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2.4二次函数的应用第1课时用二次函数解决问题(1)知识要点基础练知识点1利用二次函数求图形面积的最值1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定2.用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是(C)A.6425 m2B.43 m2C.83 m2D.4 m2【变式拓展】如图,某农场要盖一排n间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材围成栅栏,若计划用木材围成总长400 m的栅栏,设每间羊圈的一边长为x(m),n间羊圈的总面积为S(m2),则S关于x的函数表达式是S=-(n+1)x2+400x,当x=200n+1时,S最大.知识点2建立适当坐标系解决问题3.(铜仁中考)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=-125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为(C)A.-20 mB.10 mC.20 mD.-10 m4.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为(C)A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米5.(绍兴中考)如图所示的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y=-19(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是y=-19(x+6)2+4.6.在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米)解:(1)设二次函数的表达式为y=a(x-6)2+5,将A(0,2)代入,得2=a(0-6)2+5,解得a=-112.所以二次函数的表达式为y=-112(x-6)2+5.(2)由-112(x-6)2+5=0,得x1=6+215,x2=6-215.结合图象可知,C点坐标为(6+215,0).所以OC=6+21513.75(米).答:该男生把铅球推出去约13.75米.综合能力提升练7.如图,正方形ABCD的边长为5,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为(D)A.y=5-xB.y=5-x2C.y=25-xD.y=25-x28.(临沂中考)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567h08141820201814下列结论:足球距离地面的最大高度为20 m;足球飞行路线的对称轴是直线t=92;足球被踢出9 s时落地;足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是(B)A.1B.2C.3D.49.在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG,如果AB=6,BC=4,则四边形EFGH的最大面积为252.10.羽毛球比赛中的某次运动路线可以看作是一条抛物线.若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-29x2+89x+109,则羽毛球飞出的水平距离为5米.11.如图,正方形ABCD的顶点A,B与正方形EFGH的顶点G,H同在一段抛物线上,且抛物线的顶点在CD上,若正方形ABCD的边长为10,则正方形EFGH的边长为55-5.12.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是24 m.13.如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的面积的最大值.解:(1)SPBQ=12PBBQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,y=12x(18-2x),即y=-x2+9x(0x4).(2)由(1)知y=-x2+9x,y=-x-922+814.当0x92时,y随x的增大而增大,而0x4,当x=4时,y最大=20,即PBQ的最大面积是20 cm2.14.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x m,占地面积为y m2.(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.解:(1)y=x50-x2=-12(x-25)2+6252,当x=25时,占地面积最大,即饲养室长为25 m时,占地面积y最大.(2)y=x50-(x-2)2=-12(x-26)2+338,当x=26时,占地面积最大,即饲养室长为26 m时,占地面积y最大.26-25=12,小敏的说法不正确.拓展探究突破练15.已知某绿色蔬菜生产基地收获的蒜苔,从四月一日起开始上市的30天内,蒜苔每10千克的批发价y(元)是上市时间x(天)的二次函数,由近几年的行情可知如下信息:x(天)51525y(元)151015(1)求y关于x的函数表达式;(2)蒜苔每10千克的批发价为10.8元时,问是在上市的多少天?解:(1)设这个二次函数表达式为y=ax2+bx+c.根据题意,得15=25a+5b+c,10=225a+15b+c,15=625a+25b+c,解得a=120,b=-32,c=854.这个函数表达式为y=120x2-32x+854.(2)把y=10.8代入上式,得10.8=120x2-32x+854.整理,得x2-30x+209=0,(x-11)(x-19)=0,解得x1=11,x2=19,经检验x=11,x=19都符合题意.即蒜苔每10千克批发价为10.8元时,是上市的11天、19天.第2课时用二次函数解决问题(2)知识要点基础练知识点最大利润问题1.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558,由于某种原因,销售价需满足15x22,那么一周可获得的最大利润是(D)A.20B.1508C.1550D.15582.某批发商向外批发某种商品,100件按批发价每件30元,每多批发10件,每件价格降低1元.如果商品进价是每件10元,当批发商获得的利润最大时,批发的件数是(C)A.200B.100C.150D.203.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.要使每天的销售利润最大,销售价应定为(B)A.25元B.30元C.35元D.40元4.某商店对于某种商品的销售量与利润做了统计,得到下表:销售量(件)100200300利润(万元)599若利润是销售量的二次函数,那么该商店利润的最大值是(C)A.9万元B.9.25万元C.9.5万元D.10万元5.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是55时,旅行社可以获得最大利润,最大利润为30250元.6.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:若调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设商品定价为x元,利润为y元.当40x60时,则可列函数关系式为y=(x-40)300-10(x-60)=-10x2+1300x-36000.当40x60时,x=65元时,利润最大为6250元.所以定价为65元时,利润最大.综合能力提升练7.现有一个生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,当它的产品无利润时就会及时停产,则该企业一年中应停产的月份是(C)A.1月,2月,3月B.2月,3月,4月C.1月,2月,12月D.1月,11月,12月8.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式分别为R=30x+500,P=170-2x,若可获得最大利润为1950元,则日产量为(C)A.25只B.30只C.35只D.40只9.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表,且日销售量y是销售价x的一次函数.要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为25元,此时每日销售利润是225元.x(元)152030y(件)25201010.(扬州中考)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a(a0)元.未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为0a5.11.在xx年的国际风筝节上,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12x30).(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?解:(1)根据题意可知y=180-10(x-12)=-10x+300(12x30).(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x-10)y=-10x2+400x-3000,令W=840,得-10x2+400x-3000=840,解得x1=16,x2=24.答:王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.(3)W=-10x2+400x-3000=-10(x-20)2+1000,a=-100,当x=20时,W取最大值,最大值为1000.答:当售价定为20元时,王大伯获得利润最大,最大利润是1000元.12.(安徽中考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式;(利润=收入-成本)(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,则50k+b=100,60k+b=80,解得k=-2,b=200,即y与x之间的函数表达式是y=-2x+200.(2)由题意可得W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.(3)W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40x80,当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小,所以当x=70时,W取得最大值,此时W=1800.答:当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小,售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.13.某工厂在生产过程中要消耗大量电能,消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系,经过测算,工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图:(1)当电价为600元/千度时,工厂消耗每千度电产生利润是多少?(2)为了实现节能减排目标,有关部门规定,该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500,且该工厂每天用电量不超过60千度,为了获得最大利润,工厂每天应安排使用多少千度电?工厂每天消耗电产生利润最大是多少元?解:(1)设工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数表达式为y=kx+b.该函数图象过点(0,300),(500,200),200=500k+b,300=b,解得k=-15,b=300,y=-15x+300(x0),当电价x=600元/千度时,该工厂消耗每千度电产生利润y=-15600+300=180(元/千度).(2)设工厂每天消耗电产生利润为w元,由题意得w=my=m-15x+300=m-15(10m+500)+300,化为顶点式,得w=-2(m-50)2+5000,由题意,m60,当m=50时,w最大=5000,即当工厂每天消耗50千度电时,工厂每天消耗电产生利润为5000元.拓展探究突破练14.某企业为扩大再生产,去年年底投资150万元引进一套先进生产设备,若不计维修保养费用,预计投入生产后每月可创收33万元.而该设备投入生产后,从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为纯收益p(万元).(1)若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元.求y关于x的函数表达式;(2)求纯收益p关于x的函数表达式;(3)问设备投入生产几个月后,该企业的纯收益达到最大?几个月后,能收回投资?解:(1)由题意知,当x=1时,y=2;当x=2时,y=2+4=6.a+b=2,4a+2b=6,解得a=1,b=1,则y关于x的函数表达式为y=x2+x.(2)纯收益p关于x的函数表达式为p=33x-150-(x2+x)=-x2+32x-150.(3)p=-x2+32x-150=-(x-16)2+106,当x=16时,p最大,即设备投入生产16个月后,该企业的纯收益达到最大,当0x16时,p随x的增大而增大,当x5时,p0.6个月后,能收回投资.
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