S1,S2,S4成等比数列,(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-12.7.设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.8.(2018辽宁部分重点高中联考)已知数列an是等差数列,a2,a4,a8成等比数列,则该等比数列的公比为.答案1或2解析设an的公差为d.a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),即d2=a1d,d=0或d=a1.当d=0时,a2=a4,公比为1;当d=a1时,a2=2d,a4=4d,公比为2.故等比数列的公比为1或2.9.(2018全国,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.10.已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.11.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列bn是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列|an|的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d.S4=4(a3+1),3a3=5a4,4a1+6d=4(a1+2d+1),3a1+6d=5a1+15d,解得a1=9,d=-2.an=11-2n.设数列bn的公比为q.b1b2=b3,2b1=a5,b12q=b1q2,2b1=1,解得b1=12,q=12.bn=12n.(2)由(1)知,Sn=10n-n2.由an=11-2n0可知n5.5,即a10,a20,a50,a60,a70,an0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D解析a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,a+b=p,ab=q.p0,q0,a0,b0.又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,2b=a-2,ab=4或2a=b-2,ab=4.解得a=4,b=1;解得a=1,b=4.p=a+b=5,q=14=4.p+q=9.故选D.13.(2018北京石景山一模)如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为22,则其最小的正方形的边长为.答案132解析由题意,得各正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列.已知共得到1023个正方形,则1+2+2n-1=1023,解得n=10,故最小的正方形的边长为22229=132.14.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案64解析设an的公比为q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或n=4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.15.(2018广东东莞二模)已知等比数列an与等差数列bn,a1=b1=1,a1a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求an,bn的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列an,bn的前n项和,若Sn+Tn100,求n的最小值.解(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,则2q=2+2d,q2=1+3d,解得d=0,q=1(舍)或d=1,q=2,故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn=1-2n1-2=2n-1,Tn=n(n+1)2.由Sn+Tn100,得2n+n(n+1)2101.2n+n(n+1)2是单调递增数列,且26+672=85101,n的最小值为7.三、高考预测16.已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2).(1)求证:an+1+2an是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明an+1=an+6an-1(n2),an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).又a1=5,a2=5,a2+2a1=15,an+2an-10(n2),an+1+2anan+2an-1=3(n2),数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解由(1)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,an-3n0,an-3n是以2为首项,-2为公比的等比数列.an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.
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