浙江省衢州五校2017-2018学年高二数学上学期期末考试联考试题（含解析）.doc

衢州五校2017学年第一学期高二年级期末联考数学试题第卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（ ）A. 若不是偶数，则与不都是偶数B. 若不是偶数，则与都不是偶数C. 若是偶数，则与不都是偶数D. 若是偶数，则与都不是偶数【答案】A【解析】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则与不都是偶数”.故选：A2. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】一般式化为斜截式：，故k=，故倾斜角为.故选C.3. 已知，若，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设点为，又，即, D点坐标 故选：D4. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】与直线垂直的直线的斜率为，有过点，所求直线方程为：即故选：C5. 已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（ ）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于【答案】B【解析】对于A，若且，则或，故错误；对于B，若且，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；对于C，若且，则，故错误；若m不垂直于，且n，则m可以垂直于n，故D错误故选：B6. 圆上的动点到直线的最小距离为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】圆x2+y24x4y+7=0即（x2）2+（y2）2=1，表示圆心坐标为（2，2），半径等于1的圆圆心到直线的距离为 =2 （大于半径），圆x2+y24x4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为21故选：D点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.7. 由曲线围成的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x0，y0时，解析式为（x1）2+（y1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是22+4（）2=8+4故选：D8. 在直角坐标平面内有四点，为该坐标平面内的动点，则到四点的距离之和的最小值为（ ）A. B. C. 12 D. 【答案】A【解析】设平面直角坐标系中任一点P，P到点，的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC，即到四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对角线长度之和故选：A9. 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）A. B. 16 C. D. 32【答案】B【解析】设AC=x，BC=y，由题意得x0，y .0，x2+y2=16，当阳马BA1ACC1体积最大，V=4xy=取最大值，xy=8，当且仅当x=y=时，取等号，当阳马BA1ACC1体积最大时，AC=BC=，此时堑堵ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=故选：B10. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E，令|CF|=m，|BF|=|AE|=4m， |AF|=2a-4m，在直角三角形EAC中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化简可得a=3m，在直角三角形EAF中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即为5a2=9c2，可得e=故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第卷（共110分）二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知直线，直线，若，则_；若，则两平行直线间的距离为_.【答案】 (1). (2). .若，则，解得：两平行直线间的距离为故答案为：，12. 某几何体的三视图入下图所示，则该几何体最长的一条棱的长度_，体积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】如图所示，该几何体为三棱锥PABC其中PA底面ABC，PA=2，底面ABC是边长为2的等边三角形该几何体最长的一条棱的长度为PA或PC=2，体积V=故答案为：，点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.13. 已知正方体中，异面直线与所成角的余弦值是_；若，则_【答案】 (1). (2). 【解析】如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4易得：，异面直线与所成角的余弦值是由可得：即，故答案为：，点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.14. 已知椭圆的方程为，则其长轴长为_；若为的右焦点，为的上顶点，为上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】由题意易得：长轴长为；四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，设与直线BF平行的直线方程为y=x+m，联立，可得3x24mx+2m22=0由=16m243（2m22）=0，解得m=P为C上位于第一象限的动点，取m=，此时直线方程为y=x+则两平行线x+y=1与x+y的距离为d=.三角形BFP的面积最大值为S=四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=故答案为：15. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若（为坐标原点），则_【答案】5【解析】过B引准线的垂线，垂足为N，连接AN，易知：A、O、N三点共线，即故答案为：5点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化16. 如图，矩形与所成的二面角的平面角的大小是，现将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是_【答案】【解析】矩形与所成的二面角的平面角的大小是，若将绕旋转一周，得到一个以AD为底面半径，高为AB的圆锥所以：当BD旋转到与AB，BF在一个平面时，直线与平面的夹角达到最大和最小值最小值为：FAC=由于FBD=+=，所以最大值为：则：直线与平面所成角的取值范围是故答案为：17. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点，若，则_.【答案】【解析】设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BEAA1于E，根据双曲线的第二定义，得|AA1|=，|BB1|=，则|AA1|=2|BB1|=，cosBAE=，sinBAE=，tanBAE=k=故答案为：三、解答题 （本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：(1) 若命题p为真命题，根据圆的一般方程与椭圆的标注方程满足的条件建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；(2) 若是的必要不充分条件，则，从而建立关于实数a的不等关系.试题解析：（1）若命题为真命题时，则由方程即表示圆，解之得（2）由成立得，若是的必要不充分条件，则，解之得19. 如图，在直三棱柱中，且分别是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析;（2）【解析】试题分析：(1) 根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行线面平行;(2)先证明平面，从而即为直线与平面所成角，进而得到直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：连接交于点，连接为正方形，为中点又为中点，所以为的中位线又平面，平面平面（2）作于，连接，为的中点又平面平面，且平面平面，平面平面，而平面平面平面平面即为直线与平面所成角设，则在中，点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.20. 已知抛物线的焦点为，为过定点的两条直线.（1）若与抛物线均无交点，且，求直线的斜率的取值范围；（2）若与抛物线交于两个不同的点，以为直径的圆过点，求圆的方程.【答案】（1）或;（2）【解析】试题分析：(1) 设直线的方程为，代入抛物线得即 ，由于与抛物线无交点所以 同理与抛物线均无交点，然后取交集即可；(2) 由得，由于，所以，计算得，此时圆心，满足，从而得到圆的方程.试题解析：（1）当的斜率不存在时，的斜率为0，显然不符合题意.所以设直线的方程为，代入抛物线得即由于与抛物线无交点所以即有，同理，方程为，由与抛物线无交点可得，即由得，得或（2）设，由得，所以易得，由于，所以，而即，即即，得，此时圆心，则，半径所求的圆方程为21. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）见解析;（2）【解析】试题分析：（1）连接BD，在ADB中，AD=AB，BAD=60，可得ADB是等边三角形可得DEAB可得CD平面PDE，即可证明PECD在中，可得.试题解析：（1）在菱形中，因为，为的中点，可得，又因为，所以平面，因此（2）过作，垂足为，连结由平面，得，所以是二面角的平面角由，可得，由为中点，所以又，在中，由余弦定理得，故，所以在中，可得所以，二面角的正切值为点睛：（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。” （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角22. 如图，分别是椭圆的左、右焦点，焦距为，动弦平行于轴，且.（1）求椭圆的方程；（2）过分别作直线交椭圆于和，且，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】试题分析：（1）由椭圆的对称性及已知得，又因为，所以，从而得到椭圆方程；（2）讨论的倾斜角，利用根与系数的关系表示四边形面积，进而得到四边形面积的最大值.试题解析：（1）因为焦距，所以，由椭圆的对称性及已知得，又因为，所以，因此，于是，因此椭圆方程为；（2）当的倾斜角为0时，与重合，不满足题意当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，设直线的方程为代入，得+-=显然，设，则，所以 设，所以，所以 当且仅当即时，即时等号成立。所以，而所以