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第二十二章 22.2二次函数与一元二次方程知识点1:二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标的求法:1.令y=0,得到一元二次方程ax2+bx+c=0.2.若此方程的根为x1,x2,则x1,x2就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标,即与x轴两交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0).反过来,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2.3.若此方程有两个相等的实数根,即x1=x2,则x1就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标,即二次函数的图象与x轴的交点的坐标为(x1,0).4.若此方程没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点.知识点2:用图象法解一元二次方程1.用二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,常用的方法有三种:(1)直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象,则图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(2)先将一元二次方程变形为ax2+bx=-c,再分别作出二次函数y=ax2+bx的图象和直线y=-c,则两图象交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3)先将一元二次方程变形为ax2=-bx-c,再分别作出二次函数y=ax2的图象和一次函数y=-bx-c的图象,则两图象交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象;(2)确定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的取值范围,即确定二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标的取值范围;(3)在(2)中确定的范围内,从大到小或从小到大依次取值,利用计算器探索;(4)确定一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.拓展提高：一方面我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,另一方面我们也可以借助一元二次方程ax2+bx+c=0的根来判断二次函数y=ax2+bx+c的图象的位置,使所画的二次函数y=ax2+bx+c的图象比较准确.知识点3:运用图象法求不等式的解集1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有的值就是不等式ax2+bx+c0的解集.2.抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的x的所有的值就是不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+cy2时,自变量x的取值范围.解:(1)把(-1,0)代入y1=-x+m得,0=-(-1)+m,解得m=-1.把(-1,0),(2,-3)分别代入y2=ax2+bx-3,得解得二次函数的关系式为y2=x2-2x-3.(2)观察图象可得,当y1y2时,自变量x的取值范围是-1x2.点拨：(1)因为点A(-1,0),B(2,-3)是一次函数的图象和二次函数的图象的交点,一次函数的解析式中只有一个待定系数m,所以将点A,B中任意一点的坐标代入y1=-x+m即可求出m的值,二次函数的解析式中有两个待定系数a,b,所以需要将A,B两点的坐标都代入y2=ax2+bx-3,得到一个二元一次方程组,解出a,b的值.(2)直接观察图象得到答案.此题考查用待定系数法求待定系数和二次函数的解析式,同时也考查同学们的读图能力.考点2:运用表格确定一元二次方程的解的取值范围【例2】下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是()x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06A.6x6.17 B.6.17x6.18 C.6.18x6.19 D.6.19x6.20答案:C点拨：由表格可得,当x=6.18时,y=-0.010,因此可得出方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是6.18xb0且a,b均为实数.(1)求一次函数的解析式(用含b的式子表示);(2)试说明:这两个函数的图象有两个不同的交点;(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1,x2,求|x1-x2|的取值范围.解:(1)一次函数的图象经过原点,设一次函数的解析式为y=kx.一次函数的图象经过点(1,-b),-b=k,一次函数的解析式为y=-bx.(2)二次函数y=ax2+bx-2的图象过点(1,0),a+b=2,由得ax2+2(2-a)x-2=0.=4(2-a)2+8a=4(a-1)2+120,方程有两个不相等的实数根,方程组有两组不同的解,这两个函数的图象有两个不同的交点.(3)(2)中两个交点的横坐标x1,x2都是方程的解.x1+x2=,x1x2=.|x1-x2|=,又ab0,a+b=2,1a2,令t=+3,当1a2时,t随a的增大而减小.4+312,22,即2|x1-x2|2.点拨：将二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一次函数y=kx+m(k0)的解析式联立,得方程组则此方程组的解就是这两个函数图象的交点坐标,因此这两个函数图象的交点情况与此方程组的解的情况有着十分密切的联系:若此方程组有两组不相等的解,则这两个函数的图象有两个不同的交点;若此方程组只有一组解,则这两个函数的图象有唯一的交点;若此方程组无解,则这两个函数的图象没有交点.反之也成立.
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