线性代数试题及答案

.（试卷一）一、 填空题（本题总计 20 分，每小题 2分）1. 排列 7623451 的逆序数是 15 。_2. 若 ，则 3 121a160321a3. 已知 阶矩阵 、 和 满足 ，其中 为nABCEABE阶单位矩阵，则 。n 14. 若 为 矩阵，则非齐次线性方程组nm有唯一解的充分要条件是AXbR(A)=R(A,b)=n_5.设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则以86为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间A维数为_2_。6. 设 A 为三阶可逆阵， ，则 12301A*A7.若 A 为 矩阵，则齐次线性方程组nm有非零解的充分必要条件是 R（A） 0xn .8.已知五阶行列式 ，则12345015432D0 4543241AA9. 向量 的模（范数） 。(,12)T _10.若 与 正交，则 1kT1k1-2k+1=0二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 向量组 线性相关且秩为 s，则(D)r,21 sr r s s2. 若 A 为三阶 方阵，且，则 (A)043,02, EEA 8 8 3 343设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( D ) )(RB )(ARB A .4. 设 阶矩阵 的行列式等于 ，则 等nADkA于 。C_)(Ak)(BAkn )(Ckn1D5. 设 阶矩阵 ， 和 ，则下列说法正确的nAC是 B 。_则 ,则 或)(ACB)(B0A0)(TTB)(D2)(B三、计算题（本题总计 60 分。1-3 每小题8 分,4-7 每小题 9 分）1. 计算 阶行列式 。n221D232 1n222设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，*且 ，求 .1*A)3(13求矩阵的逆 2104. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组.21231x 有唯一解； 有无穷多解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。521341x6.已知向量组 、 、T201T、 、 ，求此T313944 15向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示7. 求矩阵 的特征值和特征向量20134A四、证明题（本题总计 10 分）设 为 的一个解， 为对应bAX012,nr 齐次线性方程组 的基础解系，证明线性无关。12,nr （答案一）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）115； 2、3； 3、 ；4、 ；5、2；6、CAnbAR),(.；7、 ；8、0；9、3；10、1。.二、选1230nAR择题（本题总计 10 分，每小题 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计 60 分，1-3 每小题 8 分，4-7 他每小题 9 分）1、 解： -D),43(2niri021 032n2-3 分-6 分12r0021 032n2-8 分)!()2(321)( n（此题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）解：（1） -1 分12412312AB-5260402分.（2） -17602395132BA 1628704-8 分3. 设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，且 ，* 2A求 . 因 A ，故 3 分 *2)3(1*E2141n*5 分 *1A8 分2716434232)3(1 *4、解： -3 分101),(EA132r100-6 分23r20)(32r 21故 -8 分 （利用11A公式求得结果也正确。 ）A15、解； 21),(bA13r322102r-3 分)()(2012（1）唯一解： -3,bAR21且5 分.（2）无穷多解： -73),()bAR1分（3）无解： -9),()AR2分 （利用其他方法求得结果也正确。 ）6、解： -3 分520113),(bA r 003152基础解系为 ， -24321x 0121026 分令 ，得一特解： -7 分 3524321x043x 035故原方程组的通解为：，其中 -9 分（此题结102035121 kk Rk21,果表示不唯一，只要正确可以给分。 ）7、解：特征方程 从而21043()12AE(4 分)123,1当 时，由 得基础解系 ，即对应于(20AEX1(0,)T的全部特征向量为 (7 分)1 1k(0)当 时，由 得基础解系 ，即对应23() 2(,1T.于 的全部特征向量为 231 2k(0)四、证明题（本题总计 10 分）证： 由 为对应齐次线性方程组 的基础12,nr 0AX解系，则 线性无关。(3 分)r 反证法：设 线性相关，则 可由12,nr 线性表示，即： (6 分)12,nr r1因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是 的解。这与已知条件 为0AX bAX的一个解相矛盾。(9 分 ). 有上可知，0b线性无关。(10 分)12,nr (试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列 6573412 的逆序数是 2.函数 中 的系数是 ()fx21x3x3设三阶方阵 A 的行列式 ,则 = A/3 3A*1()4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 R（A）n 5设向量 ， = 正交，则 -2 (1,2)T2.6三阶方阵 A 的特征值为 1， ，2，则 A-2 7. 设 ，则 .1203_8. 设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则A86以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_9设 A 为 n 阶方阵，且 2 则 A 1*()3A21n）（ 10已知 相似于 ，则 2031Ax12Byx， y二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 ，则 等DA 5于 A (A) (B)-5 (C) 5 (5)nD D(D) 1()n.2. 阶方阵 与对角矩阵相似的充分必要条nA件是 .(A) 矩阵 有 个线性无关的特征向n量(B) 矩阵 有 个特征值A(C) 矩阵 的行列式 0A(D) 矩阵 的特征方程没有重根3A 为 矩阵，则非齐次线性方程组mn有唯一解的充要条件是 C Xb(A) (B)(,)RAb()RAm(C) (D)(),)bn(),)bn4.设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( D )(A) (B)(RB)(ARB(C) (D)(A)(5. 向量组 线性相关且秩为 r，则 12,sB .(A) (B) (C) rsrsrs(D) s三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算 n 阶行列式: .221D232 1n222已知矩阵方程 ，求矩阵 ,其中AXX.013A3. 设 阶方阵 满足 ,证明 可逆，nA042EA3AE并求 .1(3)E4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系: 1234234895xx5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示.12341234,5.06已知二次型：，3231212321321 845),( xxxxf 用正交变换化 为标准形，并求出),(f其正交变换矩阵 Q四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设 , , , , 且向量组1ba212a 12rrba线性无关，证明向量组 线性ra,21 rb,21无关.(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 17 2. -2 3 4 5 6-2 1A()Rn7 或 8 29、 10、16A1032n）（ 2,0yx二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）.1、 解： -D),43(2niri021 032n2-4 分-7 分12r0021 032n2-10 分（此)!()2(321)( n题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）2求解 ，其中AX2013A解：由 得AX(31XAE分)(6 分) 120,31AE(8 分)102613r:所以 26031X.(10 分)3解：利用由 可得： -042EA 0)(3EA-5 分即 -7 分 故 可逆且EA)(3 3-10 分)()3(14求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 1234123895xx解： (2 分) 12328()9504Ab123040r:(4 分)则有 12100r:(6 分)14230x取 为自由未知量，令 ，则通解为： 4x 4xc1234102xc(8 分)cR对应齐次线性方程组的基础解系为： 21.(10 分)5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示解：12341234,5.0= 1234121321335000: 102:(2 分) 为一个极大无关组 . (4 分) 设 12,， 312x412y解得 ， . 2x 12y(8 分) 则有 ， 314126 解 332123221 85),( xxxxf 的矩阵 (2 分) 的特42A A征多项式 (4 分)10()(的两个正交的特征向量 , 121 10p142p的特征向量 03 213p.正交矩阵 8 分) 正321240Q交变换 ：标准形 yx 3210yyf四、证明题（本题总计 10 分）若设且向量组 线性无关，,212121, rraabab ra,21证明向量组 线性无关. 证明：设存在r,，使得 也即 12,rR 12rb+b=0化简得 1212()()0rraa 12rrra 又因为 线性无关，则 12,r120rr(8 分)解得 120r所以， 线性无关.12rb, , （试卷三）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为 (2)2n2、设 4 阶行列式 ，则 0 4abcdD12314A.3、已知 ，则 10327A1*A4、已知 n 阶矩阵 A、B 满足 ，则BA1EB5、若 A 为 矩阵，则齐次线性方程组m只有零解的充分必要条件是 x06、若 A 为 矩阵，且 ，则齐次n()3min,RA线性方程组 的基础解系中包含解向Ax0量的个数为 7、若向量 与向量 正交，则123T1T8、若三阶方阵 A 的特征多项式为，则 2(1)AE9、设三阶方阵 、 ，已知 ，12312B6A，则 1BAB10、设向量组 线性无关，则当常数123,满足 时，向量组l线性无关.213213,二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1、 以下等式正确的是( ). dcbak dcbak ab2、 4 阶行列式 中的项 和 的det()ija1342a24312符号分别为（ ）正、正 正、负负、负 负、正3、 设 A 是 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，mn满足 BAC. 若 A 和 B 的秩分别为 和Ar，则有( )Br ABr ABr 以上都不正确 4、 设 A 是 矩阵，且 ，则非齐mn()RAmn次线性方程组 ( )Axb有无穷多解 有唯一解无解 无法判断解的情况5、已知向量组 线性无关，则以下1234,线性无关的向量组是（ ） 12341,. 12341, 12341,三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1 求矩阵 的特征值和特征向量124A2 计算 阶行列式n011100nnaDa3 已知矩阵 ，1A， ，且满足 ，求矩10B4320CAXBC阵 X.4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 12345123451605xx.5 已知矩阵 ，求矩阵 A 的122464397A列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示6 已知 A 为三阶矩阵，且 ，求2A1*32四、证明题（本题总计 10 分）设向量组 中前 个向量线性相12,n 1关，后 个向量线性无关，试证：1n（1） 可由向量组 线性表示；1 231,n（2） 不能由向量组 线性表示.n2,（试卷四）一、填空题（本题总计 16 分，每小题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为 3(21)4(2)nn 2、4 阶行列式 4816452D3、已知 ， 为 A 的伴随矩阵，则1029A*1*.4、已知 n 阶方阵 A 和 B 满足 ，则AB1EB5、已知 A 为 矩阵，且 ，则以mn()min,RrA 为系数矩阵的齐次线性方程组 的Ax0基础解系中包含解向量的个数为 6、已知四维列向量 、T31521、 ，且T105243，则 xx2137、把向量 单位化得 2T8、若三阶方阵 A 的特征多项式为，则 2()1)(fE二、选择题（本题总计 14 分，每小题 2 分）1、 已知 ，则以下等式正确的是( ),abcdkR k dcbak dcbacba ab2、 设 A 和 B 为 n 阶方阵，下列说法正确的是（ ）若 ，则 若 ，C 0AB则 或0AB若 ，则 或 若 ，0ABE.则 AE3、 设 A 是 矩阵，且 ，则非齐mn()RAmn次线性方程组 ( )Axb有唯一解 有无穷多解无解 无法判断解的情况4、 向量组的秩就是向量组的（ ）极大无关组中的向量 线性无关组中的向量极大无关组中的向量的个数 线性无关组中的向量的个数5、 已知 n 阶方阵 A、B 和 C 满足ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则( )1B 1AC AC 16、 设 A 为三阶方阵， 为 A 的伴随矩阵，*且 ，则 （ ）41*A3)4(1 276 1.217、 已知 n 元齐次线性方程组 的系数Ax0矩阵的秩等于 n-3，且 是 的三123,个线性无关的解向量，则 的基础解系可为（ ） 1231,312123, 31三、计算题（本题总计 60 分，1-3 每小题8 分，4-7 每小题 9 分）1 计算 阶行列式nnxaDax2 已知三阶方阵 ，求10A21()4)AE3 已知矩阵 ， ，求 .210102BB4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 123451xx.5 判定向量组的线性相关性。123(2,),(0,),(2,41)TTT6 已知矩阵 ，求矩阵 的秩1201243AA及列向量组的一个最大无关组.7 已知 ，求可逆阵 P，使得21043A为对角阵. 1P四、证明题（本题总计 10 分）设 为非齐次线性方程组 的一个解，Axb为对应齐次线性方程组的基础解系.试12,r证：向量组 线性无关。12,r