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使用滑动模式 控制一类欠驱动机械系统 电机及电子学工程师联合会 会员： V. . 摘要 ： 在本文中，我们提出了一种滑模控制算法 强劲稳定的欠驱动机械系统不属于类 线性可控性违反布罗克特的必要条件顺利 渐近稳定的均衡，具有参数的不确定性。 在确定系统类，是由几个简化的假设 对动态结构，特别是阻尼力假设为线性的速度。我们首先提出一个切换面设计这一类的系统，随后，一切换算法在有限的时间内达到这一表面采用常规和高阶滑模模式控制器。 该闭环系统的稳定性研究 有 一个未定义的滑动功能的相对程度。该控制器增益控制器设计，使系统稳定的实际参数的不确定性。所提出的控制算法应用于 2基准的问题：一个欠驱动移动机器人和水下 车辆。仿真结果验证该方案。指数计算，移动机器人，非完整，滑模，欠驱动水下航行器（ 一， 引言 欠驱动机械系统的控制，少用系统 比自由度控制输入数字，已收到重视在过去数年。这是因为理论 挑战以及实用性。其中主机 提出了控制方法，个人申请一些一般 方法也被提出来这些系统的稳定 1 - 3。 这些方法的使用被动技术，能源成型，并连续控制方法。 一个具有挑战性的问题 是稳定的系统是不可控的线性某一类 而且违抗布罗克特的必要条件 4。虽然分析存在分段或时间周期不断反馈法可以渐近稳定平衡，强劲的问题与有界控制器设计是两个重要的问题仍然在这一领域的开放。在本文中，我们考虑的鲁棒镇定这种系统特别类。特别是，我们目前的设计为上述系统类滑模控制器。滑模是鲁棒控制器的设计方法和一已成功地应用于欠驱动和非完整系统 5 - 8。欠驱动系统的镇定几个根据本已经解决某一类使用滑模控制技术（见，例如，非完整集成和扩展版本 9）。不过，据我们所知，没有任何建设性的亲投稿日期 2008 年 3 月 11日，经修订的 2008 年7月 1日和 9月 13， 2008。首先公布 2009年 2月 6日， 4月公布的最新版本三，2009 年。本文建议由副主编出版帕帕佐普洛斯与编辑阁下五荒井后，评论者的评价意见。公元 工作表示支持该部科技，印度，根据研究资助753/五 电气和电子部门 工程技术研究所，蒂鲁吉拉伯利 - 620015，印度 （电子邮件： 公元印度理工学院马德拉斯 ，晨奈 - 600036，印度（电子邮箱： 对一个或更多的数字，这个文件是在网上提供颜 色 版 本 在 。 数 字 对 象 标 识 计一个开关表面和滑模控制器这一类的系统。 首先，我们提出一个纲要，设立了设计切换面一间普通的形式连接 10和定义 在切换面。 三起案件被认为是设计 切换面。随后，滑模控制器设计 提出要在有限时间内到达切换面同时使用 常规和高阶滑模控制器。此外，切换算法还建议，如 果到达切换面滑动功能的相对程度不明确。 最后，我们目前的控制器增益的设计，使本系统稳定 具有参数的不确定性。该文件的其余部分组织如下。 阿分类 在滑模方面欠驱动机械系统载于第二节。 在第三节，给出一个设计大纲为下一代，有限时间可达性的，有明确和滑动功能未定义的相对程度。 在第四节 和 V，建议的方法是采用两个标准的例子：一个欠驱动移动机器人和水下机器人（ 分别。 模拟结果显示在第六节，其次在第 论，首先是类的定义 本文认为在欠驱动机械系统。 二 一类欠驱动机械系统 许多机械系统的动力学可以表示为 D(q) q + C(q, q ) = 1) 其中 q = ( . . . , 是参数化的配置空间 Q, D(q) (q, q) 氏，刚度等 u F 虑 这是一个欠驱动机械系统的特点是类 如下 1） 2）向量 1）只取决于 尼 力量速度的线性关系。 3） m 0. 这导致 x 1 =等效动力学 - 是指数稳定 。但 这一升选择（ 1）在切换面的交点就是结果 的（ n - 米）滑动面，而且，如果相应的滑动 函数是线性无关，那么他们不能达到有限一次使用米控制的投入。 案例二：要克服保守的程序例 1所述， 我们提出一个升李雅普诺夫功能为基础的设计（ 1）。 考虑 下列候选人李雅普诺夫函数 V：的 米 - 红外定义为 五（ =（ 1 / 2）？ 1 1，并进一步建设升（ 1），使得 五（ 0的 案例 3：此案件涉及到升设计（ 1），其中的等效 动态不李雅普诺夫稳定相 对于 V（ 1）。 在这种 情况下，兴建升（ 1），使得拥有同等动力 弱的概念，如稳定收敛到原点。 乙有限时间可达性的开关表面 一旦切换面的设计，控制的任务是减少到 到达下一个定义在有限 旦切换面的设计，控制的任务是减少到到达下一个定义在有限 达性 13切换面 。 定义 换面 果到达的任何 x(0) N 0, ) 受理控制 u : 0, T x(T ) O. 我们假设，设计过程中较早节概述假设存在 j (x)使得 O = (x) = 0). 该 动态的简单鉴别后，取得每个匀（我们镇压 在 X），时代的 轨迹 其中 与 到了定义良好的载体关联度定义 14，与 Q（ x）是 在 可逆，因此，对于所有的 近我们有 选择的 P（ x） 的 动功能。 例如，如果向量关联度为（ 1， 2），当时的 P(x) = x) x)_ ）为 X ）是 其中 与 在有限时 间内收敛性质 x), x) 中可以找到 15 - 17。如果 1, 则 滑动面可以达到在有限时间内使用高阶 从（ 7），它是明确的滑动面 相应的制度（ 5）有限时间到达。它是那么简单设计的控制器 轨迹可以达到个人滑动面匀 = 0在有限的时间。 一旦个别表面达到的运动轨迹 仅限于交换开关表面上的自澳连接和包含的起源，并进一步控制器这样，它呈现的滑动面有限时间稳定，每个 轨迹留在开关表面 O（正不变）。 我们注意到，在审议这一文件系统，至少存在一个 反映在可逆性财产损失 上一个平衡点 使得再定义 和 图 1插图相对稳 定 图 2移动机器人 届时，稳定传统观念，如李雅普诺夫稳定，不成立。这促使我们解决稳定问题利用相对稳定的概念 18。定义 虑开放 1，进一步氙的平衡 说是相对稳定的方面 至设定 O，如果有任何 ，存在 使得其中 B未 放球围绕产地和半径未分别。此外，如果 为 然后 被认为是相对渐近稳定关于设定澳对于未定义与条件相对程度的滑动功能 （ 9），闭环系统只具 有相对的稳定性。 为例如，我们已 。 因此，鉴于相对未定义一定程度上集合，该控制策略具有以下开关 机制： 接下来，我们分析了该控制律（ 8鲁棒性）具有参数的不确定性。为简单起见，我们限制我们的注意 对系统的关联度的滑动功能各 1，并进一步不失一般性，我们假定的 Q（ x）是低三角形。我们用 领域的载体这些参数标称值。 控制目标是稳定 （ 5）围绕与知识的平衡点 名义系统函数 。 换句话说，我们寻求反馈控制律 的形式 这样的闭环 系统具有所需的稳定 财产。考虑鲁棒控制律的表达（ 8）在以下方面取得本系统参数的标称 值 其中 是 免费 的，该动力学 受的动态信息资源管理 控制法（ 11）是由 关于时间，沿闭环系统的轨迹（ 5）给出 由 其中 是明确规定这进一步 意味着 有明确界定。 今后，我们假设以下 假设 能满足 这在一般的假设，量化了扰动的 显得非常流利，控制他们的标称值的向量场。 假设 存在闭集 和常量 例如，如果此外，让 如果然后（ 12）降低到 和使用范围上 我们有与收益巧 环轨迹达到 在有限时间内的滑动面。在许多情况下，是不容易以解析表征成立。在这种情况下，我们定 千焦 0要大，在假设 在着一个小 域名注册，这样（ 13）中 们应用建议滑模控制策略，以两个基准的例子： 移动机器人和参数不确定性 示例 1：移动机器人 在本节中，我们应用该方法以强劲稳定 移动机器人。 我们认为，移动机器人，如图所示 2。 此移动机器人运动学模型可以表示为 其中 ，和与 之间的质量和车轮， 1和 2，中心 左，右轮马达扭矩， 车轮。两个假设都是为了简化模型：中心 配合质量和后方轴中心，车轮做 没有幻灯片。 第 二个假设导致了速度级非完整 约束。 使用下面的选择 状态向量，（ 14） （ 15）可以结合产生的流形中 定期形式其中请注意，改变坐标是一个全球性的微分同胚。 移动机器人的稳定解决了使用不连续 控制器 19 - 22使用六西格玛过程，同时时变 控制器已用于 23 - 25，但稳健性 问题不讨论这些作品。 在26中，作者已经解决 轨迹和力量跟踪移动机器人的问题 使用动态模型。 A. 控制器设计 控制目标是往哪里走从任意初始位置移动机器人 和方向（也有初始速度），以一个理想的位置 最后和方向与速度为零（）。不失一般性， 点至点的控制目标是降低到稳定 （ 16）到原点。 现在，我们设计了切换面使用设计大纲 建议在第三节。我们再次写了切换面 。可以证实，由于每人的情况 1 在第三节 - A，如果我们分配一个非线性动力学， （ 1）在 （ 16），由此产生的切换面是三个路口滑动 表面。此外，相应职能是线性滑动 独立的，因此，开关的功能不能达到 有限时间使用两个控制输入。 然后，我们尝试 根据设计，在例 2，其中再次提出了这个失败 具体例子。我们只剩下 3条所述的情况下的程序其中 a， b 0是 自由的。 由此产生的切换面为，其中 ，满足了交换的基本性质 表面的稳定性能指数收敛 等效的动力。 这种稳定是最常见的类型 非完整系统。 有趣的是，这等效动态 系统是类似的非完整集成闭环系统 提出 27。 下一步，我们证明了闭环轨迹 对 引理 轨迹（ 16）在 证明：对 没有损失 一般性，假设了 T = 0和 0） = 0。本（ 18）给出的解决方案 并且满足控制目标是减少到现在达到在有限集合 时间，使它正不变。为此 ，我们 设计过程中概述第三节 - 8），为了实现强大的稳定，我们修改控制器 （ 19） - （ 20）作为标称值的功能。 我们定义 2 作为参数 2，分别与标称值 表示控制器（ 19） - （ 20的这些标称值计算） ( 和 F( . 变量 与控制变量 和 关系式其中因此，假设要求 方程（ 21）与假设 以表示为 其中字母 和满足 图 示的可达域 如 果 然后闭环轨迹（ 16）达到 在 有限的时间。 我们注意到，相当于控制输入都是通过 它们是顺利的。 在本节中，我们提出了自由参数设计巧 实现有限时间可达性的滑动面，并在 过程定义可达域。 在不受干扰的情况下， 我们假设系统参数完全匹配的实际 参数（即 它可以很容易地看到，职能 （ 22）和（ 23）是恒等于零。 因此，对于任何控制器 时，轨迹在有限的驱动滑动面 当时，独立于任何截至领域 。 当系统参数不匹配的控制器 参数 么它是有用的计算域 可达性，其中的滑动有限 时间可达 表面可以实现的。首先，我们确定的初始条件域 用 ，例如，如果 。该任务 计算领域的可达性是由简单的考虑 每个控制器，保证了有限时间收敛 相应的滑动面。 1）扭矩控制：第一，我们注意到该函数为 x）是关联 与 外 2， 闭环动态 对 以 表 示 为 其中下面我们分析行为 4，使用向量场阴谋（ 24）（见图。 3），供各 下列情况。 案例 1：假设 ，则 动态变得 x 4 = 其中轨迹出发集合 将收敛到均衡 案例 二：同样，在这个集合 轨迹收敛到平衡点 / 它可以很容易地得出结论，用 是正不变集，表示另外，如果 。此外，如果 ，则 其中 。随着 足，与 达到 在 有限的时间。 2） 动力 控制 F：请注意， 关联度不 定义在这个集合，并进一步 。因此， F 是有效的控制在。 我 们 首 先 确 定 一 个 集 同 的 特 点 ， 如 果， 并进一步 在 果 这 是 影 响 动 态 只 有 通 过 ） 是 这 样 的 结 果 达 到 设 定 的 轨 迹或已达 ，然后 所有时间 t 0。这可以很容易地看到从向量场 此外， 设置有预期的积极不变性， 而 且，该控制器 1的设置，并 因此，可以打开它。因此， 有限的时间就到达设定的用 。 同时，为滑动面有限时间可达 0，控制器 使得 须满足的不平等状况 向上 2 域。要设计这样的收益，至关重要的是确定初始 用 这样，如果为 。由于 是一个漫长的非线性表达， 明确用 计算是一项繁重的任务。使用的说法 为小参数的变化，总有一小设置初始 这样的条件为 是有界的，域名的初始条件 为闭环系统（ 16）可以被定义 。 该 完整的控制算法，驱动器的轨道，以开关 表面是在下一节介绍 . D 开关控制算法 与切换策略控制器撮 在下面的命题。 命题 源（ 16）是局部稳定（ 吸 引 力 ） 与 下 面 的 开 关 控 制 律 ： 控制器 如果证明：如果 ，进一步如果（ ），然后控制器 驱动器的轨道，以进一步设定 些有限的时间。为了了解集（排除 ） 从最初的域名，用 考虑设置 ，这是封闭的，有界， 并包含原点 x = 0时。如果配对（ 1 = 0， 4 = 0） ，那么 和 于 零 ， 进 一 步 （ 1 = 0 ） 该 子 系 统 （ 独 特 的 平 衡 点）。 由于 关 战略确保任何力量 而可达 到地表 了克服这一不足，表面 呈现相对有限，就设定时间稳定（ 而 相对有限的时间与稳定方面的设置 。一旦轨迹 到达 O，由引理 指数收敛到原点。 图。 4。 示意图水下机器人 ：欠驱动水下机器人 接下来我们考虑在水下刚体运动水平 飞机（中性浮力）。作者 图。 （ 4） 。 配置空间是 坐标（ x， y，）代表在惯性系。 三重 （ x， y，）代表的质量和方向的中心地位 该机构在惯性系。相应的线性和角度 在车身骨架速度被表示为 。 惯性 速度和身体的速度是有关的方程。 该运动方程（假设流体阻尼力 是线性的）是（详见28和 29）给 其中，代表的是正的常数 矩阵的惯性因素，包括增加群众元素 该阻尼矩阵，分别。通常情况下，车辆 只有两个是由驱动控制的力量，而投入的 偏航 及远期推力 面的状态变换流形上的收益率 ， 其中 。 一个 不连续控制律已用 于 28和 29 稳定的水面舰艇，而在 28和 30的作者们 展示了同样的使用时间变控制器。 ： 控制目标是稳定的来源（ 26），我们 再按照设计概要载于第三。 这里也一样 ，案例一 在第三节 似的设计程序的论据 移动机器人的。我们现在建立 基于 候选李亚普诺夫函数 ，其中，和 沿导数（ 26）。 让 和，其中 0，则其中产量为升以下结构。 由此产生的 切换面可以被定义为 注意，如果在液力阻尼力（ 25） 是非线性的，例如在二次 ，并 z，然后在设计过程 为在开 关表面没有抵达。特别是，衍生 在 27）将包含 这是 签署无限期的，因此是一个程序的设计限制。 引理 换面（ 28）减少到 其中。 证明：考虑 ，让 ，然后 表示成和 当这进一步意味着 。因此， ，其中 现在控制的目的在于使 和 0 在有限的时间。关于时间的导数沿 26）是 ，这意味着 具有相对的程度 1。中 建议 。请注意这两个 依赖 在系统 阶动态 将受 ，其中 而 引起的轨迹（ 26）到达表面在有限的时间和渲染它正不变，而 对 经使用 17提出的控制器，以稳定 在有限的时间。使用（ 8），为 标称值的系统参数 给由因为它是难以明确设计控制器增益 1， 1和 2，我们假设存在一个初始条件域用 使得 该个人控制器驱动的轨道，以相应的 滑动面。请注意，对应 未定义在 0，这使得 未定义。这种情况下， 穿越零，可避免使用开关 控制器之间的如下。 首先，在控制开关，使 z 轨迹达到 5三维表面的 之后 为 然后，打开控制 样的轨迹到达的 3 - D 表面的 我们已在现在，我们总结了以下命题的控制策略。 命题 源（ 26）是局部的和比较有吸引力 渐近稳定方面设定（ 29），如果 证明：如果，然后在控制行动 轨迹达到 5三维曲面 一些有限的时间 T。请注意 在这个流形 对所有 。该控制器 在这 5维流形，它的驱动器的轨道，以一个三维曲面 在某些有限的时间。在这个三维流形上， 等效动力来源是渐近稳定鉴于 （ 27）。注 果 那么任何一个开环控制 可 引导 后，在切换策略（ 31） 可以应用。如果初始条件是在 O，那么轨迹 渐近收敛到原点。 在本节中，我们提出了移动机器人的仿真结果 和 符号函数结果的运用 在不受欢迎的高频开关的控制输入。从 1执行的观点来看，这个问题可以得到缓解使用 高边坡饱和函数 31。使用此近似， 模拟已进行了替换功能的标志 控制器的功能定义为 其中 所提出的控制方法与实际系统模拟 参数，而控制法是利用名义 值。该控制器增益 2的设计如下。首先， 我们注意到，增益 1 /。由于 / = 一个大 此外，不等式使得 ，这意味着 其中 是在 表达 在口头上，如果偏差大于实际值，那么任何 增益 0驱动器系统的轨道，以表面 在有限的时间。 由于没有明确的计算得出的增益 为一个没有安全的方法，我们使用大 价值。 下面的参数 随着 初始条件（ x（ 0） = 1分， （ 0） = - 1米，（ 0） = （ 0） = 秒，（ 0） = 秒）是在模拟使用。时间 反应的闭环使用的功能系统控制器国家税务总局 如图所示。 5。免费的任期是用来减缓 对 大有助于减少在高峰期 在 平面显示在 图。 6。 面的控制参数 1= 10， 1= 10， 2= 1，格 L =随着初始条件 （ 0） = 1分， （ 0） = 500万，（ 0） = 2弧度， 0） = 1米 /秒，菲雅皮（ 0） = 1米 /秒， z（ 0） = 秒）是在模拟使用。 名义 该系统的参数值分别固定在 105， 105， 42，与 该 摄动值，得到了 5减去其相应的 标称值。在闭环系统的响应时间 。 图。 6。其次是移动路径机器人。 图。 7。 间的投入和国家的反应。 图。 8。 其次是 路径。 使用该控制器的作用是坐在图所示。 7。 的比较 该议案的 在 x 和 摄动参数如图。 8。 阿滑模控制算法，提出了稳定一类 与欠驱动机械系统参数不确定性。一 切换面设计方法，使用的常规形式 该系统。 相对稳定的概念是用来对付滑 相对不确定度与功能。 建议的做法是 适用于两个著名的例子，他们的鲁棒性分析 提出。仿真结果验证了提出的方法。 承认 作者们感谢他们的有益意见，匿名评论 和建议。 参考 文献 1米雷伊汗奥卢，欧塞尔范德斯哈夫特，美国新罕布什尔 一 “ 动力学与控制的一类欠驱动机械 系统 “ ，硕士论文。工商汽车。 控制，第一卷。 44，没有。 9 页。 1663 年至 1671 年 1999 年 9 月。 2米雷伊汗奥卢，南楚， “ 间断反馈 控制一类欠驱动机械系统的特殊 “ 诠释。 j 的 非线性鲁棒控制，第一卷。 24 页。 2652000 年 7 月。 3注册护士 第五 关有限时间控制 一类欠驱动系统。柏林，德国：施普林格出版社， 2006。 4 碟布罗克特， “ 渐近稳定和反馈镇定， ” 在 微分几何控制理论， 碟布罗克特，遥感米尔曼， 和 H. j 的苏斯曼，合编。波士顿，麻州：伯克豪舍， 1983 年，页。181 - 191。 5南 尔洛夫士元，吨弗洛凯河桑铁斯特万，并 “ 二阶滑模控制的欠驱动机械系统 1：申请一个倒立摆， “ 诠释当地的稳定。 j 的 非线性鲁棒控制，第一卷。 18 页。 5292008 年 3 月。 6长爱德华兹和 翁，滑模控制。伦敦，英国： 泰勒弗朗西斯， 1998 年。 7 ， “ 滑模轨迹跟踪控制 非完整轮式移动机器人 “ ，硕士论文。机器 人。工商汽车。， 第一卷。 15，没有。 3，页。 5781999 年 6 月。 8一伊科湖弗里德曼，甲皮萨诺和 中的抖振分析 系统的第二次滑模式 “ ，硕士论文秩序。 工商汽车。 控制， 第一卷。 52，没有。 11 页。 2085 年至 2102 年， 2007年 11 月。 9希沃特 弗洛凯和 “ 稳定与跟踪 海森堡系统的扩展与漂移 “ ，用于 制莱特。火山。 54， 页。 4352005 年 5 月。 10公司卢科亚诺夫和第六 “ 减少方程方法 对形式的动态监管系统， “ 工商汽车。远程控制，第一卷。 43， 没有。 7，页。 8721981。 11类风湿性关节炎德卡洛，上海扎克，和 修斯， “ 变结构控制 非线性多变量系统：教程 “ 的 电机及电子学工程师联合会，第一卷。 76，没有。三， 页。 212988 年 3 月。 12 C 红， “ 非线性系统的变结构控制： 一种新的方法 “ ，硕士论文。工业电子。，第一卷。 40，没有。 1 页。 45 1993 年 2 月。 13六 模变结构及其应用 系统。莫斯科：和平号空间站， 1978 年。 14答：伊西多里， 统。纽约： 出版社， 1995。 15虚拟化技术海默， “ 有限时间控制器， ” 暹罗 j 的控制 维。火山。 24， 页。7601986 年 7 月。 16 警司副伯恩斯坦， “ 持续有限时间镇定 平移和旋转的双重整合 “ ，硕士论文。工商汽车。 控制，第一卷。 43，没有。 5，页。 6781998 年 5 月。 17答：黎凡特， “2 ” 自动化建设的原则， 第一卷。 43，页。 576007 年 4 月。 18国民党巴蒂亚和 力系统：理论与稳定性 应用。纽约：施普林格出版社， 1964。 19答阿斯托尔菲， “ 指数稳定的轮式移动机器人通过间断 控制 “ ， j 的强啡肽。用于尺寸。控制，第一卷。 121 页。 121 1999。 20消委会代威特和 “ 指数稳定的移动 与非完整约束机器人 “ ，硕士论文。工商汽车。控制， 第一 卷。 37，没有。 11 页。 1791 年至 1798 年， 1992 年 11 月。 21美联社阿吉亚尔和 “ 稳定扩展的非完整 通过逻辑基于双积分混合控制， “ 第六届诠释呈现。 国际会计师联合会 器人控制，维也纳，奥地利， 2000年 9 月。 22 “ 高阶间断控制广义 连锁系统 “ ，用于 制莱特。火山。 37，页。 309 1999。 23长参孙， “ 连锁系统，应用控制，路径跟踪 和时间变点的移动机器人的稳 定 “ ，硕士论文。 工商汽车。控制，第一卷。 40，没有。 1 页。 641995 年 1 月。 24 z 的体育江， “ 全球指数设定点 轮式移动机器人控制：一个 法， “ 自动化， 第一卷。 36 页。 1741 年至 1746 年， 2000 年 11月。 25 江，五莱费伯和 H. “ 稳定和饱和 非完整移动机器人跟踪 “ ，用于 制莱特。火山。 42， 页。 3272001。 26米的大屋，国立成功 苏，加藤和 R.， “ 鲁棒自适应运动 /力跟踪 不确定非完整力学系统的控制 “ ，硕士论文。 机器人。工商汽车。火山。 19，没有。 1，页。 175003 年 2 月。 27答阿斯托尔菲， “ 不连续的布罗克特集成控制， ” 欧元。 j 的 控制，第一卷。 4，没有。 1 页。 491998。 28肯塔基州彼特森和 “ 指数稳定的一个欠驱动 水面舰艇， “ 国立。 第 35电机及电子学工程师联合会机密档案。 决策控制，神户， 日本， 。 967 29米 雷伊汗奥卢， “ 指数稳定的一个欠驱动自治 水面舰艇， “ 自动化，第一卷。 33页。 2249 年至 2254 年， 1997。 30科威特第纳尔能做到的， 江，和 “ 为稳定通用控制器 欠驱动船舶跟踪和 “ 用于 控制莱特。火山。 47 页。 299 - 317， 2002。 31李贤铠哈利勒，非线性系统。黄俊英，台北：普伦蒂斯霍尔， 1996。