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专题一 中点M型 基本条件：PMQBC；M是BC的中点基本结论：EMFEBMMCF.EM平分BEF，FM平分EFC.EMEBEF，FMFCEF.常见特例：特例一：条件：等边ABC；MPN60，P是BC的中点。特例二：条件：等腰直角ABC，ACBC，C90；EDF45；点D是AB的中点。特例三：条件：ABAC；BAC120，EDF30，D是BC的中点。特例四：条件：矩形ABCD；GEF90，E是AB的中点。特例五：条件：直角梯形ABCD中，ABCD，A90；E是AD的中点；BEC90。巩固练习：1. 已知：梯形ABCD中，ADBC，A90，E为AB的中点，若AD2，BC4，CED90，则CD长为 。2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE2，EF1，AF ，则正方形的边长为 。3. 已知：等边 ABC中，AB8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边DMN。DN交AC于点F，当DAN90时，则FN的长为 。4. 如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC6.（1） 求直线EF的解析式；（2） 将直线EF绕点F逆时针旋转90，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。 1. 如图，在ABC中，ABAC，BAC，点D为BC边的中点，BEAC于E，DFAB于F.(1) 当090，（如图1），求证：AE2BFAB；(2) 当90180，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系 ；(3) 在（1）的条件下，过点D作DGAB，交AC于G，且DFGE3时（如图3），求BF的值。2. 已知：直角梯形ABCD，ABCD，ABC90，ABBC，E为射线BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，分别交直线AB、直线CD于点G和F.(1) 当点E在BC上时（如图1），求证：BEBGCF.(2) 当点E在BC的延长线上时（如图2），猜想BE、BG和CF的数量关系，并证明你的猜想；(3) 在（2）的条件下，设AE交CD于点H，若CHBE，AB2，且CD，求EG的长。“A”字型专题 1. 已知，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，点G在边AD上，连接EG，EGDG，作EFEG，交边BC于点F(图1)。（1） 求证：AECFEF；（2） 连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论 。（3） 在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK8，BEF的周长为24，求PK的长。2. 如图，在ABC中，AB2AC，点D在BC上，且CADB，点E在AB的中点，连接CE，CE与AD交于点G，点F在BC上，且CEFBAC.（1） 若BAC90，如图1，求证：EGEFAC；（2） 若BAC120，如图2，此时线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为 ；（3） 在（2）的条件下，在BAD的内部作DAM60，DAM的一边AM交BC于点M，AM与CE交于点N，若AC2，求线段MN的长。3. 已知，在ABC中， BCAC，MCNACB，CM交AB于点E，过点B作BFCB交CN于点F.（1） 当 ACB90（如图1所示）时，求证：BEAEBF；（2） 当ACB120（如图2所示）时，线段BE、AE与BF之间的数量关系为 ；（3） 在（2）的条件下，FB、CE的延长线相交于点G，连接AG、FE，直线AG、FE交于点H,若AC6，BFBE，求AH的长。“X”字型专题1. 已知，A、C分别为BOE两边上的两点，D为BOE内一点，DCOB，DAOE，连接OD、AC相交于点F，G为FD上一点，过点G的直线交OE于Q，交CD于点P，交AD于点N，交OB于点M.（1） 若FGFD时（如图1），求证：PQMNPN；（2） 若FGFD时（如图1），且OAC为等边三角形，OC4，CQ3，现将DAC绕点A顺时针旋转，旋转后AD所在边交OC于S，AC所在边交CD于点T，当旋转到ATMQ时，连接ST，求：ST长。2. 如图，已知RtABC中，C90，AD平分BAC，sinBAC(即)，P为AB边上一点，过点P作PMBC，PNAD垂足为M、N。（1） 当点M与点D重合时，求证：PMP N.（2） 当点N与点重合时，连接AM交PD于点E，将射线PD绕点P顺时针旋转45，交AM于点F；若AC3，求EF的长。“M”字型专题1. 已知，四边形ABCD中，ADAB，ADBC，A90，M为AD的中点，F为BC边上一点，连接MF，过M点作MEMF，交边AB于点E。（1） 如图1，当ADC90时，求证：4AE2CFCD.（2） 如图2，当ADC135时，线段AE、CF、CD的数量关系为 .（3） 如图3，在（1）的条件下，连接EF、EC、EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N，若NE，FCAE，求MK的长。 2.如图，已知RtABC中，C90，过点B作BAC平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于点E.（1）当时，求证：DEAE；（2）当时，判断DE、AE的关系 ；（3）在（2）的条件下，取CD中点F，连结EF并延长交AC延长线于点G，交CD于F，现有一个45角顶点与F重合，将它旋转一边交CG于点M，另一边交BC于点N，若CMMG，AC3，求CN的长。2. 如图1，在ABC中，ACBC ，ACB90，点D为AB边中点，以点D为顶点，作PDQ90，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过点E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N.（1） 求证：EMFNAC.（2） 把PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2） 特别资料一、 基本图形：“A”字型1. 计算，已知：ABC中，DA交BF于点E，AEED，BD：CD1:2，AC4，求AF的值。 2. 已知，ABC中，AD平分BAC，BAC120，若AC6，BC3，求AD的长。3. 已知，ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AF2，AB，求DE的长度。4.已知，D在BC的延长线上，DF交AC于点E，E为AC的中点，BF3AF.求证：BC2CD.5.已知：AB C、BCE均为等边三角形，且A、B、C共线，求证：（1）MNAC （2） 6.已知，ABC中，AD、CE分别平分BAC，ACB ，B60，求证：（1）AECDAC （2）若AD5，PC6，求AE的长。二、基本图形：“X”字型1.已知：RtABC中，ACB90，CDDE，且DBBC，若AE:EC1:3，AB5，求AD的长。2.已知： ABC中，ADBC，BEAC交AD于点F，若BAC45，CD1，BD求AD的长。 3. 已知，矩形ABCD沿BE折叠后C与G重合，若DE1，CE2，BC6，求AF的长。4. 已知：RtABC中，BAC90，ADBC，BF平分ABC，且FC2AF，求证：BEEF. 5. 已知：ABC中，ABAC，BAC120，ABBD，DAE60，求证：BD2ECAC.6. 已知：矩形ABCD沿AE折叠后B与G重合，且CE:BE1:2，求证：AFFDAB.7. 已知：矩形ABCD中，B（8，5），点P（m，0）且0m8，点O关于直线PC的对称点为O，直线CO交直线AB于Q,求m为何值时，PCQ是以PQ为底边的等腰三角形。 三、 基本图形“直射影、斜射影”1. 已知：ABC中，BADC， 若AB4，BD2，求AD长。2.已知：ABC中，ADAC， 若ABAC6，BD1，求BC的长。3.已知：ABCD，CED90，DFAC交BE于点G，若BG3，AE6，求EG的长。 4.已知：AD平分BAC，E在BC的延长线上，EF垂直平分AD且CE2CD，求证：DE2BD.5.已知：RtABC中，BAC90，ADBC，延长AC至E使CEDCBE，求证：ACCE . 6. 已知：RtABC中，BAC90，ADBC，E为AD中点，且EFEC，求证：BF3DF .7.已知：梯形OABC中，BCOA，B（3，6），A（8,0）点P(m，n)在AB边上（3m8），过P作OA平行线OA，交AC于D，过P作OA的垂线交OA于点E，求，当m为何值时，ODE为直角三角形？8.已知：ABC中，BC2AB，P为BC中点，ABCAPF120，且ABDC，（1）求证：PFAE （2）若AD，求DE的长。四、基本图形“M”型直M型斜M型1.已知：Rt ABC中，C90，D为BC中点，ADEB，若AC2，BC4，求BE的长。2.已知：梯形ABCD中，ADBC，BAEF90，若AB3，BE1，AD6，EC8，求DF的长。3. 已知：Rt ABC中，BAC90，D为BC中点，EDFB45，若BF2，AE3，求EF的长。4.已知：ABC为等边三角形，D为BC中点，EDF60，若AE3，EF7，求FC的长。 5. 已知：ABC中，BAC120，EDFB30，且AB2AE，求证:DFCF。6. 已知：Rt ABC中，A90，EDFB45，若AE: BD1:，求证：EC2AE。 7.已知：梯形ABCD中，ADBC，ABADCD，PA:PD1:2，且 AEPF120 求证：PF3PE. 8.已知：梯形ABCD中，BCOA，A(，0)，B（，8），点P在BC边上，点Q（m，n）在AB边上，POPQ，求当m为何值时，?9. Rt ABC中，C90，AD平分BAC，DEAD，且AC2CD,（1）求证：BD2BE.（2）连接EC交AD于F，BDCD60，求DF的长。五、基本图形：（1）“双高型”含45必全等有6+2对相似，（2）斜“A”型，（3）斜“X” 型， （2）“双斜”型， 1.已知：ABC中，BDAC，CEAB，AD:BD1:2，BC，求DE的长。2.已知：矩形ABCD中，BC3AB，CE:BE1:2，求12的度数。3.已知： Rt ABC中，C90， ABAC,D为BC的中点，EDF45，若BE4，DE2，求EF的长。4.已知：等边ABC边长为，D为BC的中点，EDF60，设EFx，Sy，求y与x之间的函数关系式。5.已知：Rt ABC中，A90，ADBEABAC，求证：12。6.已知：ABC中，ADBC，BFAC，且ABC60，求证：ABCE2CB.7.已知：梯形ABCD中，ADBC，BDCD，AEBC60，求证：ADDEBD.8.已知：ABC中，ABAC，ADBC，DEAC，F为DE中点，求证：AFBE.9.已知：Rt ABC中，BAC90， ADBC，EDF90，且AD:BD1:2，（1）求证：DE2DF.（2）若CDPEDFAF，AC5，求PF的长。
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