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.通州区 20172018 学年度高三一模考试数学（理）试卷 2018 年 4 月 本试卷分第一部分和第二部分两部分，共 150 分考试时间长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集 ，集合 ， ，那么 等于UR|10Ax,12BUABA B C D 0,2,2 22已知 ， 满足 那么 的最小值是xy1,2xzxyA. B. 10C. D. 3执行如右图所示的程序框图，若输出 的值是 ， m25则输入 的值可以是kA B 46C D8104设 ， ， ，那么13log6a3l2b12cA B C D cababcacb5 “ , 成立”是“ ”的xR20x0,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知抛物线 的准线与圆心为 的圆 交于 ， 两点，那28y280xyAB么 等于BA B C D2542是开始输出 m结束否nk21,n输入 k.2227已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，且它的正视图如图所示，PABCD则该四棱锥侧视图的面积是 A B 424C D 28描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成 ， ， 三ABC件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下：原料时间工序原料 A原料 B原料上漆 9 16 10描绘花纹 15 8 14则完成这三件原料的描金工作最少需要A 小时 B 小时 C 小时 D 小时43464749第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上9已知复数 是纯虚数，那么实数 _.1iaa10若直线 的参数方程为 ( 为参数) ，则点 到直线 的距离是_.l1,xty4,0Pl11已知数列 na是等比数列， ， ，那么 _；记数列34a6286a2n的前 项和为 ，则 _.nS12 位教师和 名学生站成一排合影，要求 位教师站在中间，学生甲不站在两边，42则不同排法的种数为_（结果用数字表示）.13在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，ABCCabc60B4b下列判断： 若 ，则角 有两个解； 3c若 ，则 边上的高为 ； 12A3 不可能是 . a9其中判断正确的序号是_.14设函数 ， ，非空集合 .2()cosfxaxR|()0,MxfxR 中所有元素之和为_；M若集合 ，且 ，则 的值是_.|0,Nf Na三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本题满分 13 分）已知函数 2sincos3s2xxfx（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值 f,016 （本题满分 13 分）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017 年 12月 25 日发布的北京市通州区统计年鉴（2017） 显示：2016 年通州区全区完成全社会固定资产投资 939.9 亿元，比上年增长 17.4，下面给出的是通州区 2011-2016 年全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局 2018 年 1 月 25 日发布：2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资 1054.5 亿元，比上年增长 12.2. （）在图二中画出 2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图） ，标出增一一17.416.416.416.721.720.0 939.980.8687.7590.8506.1415.8一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一25.020.015.010.05.00.0201-2016年 全 社 会 固 定 资 产 投 资 及 增 长 率1009080706050403020100 20162015201420132012201一一一一一201725.020.015.010.05.00.01017.416.416.416.721.720.0 939.980.8687.7590.8506.1415.8一一一一一一一一一一一一一一一一 201-2017年 全 社 会 固 定 资 产 投 资 及 增 长 率1009080706050403020100 20162015201420132012201.长率并补全折线图；（）通过计算 2011-2017 这 7 年的平均增长率约为 17.2，现从 2011-2017 这 7 年中随机选取 2 个年份，记 为“选取的 2 个年份中，增长率高于 17.2的年份个数” ，X求 的分布列及数学期望；X（）设 2011-2017 这 7 年全社会固定资产投资总额的中位数为 ，平均数为 ，比0xx较 与 的大小（ 只 需 写 出 结 论 ） .0x17 （本题满分 14 分）如图所示的几何体中，平面 平面 , 为等腰直角三角形， PADBCPAD， 四边形 为直角梯形，90APDBC， ， ，/B2， . Q1（）求证： 平面 ； /Q（）求二面角 的余弦值； BCA（）在线段 上是否存在点 ，使得M平面 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. AMQQB18 （本题满分 13 分）已知函数 , ， xef)()1()xeagR（）当 时，求证： ；1af（）当 时，求关于 的方程 的实根个数. x)(xgf19 （本题满分 13 分）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，且 ，离心2:10xyCabAB2率为 ， 为坐标原点 .32OQBCDAP.（）求椭圆 的方程；C（）设 ， 是椭圆 上的两个动点（不与 ， 重合） ，且关于 轴对称， ，PQAByM分别是 ， 的中点，直线 与椭圆 的另一个交点为 . 求证：NOBMCD， ， 三点共线.D20 （本题满分 14 分）已知数列 ，设 ，若数列 为单调增数列或na1,23nna na常数列时，则 为凸数列. （）判断首项 ，公比 ，且 的等比数列 是否为凸数列，并说明01qn理由；（）若 为凸数列，求证：对任意的 ，且 ， ， ，na1kmkN均有 ，且 ； 1mmka1ax,n其中 表示 ， 中较大的数；ax,nn（）若 为凸数列，且存在 ，使得 ， ，1,ttN0tanta求证： .12na.高三数学（理科）一模考试参考答案2018.4一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C D B D C B二、填空题9 10.11. 4，1221n12. 13. 14.，24 0三、解答题15. 解：（）因为 2sincos3s2xxfx2sinco23x1i 3sin+2x4 分所以 的最小正周期 fx.T6 分（）因为 ，所以 . ,02+,3x所以当 ，即 时，函数 )(f取得最大值 3x 3sin+.2当 ，即 时，函数 )(xf取得最小值256x1.所以 在区间 上的最大值和最小值分别为 和 13fx,031+.2分16. 解： （） 4分（）依题意， 的可能取值为 ， ， . 5X012分， ， . 8247(0)CP13427()CP2371()CPX分所以 的分布列为X 9 分所以 的数学期望 10X24160.77EX分012P274712.21054.5一一 一一一2017 25.020.015.010.05.00.01100 17.416.416.416.721.720.0 939.9800.8687.7590.8506.1415.8 一一一一一一一一一一一一一一一一 2011-2017年 全 社 会 固 定 资 产 投 资 及 增 长 率10009008007006005004003002001000 201620152014201320122011.（） x. 130分17. 解：（）因为 ， ，所以四边形 是平行四边形. /PQCDPQCD所以 /.D因为 平面 ， 平面 ， BB所以 平面 /.4 分（）取 的中点为 ，AO因为 ，所以 PD.PA因为平面 平面 , 平面 ，BCPD所以 平面 5.分以点 为坐标原点，分别以直线 ， 为 轴， 轴建立空间直角坐标系yz，则 轴在平面 内 OxyzA因为 ， ， ，90PD21QC所以 ， ， ， ，,A1,B,0,所以 ， . 7,Q1C分设平面 的法向量为 ，所以即B,nxyz,nBQC0,.xyz0所以令 ，则 ， . ,.xyz12所以 . 82,n分设平面 的法向量为 ，所以ABCD0,1m16cos,.nm又因为二面角 为锐角，Q.所以二面角 的余弦值是 10QBCA6.分（）存在. 设点 ， ，,MabcQB01.,所以 ，1,1,.所以 ， ， . 所以点+a+c,.M1所以 ,A又平面 的法向量为 ， 平面 ，所以QBC2,1nAQBC.21所以 .13所以在线段 上存在点 ，使 平面 ，且 的值是 14BMABCMQ.13分18. 解：（）设函数 () .xFxfgea当 时， ，所以 . 1a()1e()所以 时， ； 时， . 0，x0x， ()0Fx所以 在 上单调递减，在 上单调递增 . ()F)， )(，所以当 时， 取得最小值 . x(x所以 ，即 ()0)gf4 分（）当 时， ， 1a()1)xFxae令 ，即 ，解得 ；()0Fx0.令 ，即 ，解得()0Fx(1)0xae1.xa所以 在 上单调递减，在 上单调递增.， ()，所以当 时， 取得极小值，即 . x()Fx1aFe6 分令 ，则 . 1()ahe1()ahe因为 ，所以 . 所以 在 上单调递减. 0(),)所以 . 所以 . ()1a1Fa又因为 ，所以 在区间 上存在一个零点 . F()x),(a所以在 上存在唯一的零点. 10),分又因为 在区间 上单调递减，且 ，()x)1,(a(0)F所以 在区间 上存在唯一的零点 . 12F分所以函数 有且仅有两个零点，即使 成立的 x 的个数是两个.)(xh )(gxf 13分19. 解：（）因为椭圆的焦点在 轴上， ，离心率 ，x2AB32e所以 ， 所以由 ，得 1b3.2ca22abc4.a所以椭圆 的标准方程是 C21.4xy3 分（）设点 的坐标为 ，所以 的坐标为 .P0,xQ0,xy.因为 ， 分别是 ， 的中点， MNOPB所以 点的坐标为 ， 点的坐标为 . 0,2xyN01,2xy4 分所以直线 的方程为 . 6AD01yx分代入椭圆方程 中，整理得214xy22000482.xyxyx所以 ，或0022 08=.5x所以 00 0431.54yyy所以 的坐标为 . 10D2002,5xyy分所以 又00112.3QNyykxx200004351.QDyykxx所以 ， ， 三点共线. 13D分20.解：（）因为 ， ，+12+1nna1nna所以 +12na2q2211.naqaq因为 0，公比 q，且 ， 所以 ，0n0.所以 2.n.所以等比数列 为凸数列. 3na分（）因为数列 为凸数列， n所以 ， ， ，11=mmaa21mma321mma.nn叠加得 . 所以1()mm 1.nmm同理可证 1.kaa综上所述， . 1nmmk7 分因为 ，所以nmkaa()()()().nmmkkanan所以 ()().nkm令 ， 所以1k1.nana 11.mna若 ，则1na1()().1mnnn若 ，则1n1111()().naaa所以 101ax,.mn分（）设 为凸数列 中任意一项， pn由（）可知， 1ax,.t.再由（）可知，对任意的 均有 ，1pmn1mpnmaa（1）当 时， . ptntpnta又因为 ，所以 所以nta0.tpnt .pta（2）当 时， .1tp1ptta又因为 ，所以所以1ta10.ptt .pta（3）当 时，p.pta所以 .ta综上所述， pt所以 . 14 分12na
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