资源描述
.1设 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是(A )A BA, B2向量组的 秩是（B ） B. 3 3 元线性方程组 有解的充分必要条件是（A）A. nXb )()bAr4. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）D. 9/255设 是来自正态总体 的样本，则（C ）是 无偏估计 C. xxn12, N(,)236若 是对称矩阵，则等式（B ）成立 B. AA7 （ D ）D. 15475438若（A）成立，则 元线性方程组 有唯一解A. nXOrn()9. 若条件（ C）成立，则随机事件 ， 互为对立事件 C. 且BABBU10对来自正态总体 （ 未知）的一个样本 ，记 ，XN(,)2 X123,31iX则下列各式中（C）不是统计量 C. 31)(ii11. 设 为 矩阵， 为 矩阵，当 为（B）矩阵时，乘积 有意义B. A4325CCA4212. 向量组 的极大线性无关组是（ A ）A 13401023,234,13. 若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （D）时线性方程组有无穷多解 AD1/2 14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为 4”的概率是（C ）.C.1/1215. 在对单正态总体 的假设检验问题中， 检验法解决的问题是（B ）B. 未N(,)2T知方差，检验均值72,301,.16. 若 都是 n 阶矩阵，则等式（ B）成立 B. AB, A17. 向量组 的秩是（C ）C. 33,21,0,210,43118. 设线性方程组 有惟一解，则相应的齐次方程组 （A ）A. 只有 0 解 bXOX19. 设 为随机事件，下列等式成立的是（D）D. AB, )()(BP1设 为三阶可逆矩阵，且 ，则下式(B )成立 B , 0k 2下列命题正确的是（ C ） C向量组 , ,O 的秩至多是 ,21ss3设 ，那么 A 的特征值是(D ) D-4，6154矩阵 A 适合条件（ D ）时，它的秩为 r D A 中线性无关的列有且最多达 r 列 5下列命题中不正确的是（ D ）D A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为 3”的概率是（ B ） B1/1 7若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是A BPPB()()8. 若事件 A， B 满足 ，则 A 与 B 一定（A ） A不互斥 1)(P9设 , 是两个相互独立的事件，已知则 （B ）B 2/3 )(10设 是来自正态总体 的样本，则（B ）是统计量 B nx,21 ),(2Nnix11. 若 ，则 （A ）A .3 035x2. 已知 2 维向量组 ，则 至多是（B）B 24321,),(4321r3. 设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（C） C. BA,n A)(4. 若 满足（B），则 与 是相互独立 B. A(P5. 若随机变量 的期望和方差分别为 和 ，则等式（D ）成立 D. X)(XE22)()ED1设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A A,nB13)(P.2方程组 相容的充分必要条件是()，其中 ， B3121ax0ia)3,21(0321a3设矩阵 的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为 ( ) B0，6 A4. 设 A， B 是两事件，其中 A， B 互不相容，则下列等式中（ ）是不正确的 C. )()(P5若随机变量 X 与 Y 相互独立，则方差 =（ ）D 32YX)(9)(4YDX6设 A 是 矩阵， 是 矩阵，且 有意义，则 是( B )矩阵 nmBtsA ns7若 X1、 X2是线性方程组 AX=B 的解，而 是方程组 AX = O 的解，则（ ）是 AX=B 的解21、A 38设 矩阵，则 A 的对应于特征值 的一个特征向量 =()C1 ，1,09. 下 列事件运算关系正确的是（ ）A AB10若 随机变量 ，则随机变量 （ N2.,3 ） ） D )1,0(NX23XY11设 是来自正态总体 的样本，则（）是 的无偏估计 C 321,x,23215x12对给定的正态总体 的一个样本 ， 未知，求 的置信区间，选用的样),(2 ),(21nx 2本函数服从（ ）B t 分布 设 ，abc123则 （D）D. 6abcc123若，则 （A ） A. 1/2 乘积矩阵 中元素 C. 10 12403523设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B） B. A,n ()BA1设 均为 阶方阵， 且 ，则下列等式正确的是（D）D. k01kn下列结论正确的是（A ）A. 若 是正交矩阵，则 也是正交矩阵A1矩阵 的伴随矩阵为（）C. 1325532方阵 可逆的充分必要条件是（B）B. 00.设 均为 阶可逆矩阵，则 （D）D. ABC,n()ACB1()BCA11设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. 22用消元法得 的解 为（C）C. x12340x123,线性方程组 （B）B. 有唯一解 x12364向量组 的秩为（A）A. 3 01,设向量组为 ，则（B）是极大无关组 B. 123401, 123, 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）D. 秩A秩()若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）可能无解 以下结论正确的是（D ）D. 齐次线性方程组一定有解若向量组 线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有12, s一个向量 9设 A，为 阶矩阵， 既是又是的特征值， 既是又是的属于 的特征向量，则结论（）成nx立 是 A+B 的属于 的特征向量x10设，为 阶矩阵，若等式（ ）成立，则称和相似 BPA1 为两个事件，则（B）成立 B. , ()AB如果（C）成立，则事件 与 互为对立事件 C. 且 U10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（D） D. 072.4. 对于事件 ，命题（C ）是正确的 C. 如果 对立，则 对立AB, AB,某随机试验的成功率为 ,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（D） D. )1(p)1()(23p6.设随机变量 ，且 ，则参数 与 分别是（A） A. 6, 0.8 Xn,EX.,().48096np7.设 为连续型随机变量 的密度函数，则对任意的 ， （A）A. fx() ab,()EX(d8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） B. .9.设连续型随机变量 的密度函数为 ，分布函数为 ，则对任意的区间 ，则Xfx()Fx()(,)ab（D ）D. )(baPabd10.设 为随机变量， ，当（C）时，有 C. E(,()2EYD(),01YX设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则（A）是统计量 A. xn12, N, x1设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则统计量（D ）不是 的无偏估计 D. 3()212二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1设 均为 3 阶方阵， ，则 -18BA,2,AB13A2设 为 n 阶方阵，若存在数 和非零 n 维向量 ，使得 ，则称 为 的特征值 XA3 设随机变量 ，则 a =0.3 01.25X4设 为随机变量，已知 ，此时 27 3)(D()25设 是未知参数 的一个无偏估计量，则有 E6设 均为 3 阶方阵， ，则 8BA, 6,AB13()A7设 为 n 阶方阵，若存在数 和非零 n 维向量 ，使得 ，则称 为 相应于特征值 的特征向XXA量 8若 ，则 0.3 5.0)(,.)(P)(9如果随机变量 的期望 ， ，那么 20X2E92)2(D10不含未知参数的样本函数称为统计量11. 设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 -8BA, 3BA1A12.设 ， 20741_)(r13. 设 是三个事件，那么 发生，但 至少有一个不发生的事件表示为 .ABC,ACB, )(CBA14. 设随机变量 ，则 15)15.,(X)(XE15. 设 是来自正态总体 的一个样本， ，则nx,21 N,2nix1)(D.16. 设 是 3 阶矩阵，其中 ，则 12BA, 2,3BA117. 当 =1 时，方程组 有无穷多解12x18. 若 ，则 0.25.0)(,6.)(,9.0)( PP)(AB19. 若连续型随机变量 的密度函数的是 ，则 2/3X其 它,12xf )(XE20. 若参数 的估计量 满足 ，则称 为 的无偏估计 E()n21行列式 的元素 的代数余子式 的值为= -56702568321a21A2已知矩阵 满足 ，则 与 分别是 阶矩阵nsijcCBA)(,CBns,3设 均为二阶可逆矩阵，则 , 1OA4线性方程组 一般解的自由未知量的个数为 232641x5设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 6 设 A， B 为两个事件，若 P（ AB）= P（ A） P（ B），则称 A 与 B 相互独立 7设随机变量 的概率分布为X则 a = 0.3 8设随机变量 ，则 0.93.04.21XEX()9设 为随机变量，已知 ，那么 8)(D)72(kx0 1 2pa 0.2 0.5.10矿砂的 5 个样本中，经测得其铜含量为 ， ， ， ， （百分数），设铜含量服从 N（ ，1x234x5 ）， 未知，在 下，检验 ，则取统计量 201.00st1. 设 均为 n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为 ，则 BA, 1,BA1)(BA)(12. 向量组 线性相关，则 .,0),0(),1,(32 k_k3. 已知 ，则 .8.0)P6.4. 已知随机变量 ，那么 5.013.X)(XE425. 设 是来自正态总体 的一个样本，则 1021,x ,N10ix)104,(N1设 ，则 的根是 4)(2f)(f2,12设向量 可由向量组 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 n,21 n,21线性无关3若事件 A， B 满足 ，则 P（ A - B）= )(P4设随机变量的概率密度函数为 ，则常数 k =其 它,01)(2xkf 45若样本 来自总体 ，且 ，则nx,21 NXni1x)1,0(nN7设三阶矩阵 的行列式 ，则 =2A11A8若向量组： ， ， ，能构成 R3一个基，则数 k 2130k29设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量10设 互不相容，且 ，则 0 A,P()()11若随机变量 X ，则 1/32,0UXD12设 是未知参数 的一个估计，且满足 ，则 称为 的无偏估计 )(E 7 2140. 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 1x若 为 矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，则 为 54 矩阵A34B25ACB二阶矩阵 10设 ，则 AB243,()815360设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 72 ,AB2AB设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 3 13,12()若 为正交矩阵，则 0 Aa10a矩阵 的秩为 2 43设 是两个可逆矩阵，则 A12, AO1212当 1 时，齐次线性方程组 有非零解x120向量组 线性 相关 120,向量组 的秩 30,设齐次线性方程组 的系数行列式 ，则这个方程组有 无穷多 解，且123x1230系数列向量 是线性 相关 的23,向量组 的极大线性无关组是 1300, 21,向量组 的秩与矩阵 的秩 相同 2, s 12, s设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个AX()A3设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且 的基础解系为 ，则 的通解为b0X0X12,Ab210k9若 是的特征值，则 是方程 的根I10若矩阵满足 ，则称为正交矩阵A1从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2/52.已知 ，则当事件 互不相容时， 0.8 ， 0.3 PB().,().05AB,PAB()().3. 为两个事件，且 ，则 AB,APB()A4. 已知 ，则 Pp(),)15. 若事件 相互独立，且 ，则 , q(,)()pq6. 已知 ，则当事件 相互独立时， 0.65 ， 0.3 ().035PBPA()7.设随机变量 ，则 的分布函数 XU(,)1Fx()108.若 ，则 6 B(,.)203E(9.若 ，则 NP)3)(210. 称为二维随机变量 的 协方差 XY()(,XY1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 4设 是来自正态总体 （ 已知）的样本值，按给定的显著性水平 检验xxn12, N(,)2 ，需选取统计量 H00:;:nxU/05假设检验中的显著性水平 为事件 （ u 为临界值）发生的概率|0三、（每小题 16 分，共 64 分）A1设矩阵 ，且有 ，求 AB1235410,AXB解：利用初等行变换得1203541203201512051即 由矩阵乘法和转置运算得A17XB120513622.设矩阵 ，求 0,32ABA1.解：利用初等行变换得 102341032 146035146即 由矩阵乘法得6535A 20180431BA3.已知 ，其中 ，求 X53,87BX解：利用初等行变换得 1052031857321 1205364123即 由矩阵乘法运算得04646A 128350125461BAX4.设矩阵 ， 是 3 阶单位矩阵，且有 ，求 ,437IBXAI)(1. 解：由矩阵减法运算得943721801AI利用初等行变换得130274902131021230即()IA1230由矩阵乘法运算得.6519240312)(1BAIX5设矩阵 ，求（1 ） ；（2） （1）,34102ABI)(= 0702A 513701（2）因为 =)(I3412所以 = BAI)(034120935246设矩阵 ，解矩阵方程 6,0BAX解：因为 12073410241，得 145310 1234751A所以 BAX247537296857 设矩阵 ，求（1 ） ，（2） 解43A11） 10252A（2）利用初等行变换得1032104351 20152015.即 A120758 .,3, XB，A求且 ，BAXI 求且己 知例 于 是得 出 183052724135 13250100)(9设矩阵 ，求：（1 ） ；（2） 203,132BA1解：（1）因为 120132B所以 A（2）因为 103I所以 2/01 102/31A10已知矩阵方程 ，其中 ， ，求 BAX05BX解：因为 ，且I)(12010即 12)(1AI所以 34250)(1BIX11设向量组 ， ， ， ，求这),42(1，),168(2， )2,51(3，)1,3(4，个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组.解：因为（ ） = 123412563810752402134所以， r( ) = 3 421,它的一个极大线性无关组是 （或 ）41,432,1设 ，求 ABC0203,ACB解： 10246014)(C13 写出 4 阶行列式中元素 的代数余子式，并求其值102365a412,： 0324)1(a 453610)(24a14 求矩阵 的秩10解 00110 010110121001123101043 424132r rr3)(AR15用消元法解线性方程组.xx12341234685012 2610937842108431005176231231420586 41324132 5rrA 3104513650472913650287490 4321343 579121 rrr 31023104521 34214 51 rr方程组解为3241xA2求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 046231842317 02130621方程组的一般解为（其中 为自由未知量） xx142354令 =0，得到方程的一个特解 . x4 )01(0X.方程组相应的齐方程的一般解为（其中 为自由未知量）43215xx4令 =1，得到方程的一个基础解系 . x4 )15(1X于是，方程组的全部解为 （其中 为任意常数） 0k2.当 取何值时，线性方程组147963221xx有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 190251479632 1058491052由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。7 分此时齐次方程组化为432159xx分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系0,341,令 ，得非齐次方程组的一个特解051921XXx340,由此得原方程组的全部解为80（其中 为任意常数） 16 分k12k12,3.求线性 方程组的全部 解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形046231842317 021306212842137421xx.方程组的一般解为 （其中 为自由未知量） x14235x4令 =0，得到方程的一个特解 . x4 )0(0X方程组相应的齐次方程的一般解为（其中 为自由未知量）43215xxx4令 =1，得到方程的一个基础解系 . 4 )15(1X于是，方程组的全部解为（其中 为任意常数） 10kX4.求线性方程组83259421xx的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 2413058312940 0214305241300此时相应齐次方程组的一般解为是自由未知量4321x令 ，得齐次方程组的一个基础解系4x121X令 ，得非齐次方程组的一个特解04x0.由此得原方程组的全部解为（其中 为任意常数）10kXk5设齐次线性方程组 的系数矩阵经过初等行变换，得 求此齐次线性方程组的一A2013A个基础解系和通解 因为 012/3021得一般解： （其 是自由元） 4321xx43,x令 ，得 ；0,43021X令 ，得 ,x2所以， 是方程组的一个基础解系 21,方程组的通解为： ，其中 是任意常数 X21k21,k6设齐次线性方程组 ， 为何值时方程组有非零解？在有非零解时，0835321x解：因为 A = 651时， ，所以方程组有非零解 50即当 3)(r方程组的一般解为： ，其中 为自由元321x3令 =1 得 X1= ，则方程组的基础解系为 X13x),(通解为 k1X1，其中 k1为任意常数 求出通解 7. 当 取何值时，线性方程组.2532341xx有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形1024351021023130由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。8 分此时相应齐次方程组的一般解为 （ 是自由未知量）x134243,x分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系x3410,x34,XX2301令 ，得非齐次方程组的一个特解34,01由此得原方程组的全部解为8.k 为何值时，线性方程组 且 方 程 组 的 一 般 解 为方 程 组 有 解时当 为 阶 梯 形将 方 程 组 的 增 广 矩 阵 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ，kkAkxx5,0375241227341:7242131 ),(573643421 为 自 由 未 知 量其 中 xxx9求齐次线性方程组 的通解0235962214xx.解： A= 326013159620一般解为 ，其中 x2， x4 是自由元 31542x令 x2 = 1， x4 = 0，得 X1 = ；)0,(x2 = 0， x4 = 3，得 X2 = ),313所以原方程组的一个基础解系为 X1， X2 原方程组的通解为： ，其中 k1， k2 是任意常数 1k10设有线性方程组12xyz为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解： 23222)1()(011032 3131 r rrA当 且 时， ，方程组有唯一解23AR当 时， ，方程组有无穷多解1)(AR11判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式其中123,83710250613,解：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解321,321xx.这里 571043110237136578,21A)()(R方程组无解不能由向量 线性表出321,12计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 123434789101963,解： 0182631490827,321该向量组线性相关13求齐次线性方程组xx1234124055的一个基础解系解： 307142501034072134053213423141325 rrA. 001430510012435010321450 233432 11 rrr方程组的一般解为 令 ，得基础解系014352x3x143514求下列线性方程组的全部解 xx12341234515976解： 00287149056142802871351163574091542314312 5rrA方程组一般解为 00271214r 27194321xx令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解13kx241k2A3设 ，试求: (1) ；(2) （已知),(NX)95(XP)7(P,8413.0)(）987.07.)2(解：1 )321()235()P1574.0843.97.0(2 )7()X)()(XP28.9)2(2.设 ，试求：(1) ；(2) （已知N,3415）987.0)3(,92.0)(81.0)( .解：(1) PX()132PX()(321(208457. PXPX)()()57327132().2973093.设 ，求 和 .（其中,32NX)(XP)1(,691.0)(, ）841.0)(72,.)5解：设 ,(2Y8413.0)(53)(XP=)20(1X )5.1().0()5.( YP= 2417.0695.93.)5.). 4.设 ，试求 ； （已知XN(,2P()1()8,8413.0)(）87.0)973.0)(解： P(12X()(.397 XP() )585312.210972840595某射手射击一次命中靶心的概率是 0.8，该射手连续射击 5 次，求：（1）命中靶心的概率； （2 ）至少 4 次命中靶心的概率解：射手连续射击 5 次，命中靶心的次数 （1 ）设 ：“命中靶心”，则XB(,.)8A PAXP()()010120396850C.（2）设 ：“至少 4 次命中靶心 ”，则BX()()()4C54500827328.6设 是两个随机事件，已知 ， ， ，求：A, .AP.B4.)(AP（1） ； （2 ） )(BP)(.解（1） = = = （2 )(ABP)(4.0518)(1BAP)(ABP2.18.054.7设随机变量 X 的密度函数为，求： (1) k； (2) E(X )， D(X)解：（1）因为 1= = = = 3 k， 所以 k = xfd)(2121x31(2) E(X) = = = 21d3x2145E( ) = =212D(X) = E( ) - = 2)(80518设随机变量 X N（8 ，4）求 和 ( ，)1(XP)26915.0， )13.0)(973.)2(解：因为 X N（8，4），则 N（0 ，1） 所以 = =Y)8(XP)5.02()5.02.(P= = = =0.383 .(.1)5.0(21695.= = .)12(X)89739. 设 ，试求 ； （已知4,3N)5(XP)(,8413.0)(）.0)(97.)(解： )321()9235XP1574.08.97.0)7()()()(XP28.9.01210.假设 A,B 为两件事件，己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A解：P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2P(AB)=P(B)P( B)=0.60.2=0.4BAP(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。其 它0)(2kxf.11设随机变量 （1）求 ；（2 ）若 ，求 k 的值 （已知),4(NX)4(XP932.0)(kXP）93.058.0,975.)2( 解：（1） 1 )2P= 1 1 （ ）4()2(= 2（ 1 ）0.045 )（2） )4(kXPk1 1 )5.1(932.0)4(k即 k4 = -1.5， k2.5 12罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子若从中任取 3 颗，求：（1）取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到 3 颗棋子颜色相同的概率解：设 =“取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子”， =“取到的都是白子”， =“取到的都是黑1A2A3A子”， B =“取到 3 颗棋子颜色相同”，则（1） )(1)()(21PP （2 ）745.0328C )()(3232PB3.18.5.0312413设随机变量 X N（3，4 ）求：（1） P（1 1.96 ，所以拒绝 37.| 0H11某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8 个样品，测得的长度为（单位：cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ ）05.解：由已知条件可求得： 12.0x671s36529.|8/5.01|/|nsxT 62.).,9().,(tnt | T | 2.62 接受 H0.即用新材料做的零件平均长度没有变化。四、证明题（本题 6 分）1设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵BA,nBA证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知)(已知 是对称矩阵，故有 ，即BA, BA,)(由此可知 也是对称矩阵，证毕2 设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立ABBA,证明： )(1)()()( PPP)(BA所以 也相互独立证毕 ,3、设 , 为随机事件，试证： AB)()(AB证明：由事件的关系可知而 ，故由概率的性质可知)()(AU )(PABP)(即 证毕)(4 设 是线性无关的，证明, 也线性无关3213121,.证明：设有一组数 ，使得321,k0)()()(3221 kk成立，即 ，由已知 线性无关，故有3221321,0321k该方程组只有零解，得 ，故 是线性无关的证毕0321k3121,5设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵)(I.证明： 因为 ，即 0)(2IAII2所以， A 为可逆矩阵 6.设 , 为随机事件，试证：BPBPA()(证明：由事件的关系可知AUB()()而 ，故由概率的性质可知()BPPA()()7设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0(I证明： 因为 ，即 ； 所以， A 为可逆矩阵)2I I28设向量组 ，若 线性相关，证明 线性相,1m,2 ,1)(2ms ,1m,2关证明：因为向量组 线性相关，故存在一组不全为 0 的数 ，使1s,2 sk,2121skk成立于是存在不全为 0 的数 ，使,21s sm0,0121 sskk9若 也 是 正 交 矩 阵是 正 交 矩 阵 ， 试 证 AA证明：因为 所以有, 1AI可 逆 且因 而是 正 交 阵 ， 故I)()()11即， 是 正 交 阵10.设 , 是两个随机事件，试证：ABPBAPBA()()()证明：由事件的关系可知 U)(.而 ，故由加法公式和乘法公式可知)(BA证毕 PPABPA()()()11.设 是同阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵,证明：因 证 毕 。故 可 知 是 对 称 矩 阵 ，BBA)()(12设 是 n 阶矩阵，若 = 0，则 321)(AII证明：因为 )(2AI= 32I= = 3A所以 21)(AII13设向量组 线性无关，令 ， ， ，证明向量3,2132134组 线性无关。321,证明：设 ，即0321kk0)4()()( 1332k因为 线性无关，所以 )(13132,0423k解得 k1=0, k2=0, k3=0，从而 线性无关 321,14 对任意方阵 ，试证 是对称矩阵A证明： )()( A是对称矩阵15 若 是 阶方阵，且 ，试证 或 nI1证明： 是 阶方阵，且A2I或1116 若 是正交矩阵，试证 也是正交矩阵AA.证明： 是正交矩阵A1)()()1A即 是正交矩阵A1试证：任一维向量 都可由向量组4321,a， ， ，0120134线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明：0101201231034任一维向量可唯一表示为)()()(1001 342312432432 aaaa12)()()(1试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设 为含 个未知量的线性方程组BAXn该方程组有解，即 R)(从而 有唯一解当且仅当 A而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是0XnAR)(有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解BAX 0X19设 是可逆矩阵的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值011证明： 是可逆矩阵的特征值 存在向量 ，使A 1111 )()()( AAI.1A即 是矩阵 的特征值120用配方法将二次型 化为标准43242124321 xxxxf 型解： 424232143242321 )()()( xxxxxxf 2)(令 ， ， ，21xy423xy23y4yx即 432yx则将二次型化为标准型2321yyf
展开阅读全文