课矩阵的特征值与特征向量.ppt

4.1矩阵的特征值与特征向量,一、基本概念,三、特征值与特征向量的性质,特征值与特征向量,特征多项式与特征方程,二、特征值与特征向量的计算,一.方阵的特征值与特征向量,1.特征值与特征向量的定义,定义1:,设是阶方阵，,若数和维非零列向量，使得,成立，则称,是方阵的一个特征值，,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。,1.定义2.求法3.性质,Ax4x,注：,是方阵,（2）特征向量是非零列向量,（4）一个特征向量只能属于一个特征值,（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一,从几何上来看，特征向量x的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.,2.特征值与特征向量的求法,或,或,是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。,称为矩阵的特征方程。,求特征值、特征向量的求解过程：,求出即为特征值;,把得到的特征值代入上式，,即为所求特征向量。,（去掉零解）即为与对应的全部特征向量。,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令得基础解系:,得基础解系,解,得基础解系为：,思考：对角阵的特征值是什么？,三角形矩阵的特征值是什么？,例题,证明：一个特征向量只能对应一个特征值.,证假设是A的一个特征向量，其对应的特征值有两个和.,移项,则,所以齐次线性方程组AXo有非零解X1。,例3试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零。,证：必要性：如果A是奇异矩阵，,充分性：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1。,|0E-A|,则|A|0。,|-A|,(-1)n|A|0，,即0是A的一个特征值。,由特征值的定义，有AX10X1o(X1o)，,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵。,三、特征值与特征向量的性质,【性质】设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值。,【性质2】如果n阶方阵A的全部特征值为l1，l2，ln，（k重特征值算作k个特征值），则,|A-lE|=|(A-lE)T|=|AT-lE|,l1l2ln|A|,证明由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|，则的任一个特征值都不为零,则，因而,即-是A-的特征值，x也是A-的对应于-的特征向量.,【性质3】,若是的属于特征值的特征向量，,【性质4】,即若f(x)是一个多项式，是A的特征值则f()是f(A)的特征值,且对应特征向量相同.,证明,对应特征向量是:,对应特征向量也是:,解由,得,解之,求x，y.,概念练习：,4、方程(lE-A)xo的解都是特征值l的特征向量吗？,1、设A是n阶方阵，如果数l和n维非零列向量x满足_，则称l为A的特征值，x称为A的对应于特征值l的特征向量。,Axlx,2、数l为A的特征值l满足_。,|lE-A|0,3、向量x为A的对应于特征值l的特征向量x满足_。,(lE-A)xo,5、矩阵lE-A称为_，,7、方程|lE-A|0称为_。,6、l的n次多项式|lE-A|称为_.,A的特征矩阵,A的特征多项式,A的特征方程,课堂练习题,一、单选题,可逆矩阵与矩阵（）有相同的特征值；,为n阶方阵，则（）结论成立可逆，则矩阵属于特征值的特征向量也是属于的特征向量；的特征向量既为方程（）的全部解；特征向量的线性组合仍是特征向量与特征向量相同,课堂练习题,一、单选题,答案：；;3.,设是一个可逆矩阵，则其特征值中（）有零特征值有二重特征值零可能有也可能无零特征值无零特征值,二、填空题,课堂练习题,已知三阶方阵的三个特征值为，则|A|（），的特征值为（），的特征值为（），的特征值为（）,设k=0，k是正整数，则的特征值为（）,若，则的特征值为（）,，-1/2,1/3,，,4,1,16,0,0,1,二、填空题,课堂练习题,4设A是3阶方阵，已知方阵，都不可逆，则的特征值为（）,已知三阶矩阵A的特征值为，则（）。,1,-1,3,-72,会求方阵的特征值和特征向量,熟记特征值和特征向量的性质,作业：P29：2，4，5，6,7,8,要求：,