教材例题画法几何.ppt

例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a，求其侧面投影a”，如图29(a)所示。分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，故a”必在过a所作的OZ轴的垂线（OX轴的平行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影到OX轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a对OZ轴所作的垂线上截取aza”aax，即可得a”。,例2-2：已知点B的正面投影b和侧面投影b”，求其水平投影b，如图210（a）所示。,例23：已知点A的坐标为（20、10、15），求作点A的三面投影a、a和a”。分析：从点A的三个坐标值可知，点A到W面的距离为20，到V面的距离为10倒H面的距离为15。根据点的投影规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3个投影。,例24：在图213（a）所给出的三投影面体系中，画出点A（20，12，15）的三面投影及点A的空间位置。,例2-5：过点A向右上方作一正平线AB，使其实长为25，与H面的倾角=300，如图2-19（a）所示。分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反映实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角，故本题只有一个解。,例2-6：已知直线AB的正面投影ab和点A的水平投影a，并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角，如图2-23(a)所示。分析：由点的投影规律可知，b应在过b所作的OX轴的垂线上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三角形法的原理，以ab为一直角边。以25为斜边作一直角三角形，它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角即为AB对V面的倾角。本题有两个解。,例2-7:已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a，并知AB对H面倾角为300，求:AB的正面投影ab。分析：由于点A的正面投影a（即其z坐标）已知，所以只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b。由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B两点的Z坐标差。,例2-8：根据图226（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK：KB=3：2分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影ak：kb=ak：kb3：2。因此，只要用平面几何作图的方法，把ab或ab为3：2，即可求得点K的投影。,例29：判定点K是否在侧平线AB上（图227a。分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，ak：kb=ak：kb，因此，可用这一等比关系来判定K是否在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。所以，也可作出它们的侧面投影来判定。,例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2，根据图给的投影，求AB的正面投影ab和CD的水平投影cd分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若AK：KB=1：2，则ak：bk也必等于1：2，由此可求得交点K的水平投影。又因交点K是两直线AB和CD的公有点，故k必在cd上。点C的水平投影和点B的正面投影分别位于dk和ak的延长线上。,例2-11：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，根据图给的投影，完成该矩形的两面投影。分析：因矩形的两边ABAC，又知ABH面，故abac。又因矩形的对边互相平行，所以abcd，abcd；acbd，acbd。据此即可完成该矩形的投影。,例212：过点C作直线CD与正平线AB相交垂直。分析：已知CDAB，其中AB平行于V面，故其正面投影cdab，由此即可确定CD的投影cd和cd。,例2-13:在两相交直线AB和CD所决定的平面内，另外任取两条直线（图2-47（a）。分析：根据直线在平面内的几何条件，可在AB和CD上分别取一点M、N，则M、N连线必在该平面内；再过AB或CD上的任一点作一直线平行于CD或AB，则该直线也必在该平面内。,例214已知ABC内点K的水平投影k，求其正面投影k（图2-48（a）。分析：点K在ABC内，它必在该平面内的一条直线上，k和k应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点K的投影，须先在西ABC内作出过点K的辅助线的投影。,例2-15：判定点K是否在两平行直线AB和CD所决定的平面内（图249（a）。分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k），在给定的平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k（或k）是否在该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。,例216：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影abd，完成该四边形的正面投影见图250（a）。分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所决定的平面内，因此点C的正面投影C可运用在平面内取点的方法求得。,例217：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一距H面为15的水平线，如图(2-52(a)分析：水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离，反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先作其正面投影，再求其水平投影。,例2-18:过ABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53（a）。分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点B作直线L，平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所作的直线L，平行于ABC的一条正平线，则直线L即为该平面内过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线，须在ABC内先任作一条正平线。,例219：求ABC（alc，abc）与H面的倾角，见图2一55（a）。分析：ABC与H面的倾角，就是该平面的最大坡度线与H面的倾角。因此，只要求出该平面的最大坡度线的两个投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度线与H面的倾角。,例220包含点A（a，a）作一用迹线表示的铅垂面P，且与V面的倾角为300图2-56（a）。分析：因为铅垂面的水平迹线有积聚性，所以PH必通过点A的水平投影a；又因水平迹线与OX轴的夹角，反映该平面与V面的倾角，故PH的方向可定。,例221：包含水平线AB作一与H面倾角为300的平面，见图257（a）。分析：平面对H面的倾角，就是该平面最大坡度线与H面的倾角；最大坡度线又与平面内的水平线垂直；因此只要作一条与AB相交垂直、且与H面成300角的直线（即为所求平面的最大坡度线），该直线与AB所决定的平面，即为所求的平面。,例3-1：过点A作一水平线AB，与CDE平行，见图3-2（a）。分析：CDE（cde，cde）的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也就随之而定。虽然过点A可作无数条水平线，而与CDE平行的直线只有一条，它必与CDE内的水平线平行。,例3-2:判定直线AB与CDE是否平行（图3-3（a）。分析：由直线与平面平行的几何条件可知，如果ABCDE，则在西CDE内必能作出与AB平行的直线，否则AB不平行于CDE。,例33：判定直线AB与正垂面P是否平行（图3-4）分析判定：正垂面P内的所有直线（包括水平投影与ab平行的直线）的正面投影，都积聚在Pv上。因为题中给出abPv，故可以判定直线AB与正垂面互相平行。,例34:求直线AB与铅垂面P的交点K，并判定投影的可见性(36（a）)。分析：因为交点K是直线AB与铅垂面P的公有点，铅垂面P的水平投p有积聚性，所以直线AB的水平投影ab与p的交点k，即为AB与平面P交点K的水平投影。,例3-5：求正垂线AB与CDE的交点，并判定投影的可见性，参见图3-7（a）。分析：由于交点是直线上的点，而正垂线的正面投影有积聚性，所以交点的正面投影与正垂线的正面投影重合。又因交点也是平面上的点，故可用在平面内取点的方法，求交点的水平投影。,例3-6：求直线AB与CDE的交点，并判定投影的可见性，见图39（a）。,例37：求图3-10（a）所示的直线AB与CDE的交点，并判定投影的可见性。,例3-8：过点M作直线MN垂直于ABC，并求其垂足，如图3-12（a）所示。,例3-9：过点A作平面与直线MN垂直（图3-13（a）。分析：由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过点A作两条相交直线均与MN垂直，则这两条相交直线所决定的平面，既包含点A，又与MN垂直。,例3-10：判定图3-14（a）所示的直线AB与平面P是否垂直。分析：如果ABP，则AB的水平投影ab，必垂直于平面P内水平线的水平投影；同时AB的正面投影ab，必垂直于平面P内正平线的正面投影。,例3-11：判定图3-15所示的直线AB与铅垂面P是否垂直。分析判定：因为铅垂面P内水平线的水平投影，与它的水平投影p重合；铅垂面内平行于V面的直线，又只能是铅垂线；所以与铅垂面P垂直的直线，一定是水平线，而且其水平投影与平面的水平投影（有积聚性）垂直。从图中可以看出，虽然abP，但ab不平行于OX轴，故直线AB与铅垂面P不垂直。同理，与正垂面垂直的直线，一定是正平线，而且其正面投影与正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直线与正垂面是否垂直。,例3-12：过点A作一平面，与两条平行线DE和FG所决定的平面平行，如图3-17。分析：由两平面互相平行的几何条件可知，只要过点A作两条相交直线，与已知平面内的两条相交直线对应平行（其同面投影都对应平行），则过点A的这两条相交直线所决定的平面，必与已知平面平行。,例3-13：判定图3-18（a）所示的ABC与DEF是否平行。分析：如果ABCDEF，则在DEF内必能作出两相交直线，与ABC的两边对应平行（其同面投影都对应平行），否则ABC不平行于DEF。,例3-14：求图321(a)所示的铅垂面P与ABC的交线，并判定其投影的可见性。,例3-15：求图322(a)所示的正平面ABC与铅垂面P的交线，并判定其投影的可见性。,例3-16：求图323（a）所示的ABC与水平面P的交线，并判定其投影的可见性。,例3-17：求图325（a）所示的ABC与DEF的交线，并判定其投影的可见性。分析：为了作图简便起见，求交点时所选的直线，最好与相交平面的各投影都有重影部分（因为只有这样的直线与平面的交点，才有可能在平面图形的范围之内），如DE、DF与ABC的两投影，以及AC与DEF的两投影都有重影部分，所以宜在DE、DF和AC中任选两条，求与另一平面的交点。,例3-18：求图326（a）所示的ABC与DEF的交线，并判定其投影的可见性,例3-19：求图3-28（a）所示的ABC与DEF的交线。,例3-20：包含直线MN作一平面，与ABC垂直，如图3-30（a）所示。分析：由两平面垂直的几何条件可知，只要过直线MN上的任一点，作一条直线与ABC垂直，则这两条相交直线所决定的平面必与ABC垂直。,例321：判定图3-31（a）所示的平面P与ABC是否垂直。分析：由两平面垂直的几何条件可知，如果PABC，则在ABC内必包含平面P的垂线。因此，欲判定P与ABC是否垂直，可过ABC内的任一点作平面P的垂线，然后根据直线在平面内的几何条件，判定该垂线是否在ABC内。,例3-22：判定图3-32（a）所示的ABC与铅垂面P是否垂直。分析：由于与铅垂面垂直的直线只能是水平线，所以欲判定ABC与铅垂面P是否垂直，只要看ABC内的水平线的水平投影，与铅垂面的水平投影p是否垂直即可。,综合性问题例3-23：如图3-33（a）所示，过点M作一直线MN与ABC平行。并与直线KL相交。分析：图3-33（a）过点M可作无数条直线与ABC平行。这些直线的轨迹，是过点M，且与ABC平行的平面Q；平面Q内的所有直线，都与ABC平行。而在平面Q内过点,与M相交的直线，只能是直线KL与平面Q的交点N和点M的连线。,例3-24：已知直角ABC的直角边BC=25，并位于直线MN上，B=900；根据图3-34(a)所给定的条件，完成该直角三角形。分析：ABC的一直角边BC位于MN上，则其另一直角边AB，必位于过点A。且垂直于MN的平面内。因此，过点A作MN的垂面，该垂面与MN的交点，即为直角ABC的顶点B，过点B在MN上截取BC=25，可得另一顶点C（图3-34（b）；分别连接A、B和A、C的同面投影，即得直角ABC的投影。因为从点B可以在MN上向M和N两个方向截取BC=25，故该题有两个解。,例3-25：求图335（a）所示的两交叉直线AB和CD的公垂线。分析：如图335（b）所示，假设KL是两交叉直线AB和CD的公垂线。如果过直线AB上的任一点B，作BECD，那么KL必垂直于由AB和BE所决定的平面Q；再过CD上的任一点C，作。CFQ，那么AB与CD和CF所决定的平面P的交点，就是垂足K。因为KLCF,且同位于平面P内，据此即可求得另一垂足L。,例326：求图3-36（a）所示的直线AB与平面P的夹角。分析：如图3-36（b）所示，根据初等几何的定义，直线AB与平面P的夹角，应为直线AB与其在平面P上的正投影AlBl的夹角,例4-1：如图4-12（a）所示，求点A到平面BCDE的距离及垂足K。分析：过点A作平面BCDE的垂线，求得垂足，点A到垂足的线段实长即为所求的距离由于平面BCDE是一般位置平面，所以它的垂线也一定是一般位置直线，因而直线的实长及垂足的位置在V/H体系中不能直接反映出来。如果把平面BCDE变换为新投影面的垂直面，则其垂线将平行于新投影面它的实长及其垂足的位置就能直接反映出来。所以本题用一次更换投影面即可解决。,例4-2：求图4-13所示两交叉直线AB及CD之间的距离。分析：如图4-13（b）所示，两交叉直线的距离就是它们公垂线的实长。现有两条直线都是一般位置直线，作图较繁（见图335）。如果把交叉的两条直线之一（如CD）变换为投影酗垂直线，则它们的公垂线MN即为新投影面的平行线，其新投影反映实长，且与另一条直线AB在该投影面上的投影反映直角。这样，便有利于求解。由于两条交叉直线均为一般位置直线，所以要经过两次变换。另一种方法，即将两条交叉直线AB、CD经过投影变换，使其同时平行于一个新投影面P，这时两条直线的公垂线IWN必然垂直于P面，它的实长可以在与P面垂直的投影面上反映出来，如图4-14(a）所示。,例4-3：如图415(a)所示已知直线AB及线外一点M，试在直线AB上找一点C，使直线MC与直线AB的夹角为600。分析：点M与直线N决定一个平面，而MC在该平面内，如将该平面变换成投影面g的平行面，则直线AB与MC的夹角其实际大小可以直接作出来。该平面是一般位置平面，如B变换成投影面的平行面，要进行两次变换。,例4-4：求图4-16（a）所示ABC和DEF的交线。分析：ABC和DEF都是一般位置平面，如果将其中一个平面变换为投影面的垂面，就可以利用新投影的积聚性求出其交线。,例4-5：如图4-24（a）所示，求点E到平面ABC的距离。分析：如果平面ABC是投影面的垂直面，则点到平面的距离可以直接反映出来。现在平面ABC为一般位置平面，因此要把它旋转成投影面的垂直面。应该注意的是：在旋转时点E与ABC必须绕同一轴、按同一方向、旋转同一角度，这样才能保持它们的相对位置不变。,例4-6：求直线AB与平面P的夹角（图4-25(a)）分析：如图4-25（b）所示，平面P与直线AB都处于一般位置，欲求得它们之间的夹角，可以把平面P变换成投影面的垂直面，同时把直线AB变换成投影面的平行线，这样它们之间的夹角就可以在投影上直接反映出来。,例5-1：已知三棱锥表面上的点K和线段MN的正面投影k和mn，如图5-4（a）所示，求作它们的其他两投影。分析：从图中可以看出k是可见的，所以点K在三棱锥表面SBC上，过点K在SBC上任作一条辅助线，例如SD，求出SD的各投影，点K的各投影即在线段SD的同面投影上。,例5-2：已知三棱柱表面上点A的正面投影a和点B的水平投影b，求它们的其他两投影。分析：由于a是可见的，所以点A在三棱柱的前左棱面上，而该三棱柱的各棱面都是铅垂面，其水平投影有积聚性，所以由a可直接求出点A的水平投影a，然后再求出其侧面投影a”；同样，b为可见，说明点B位于三棱柱的上底面，上底面为水平面，其正面投影和侧面投影都有积聚性，所以由b可直接求出b和b”。,例5-3：如图5-4所示，求正垂面P与三棱锥的截交线。分析：截平面P与三校锥的三条棱线SA、SB，SC相交，可采用求棱线与截平面交点的方法，分别求出三条棱线与截平面的交点I、，连接起来即为截交线。,例5-4：如图5-8（a）所示，求四棱柱被截切后的三面投影图及截面的实形。分析：截平面P与四棱柱的4个棱面及上底面相交，所以截交线是一个凸五边形，它的五个顶点分别是截平面与四棱柱三条棱线及上底面的两条边线的交点。由于平面P为正垂面，所以截交线的正面投影重合于Pv。四棱柱的各棱面为铅垂面，它们与平面P交线的水平投影和各棱面的水平投影重合。截平面与棱柱上底面的交线为正垂线，其正面投影积聚为一点，水平投影反映实长。根据对正面投影和水平投影的分析，可知截交线的侧面投影是比实形缩小的五边形。,例5-5：如图5-9（a）所示，画全有切口四棱锥的水平投影和侧面投影。；分析：四棱锥的切口，可以看作是由水平面P和正垂面Q截切而成的，因此，除了要分别求出P、Q两平面与四棱锥表面的交线之外，还要求出P、Q两截平面的交线。P、Q两截平面的正面投影有积聚性，所有各棱线与截平面交点的正面投影可以直接得到，由此可求出它们的水平投影和侧面投影；P、Q两截平面的交线与棱面的交点可用辅助线法求得。,例5-6：求图5-10（a）所示直线AB与三棱锥的贯穿点，并判定其可见性。分析：图5-10（a）直线AB及各棱面都是一般位置，可包含AB作辅助平面P，求出P与三棱锥的截交线-，AB与该截交线的交点在为直线AB与三棱锥的贯穿点。,例5-7：求图5-11（a）所示直线AB与四棱柱的贯穿点，并判定其可见性。分析：图511（b）该四棱柱各棱面的水平投影和底面的正面投影都有积聚性，利用其积聚性可以直接求出贯穿点M和N。,例5-8：求图5-13（a）所示三棱锥与四棱柱的相贯线。分析：根据正面投影可以看出，四棱柱整个贯穿三棱锥，为全贯，产生前后两条相贯线，四棱柱各棱面的正面投影有积聚性，所以相贯线的正面投影积聚在四棱柱各棱面的正面投影上。因此，只需要求出相贯线的水平投影和侧面投影。,例5-9：求图5-14（a）所示三棱柱与三棱锥的相贯线。分析：三棱柱的各棱面均为铅垂面，其水平投影有积聚性。从水平投影中可以看出棱柱的前一条棱线和棱锥的后两条棱线参与相贯，两立体为互贯，所以只有一条相贯线。相贯线上各转折点就是参与相贯的棱线与另一立体表面的交点。因此，可以利用求贯穿点的方法人出上述三条棱线对另一立体表面的交点，并按前述原则连接起来，即可作出相贯线。,例5-10：求图5-15（a）所示两个五棱柱的相贯线。分析：如图5-15（b）所示，由于两个相贯的五棱柱并不是前后贯通的，所以只在前面有一条相贯线；又因为这两个五棱柱下面的水平棱面同在一个平面上，所以它们的相贯线是一条不封闭的空间折线。从图上还可以看出，这两个五棱柱棱面又分别垂直于V面和W面，所以相贯线的正面投影和侧面投影都是已知的，需要求出的只是其水平投影。,同坡屋面的交线在坡顶屋面中，同一个屋顶的各个坡面，对水平面的倾角相同，称为同坡屋面。对于各屋檐等高的四坡顶同坡屋面图516（a），屋面交线及其投影有如下的规律：1屋檐线相互平行的两坡面如相交，则必交成水平屋脊，屋脊的水平投影必平行于屋檐线的水平投影，且与两屋檐线的水平投影等距离。如图5-16（a）所示，ab平行于cd、ef；gh平行于id、jf。2屋檐线相交的两坡面必交成斜脊线或天沟线，其水平投影为两屋檐线水平投影夹角分角线。斜脊线位于凸墙角处，天沟位于四墙角处。因为屋檐线相交为直角，所以无论是斜线或天沟线，它们的水平投影都与屋檐线的水平投影成450角。,如图5-16（b）所示，dg为天沟线的水平投影，ac、ae等为斜脊线的水平投影，它们分别屋檐线的水平投影成450角。3屋面上若有一斜脊与天沟相交于一点，则必有一条水平屋脊相交于该点。如图5-16,例5-10：已知图5-17（a）所示四坡顶屋面的平面形状及坡面的倾角a，求屋面交线。,例6-1：已知点A、B、C为圆柱面上的点，根据图69(a)所给的投影，求它们的其余两投影。分析：因为圆柱面的水平投影为有积聚性的圆，所以A、B、C三点的水平投影必落在该圆周上，根据所给投影的位置和可见性，可以判定点A在圆柱面的右前部分，点B在圆柱面的左后部分，点C在圆柱面的最后素线上。因此，点A的水平投影a应位于圆柱面水平投影的前半圆周上，点B（的水平投影b、C则位于后半圆周上。,例6-2：已知圆锥面上点A、B的投影a、b，如图6-11（a）所示，求作点A、B的其余两投影。分析：由点A、B的已知投影a、b可以判定，点A位于前半锥面的左半部，点B位于后半锥面的右半部。,例6-3：根据图613（a）所给出的圆球面上点A、B的投影a、（b），求作点A、B其余两投影。,例6-4：如图6-15（a）所示，已知圆环面上点A、B的投影a、b，求作点A、B的另一投影。分析：在圆环面上确定点的投影，只能应用辅助纬圆法。由点A、B的已知投影a、b，可以确定点A在外圆环面左前上部，点B在外环面右前下部。,例6-5：如图617（a）所示，直母线MN绕与其交叉的铅垂线O旋转，已知两面投影mn、mn和o、o，求作此单叶回转双曲面的两面投影。,例6-6：如图619（a）所示，已知单叶回转双曲面上的点A、B的投影（a）、b，求作其另一投影。分析：根据点A、B已知投影的位置，可以确定点A在回转面右后半部分，点B在回转面的左前半部分。在单叶回转双曲面上确定点的投影，可以采用辅助纬圆法和辅辅线法。由于回转面的轴线垂直H面，由a求作a时，可以用辅助纬圆法。由b求作b时，可应用辅助纬圆法和辅助素线法。,例7-1：求图7-1（a）所示圆柱被正垂面P截切后的侧面投影及截面的实形。分析：由于正垂面P倾斜于圆柱轴线，截交线是一椭圆，截交线的H面投影与圆柱面具有积聚性的H面投影重合，是一圆。截交线的W面投影仍是一椭圆。由于截平面与圆柱轴线的夹角小于450，椭圆长轴的投影仍为椭圆投影的长轴。,例7-2：求图72（a）所示带切口圆柱的水平投影。分析：该圆柱的切口是由两个正垂面P和R截切圆柱形成的。P和R的交线为一正垂线。由于两个截平面和圆柱轴线倾斜，截交线均为椭圆，即切口由两个部分椭圆所组成，其V面投影有积聚性，在H中，除需要分别作出两部分椭圆的投影外，还应作出两截平面交线的投影。,例7-3：求图7-3（a）所示的圆锥被正垂面截切后的水平和侧面投影。分析：由于截平面平行于圆锥的一条素线，故其截交线为抛物线（如表7-2中所示第四种情况），V面投影有积聚性对面、W面投影仍为抛物线。截平面与圆锥底面的交线是一直线段，和抛物线组成一个封闭平面图形。截交线的H面、W面投影可以根据已知的V面投影用在曲面上定点的方法求出。,例7-4：已知图7-4（a）所示切口圆锥的正面投影，求作其他两面投影。分析：圆锥的切口可以看成是由一个水平面P和一个正垂面R相交截切圆锥形成的。水平面P垂直于圆锥轴线，与锥面的截交线为水平圆，正垂面R与圆锥轴线斜交，与锥面的截交线为椭圆，所以切口由一部分水平圆和一部分椭圆组成。根据切口的正面投影，水平回部分可以直接作出，椭圆部分可以利用辅助线法来作图。,例7-5：求图7-（a）所示圆球被铅垂面P截切后的投影。分析：由于平面P垂直于H面，与V面、W面倾斜，截交线的H面投影为PH上的直线段，长度等于圆的直径，V面、W面投影是椭圆。椭圆长轴是截交线圆中垂直于H面的直径的投影，短轴是圆中平行于H面直径的投影。,例7-6：已知图7-6（a）所示半球被截切后的H面投影，求作其余两投影。分析：图7-6（a）给出的是一个半球被两对对称的投影面平行面截切后的H面投影。其中一对正平面截切半球所得截交线的V面投影反映圆弧的实形，W面投影成为两铅垂线，一对侧平面截切半球所得截交线的W面投影反映圆弧的实形，V面投影成为两铅垂线。4个截平面的交线为四条等长的铅垂线，如图7-6（b）所示。,例7-7：求图7-8（a）所示直线与圆柱的贯穿点。分析：圆柱的轴线垂直于H面，圆柱面的水平投影和底面的正面投影都有积聚性，可利用其积聚性直接求出贯穿点。,例7-9：如图7-10（a）所示直线AB与斜柱的贯穿点。分析：如图7-10（b）所示，直线AB与柱面对投影面均处于一般位置，求贯穿点应用辅助平面法。为了作图简便起见，可通过点A作一直线AM1，平行于柱面素线，则由AB、AM1所决定的辅助平面，将在柱面上截得素线-、-，AB与-、-的一对交点D、E，即为对斜柱的贯穿点。,例7-11：求图712（a）所示直线AB和球的贯穿点。分析：直线AB处于一般位置，但过AB作垂直于某一投影面的辅助平面与球的截交线的其他投影为椭圆，不便于作图，故应采用换面法，作平行于直线AB的新投影面，求出贯穿点在新投影体系中的投影，然后再求贯穿点在原投影体系中的投影。,例7-12：求作图713（a）所示四棱锥和圆柱的相贯线。分析：图713（b）为四棱锥和圆柱的轴线重合，其相贯线是由棱锥的四个棱面截切圆柱面所得的四段椭圆弧组合而成的封闭曲线。四条棱线与圆柱面的四个贯穿点就是这些椭圆弧的结合点，四个贯穿点的高度相同。由于圆柱表面垂直于H面，相贯线的水平投影就位于圆柱的H面投影上，所以只需要求出V面投影。,例7-13：求图7-14（a）所示正三棱柱与半圆球的相贯线。分析：图7-14（b）为正三棱柱与半圆球的相贯线由3个棱面与球面的三条截交线组成，它们的空间形状都是圆弧，其中棱面BC是正平面，它与球面截交线的V面投影反映圆弧的实形，另外两个棱面倾斜于V面，所以它们的截交线的V面投影是椭圆的一部分。,例7-14：求作图7-15（a）所示两圆柱的相贯线。分析：两圆柱轴线正交，水平圆柱贯入竖放圆柱，相贯线是一封闭的空间曲线，如图7-15（b）所示。在投影图中，由于两圆柱轴线分别垂直H面、W面，所以竖放圆柱的H面和水平圆柱的w面投影有积聚性，故相贯线的w面投影是圆，H面投影是水平圆柱的一段圆弧。故可采用在立体表面上定点的方法，由相贯线的H面投影和W面投影越V面投影。由于两个圆柱的轴线所决定的平面平行于V面，相贯线前、后对称，投影重合，且两圆柱V面投影轮廓线的交点，就是相贯线上点的投影。,例7-15：求作图7-16（a）所示圆球和圆锥的相贯线。分析：圆球面初圆锥面的两面投影均无积聚性，相贯线的V面、H面投影需用辅助平面法求出共有点，然后连接共有点的同面投影。根据球和圆锥的形状特征及其相对位置，可选择水平面作辅助平面，它与球和圆锥的辅助截交线均为水平圆，如图7-16（b）所示。；,例8-1:如图8-5(a）所示，已知轴测轴OX、OY、OZ（轴向伸缩系数分别为p=1，q=0.5，r=1)和点M的正投影图，画点M的轴测投影。,例8-2:画图8-8(a)所示正六棱柱的正等轴测图。分析:由于六棱柱的前后、左右都有对称轴线，故可把坐标原点设在顶面的中心处，由上向下作图较为简便。,例8-3:画图8-9(a)所示木榫头的正等轴测图。分析:木榫头可视为由一长方体切割而成，画轴测图时，也可采用切割法。,例8-4：画如图813（a）所示带有三个相同圆柱孔的立方体的正等轴测图。分析：3个圆柱孔的顶圆，分别位于立方体3个相邻的侧面上，如果将坐标原点设在立方体的左前上角，各坐标轴与棱线重合,那么3个圆柱孔的顶圆即为3个坐标面的圆。3个底圆则分别平行于相应的坐标面。这些圆的正等轴测图，都是形状和大小相同的椭圆，它们的长轴应与相应的棱线垂直。,例8-5：画图814(a）所示的被切圆柱正等轴测图。分析：圆柱上半部被切部分左右对称，顶面和中间截面都是水平圆的一部分。以顶圆的圆心作为坐标原点（Q1Z1轴为圆柱轴线），由上向下作图，可省去不可见部分的作图线。,例8-6：画图818(a)所示挡土墙的正面斜等测图。,例8-7：画出图8-18(a)所示钢箍的立面斜二测图。,例8-7：画图8-21(a)所示建筑群的水平斜二测图。,例8-9：画图8-24(a)所示压盖的剖切正面斜二测图。分析：压盖上所有圆和圆弧所在平面都与V面平行，它们的正面斜二测图都反映实形。画图时，可先画出剖切了后的前端面和剖切断面的形状，然后再画内、外的可见轮廓线。,例10-1：求图10-5中AB直线的坡度和平距，并求C点的标高。,【解】直线的坡度i=IAB/LAB。其中IAB为A、B两点的高差，即IAB=2412=12。LAB为A、B两点间的水平距离，用比例尺量得为36，所以i=1236=13。直线的平距l=1i=3。因为i=IAB/LAB=i=IAc/LAc13，所以IAC=13=LAC。由比例尺量得为15，由此得IAC=1315=5，所以C点的标高为24-519，标为C19。,例10-2：如图10一9（a）所示，已知A、B、C三点的标高投影a1、b6、c2。求由这3点所决定的平面的平距和倾角。分析：平面的平距及与基面的倾角就是平面上最大坡度线的平距和倾角。而平面的最B大坡度线又垂直于平面内的等高线，所以本例要解决的问题，就是在平面上求作等高线。,例10-3：求作图10-10（a）所示平面的等高线。分析：A和B的高差是5-2=3，若在整数标高处各作一条等高线，应作出4条。其中过a2和b5各有一条标高分别为2和5的等高线，它们之间的距离L应为该平面平距的三倍。而平面的平距l=1/i=105=2，即L=31=3X2=6。这就是等高线5到等高线2的水平距离。于是问题就变成过点a2作等高线2与点b5距离为6。因此可按图1010（c）的思路解决：即以b5为圆心，底圆半径为6作一高度等于3的正圆锥，则等高线2必为过a2向锥底圆所作的切线。锥顶B与切点K的连线BK，即为该平面的最大坡度线。,分析：两平面的交线是两平面内同高等高线交点所连的直线。从题所给条件可知，两等高线5的交点a5即为交线上的一点，根据l2（因为i1/2）可求出平面P的另一等高线（如等高线2），从而求出另一交点。,例10-6：如图1016所示，已知直管线两端A、B的标高分别为21.5和23.5，求管线AB与地面的交点。分析:本例实际是求直线与地面的贯穿点。求直线与曲面立体的贯穿点相似。即先包含直线作一辅助平面与地面相交，从而得到地形的断面轮廓(叫作地形断面图)，再求直线（管线）与断面轮廓的交点。,例l0-7:求图10-17所示地面与坡度为23的坡面的交线。分析:平面与地面的交线，即先求出平面与地面上标高相同等高线的交点，然后顺次连成平滑曲线。,例l0-8:一斜坡道与主干道相连，设地面标高为零，主干道路面标高为5，斜坡道路面坡度及各坡面坡度如图10-18(a）所示，求它们的填筑范围及各坡面的交线。分析:求主干道和斜坡道的填筑范围，就是求它们的坡面与地面的交线，亦就是求各坡面上高度为零的等高线，俗称坡脚线。坡面间交线是各相交坡面上高度相同等高线交点的连线。为此，先根据已知坡度计算各坡面自坡顶至坡脚线间的水平距离。其中LI115=1（15）555=25；L2=125=1（23）5=1.55=7.5；L3=1351155。,例10-9：如图10-19（a）所示，已知道路路基的边坡坡度均为12，试求作此路基边坡与地形面的交线。分析:因为路面高程为250，所以，地形面高于路面的部分要挖去（称为挖方），低于路面的部分要填上（称为填方）、挖方与填方的分界线就是250等高线。路基边缘与地形面250等高线的交点m250和n250，就是路基边缘线上挖方与填方的分界点。除保证路面的宽度和高程250外，路基两侧还要有坡度为1/2且逐渐上升（挖方路段）或逐渐下降（填方路段）的边坡，这些边坡与地形面的交线，分别是路基的挖方与填方在地形面上的施工范围线。,例10-10：如图10-20（a）所示，已知广场的填方边坡坡度为1/2，挖方边坡坡度为1/1，求作广场一角的边坡与地形面的交线。分析:从图中可以看出，地形面一部分低于广场高程临（58）为填方；一部分高于广场高程为挖方。根据填、挖方边坡坡度得出平距，填方时l12单位，挖方时l2=1单位。注意，与广场圆弧线相连的边坡为圆锥面，其等高线为圆弧。,画,