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第3讲突破压轴题全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.压轴热点一函数的图象、性质及其应用【例1】(2019龙岩期末)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，则实数的取值范围是（）ABCD解析由，可得，则，故函数的周期为4，则，又因为是定义在上的奇函数，所以,所以，解得，故答案为A.【训练1】(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A.0B.mC.2mD.4m解析法一由题设得(f(x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点(0，1)对称，则yf(x)的图象关于点(0，1)对称.又y1，x0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则(xiyi)xiyi02m，故选B.法二特殊函数法，根据f(x)2f(x)可设函数f(x)x1，联立y，解得两个点的坐标为或此时m2，所以(xiyi)2m，故选B.答案B压轴热点二直线与圆的位置关系【例2】(2019张家口期末)圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）ABCD解析由题意知，设的坐标为,则, ,因为，所以，即，又，联立解得或，因为B在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.【训练2】已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为_.解析由圆的方程得x2(y1)21，所以圆心为C(0，1)，半径r1，四边形PACB的面积S2SPBC，因为四边形PACB的最小面积为2，所以SPBC的最小值为1，而SPBCrPB，即PB的最小值为2，此时PC最小为圆心到直线的距离，此时d，则k24，因为k0，所以k2.答案2压轴热点三圆锥曲线及其性质【例3】(2019济南模拟)已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，连接轴于点，若，则该椭圆的离心率为( )ABCD解析设，如图所示，由题意可得：，则，n3m化为：m2，n29m26b26b24c2c2，化为故选D【训练3】(2017唐山一模)已知双曲线C：x21的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则SABF()A.B.C.D.解析由双曲线C：x21，得a21，b23.c2.A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为yx，不妨设BF的方程为y(x2)，代入方程yx，解得：B(1，).SAFB|AF|yB|1.答案B压轴热点四不等式及基本不等式的应用【例4】(2019聊城一中)已知是内的一点，且，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，则的最小值是（）A2B8C6D3解析，化为则，而，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选D【训练4】已知一元二次不等式f(x)0的解集为()A.x|xln 3B.x|xln 3C.x|1xln 3D.x|x0的解集为，又f(ex)0，得1ex，x0的解集为x|x0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N120，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.3.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1，2，10)，且a1a2a10，若48ai5M，则i_.1. (2019厦门期末)函数，当时，则的最小值是（）A1B2CD2.已知数列an为等差数列，且a11，a25，a58，设数列an的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则Mm()A.500B.600C.700D.8003. (2019肇庆一模)已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（）ABCD参考答案1.【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.2.【解题思路】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.【答案】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.3.【解题思路】首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.【答案】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.1.【解题思路】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【答案】不等式可化为：，令，又恒成立，故在上单调递增，又，等价于，由在上单调递增可得：，所以不等式的解集为，故选A2.【解题思路】由题意，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1O|F2O|，|PO|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，所以PF1F2M，又MF2N120，可得F1PF2120，在PF1F2中，由余弦定理得4c216a24a224a2acos 120，则4c220a28a2，即c27a2，得ca，所以双曲线的离心率e.【答案】B3.【解题思路】根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则解得a1，d.所以该金杖的总重量M1015，因为48ai5M，所以4875，即396i75，解得i6.【答案】61.【解题思路】依题意，由，得，利用集合的包含关系，得到所以，得，进而可求得结果.【答案】因为，所以，依题意，由即，得所以，所以，整理得，又，所以，所以，所以的最小值为2.2.【解题思路】由题意，可知公差最大值时，S15最大；公差最小时，S15最小.可得a11，a25，此时公差d4是最大值，MS151154435.当a25，a58，此时d1是最小值，a14，mS154151165.Mm435165600.【答案】B3.【解题思路】设出点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入，得到另一个等式，对比这两个等式求得的值，由此求得离心率的值.【答案】依题意可知，.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.故选D.
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