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第2章重要定理和原理,学习内容,2.1亥姆霍兹定理2.2惟一性定理2.3镜像原理2.4等效原理2.5感应定理2.6互补原理2.7洛仑兹互易定理,亥姆霍兹定理：任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。,三度运算：标量场的梯度、矢量场的散度和旋度场的性质的量度；,矢量场的性质由其散度和旋度确定：,2.1亥姆霍兹定理,通量源强度的量度,旋涡源强度的量度,则,其中:,和,进而,其中：,设，,*证明:,而,同理,场、源；范围时间间隔、空间区域；,了解惟一性定理：内容、意义；,在什么范围和条件下获得解的惟一性？,惟一性定理：给定区域V内的源（、J）分布的和场的初始条件以及区域V的边界S上场的边界条件，则区域V内的场分布是惟一的。,条件初始条件、边界条件。,证明思路：建立场的体、面积分关系（标量格林定理、坡印廷定理）,证明方法：用反证法证明任意两个解的差均为零。,2.2惟一性定理,证明：,，,，,令，则,且,，,由坡印廷定理，在区域V上，有,有惟一解的条件：,（2）初始时刻区域内的场分布是确定的；,（3）边界面上或是确定的。,（1）区域内源分布是确定的（有源或无源），与区域外的源分布无关；,重要意义：,（2）为各种求解场分布的方法提供了理论依据。,（1）指出了获得惟一解所需给定的条件；,无耗媒质有耗媒质取的极限情况。,讨论几种极限情况：,（1）时谐场无限的周期性取代了有限时刻的初始条件，不需要初始条件也能保证场的惟一性。,（2）无界空间无限远条件取代有限边界条件,附加条件：所有源位于有限区域内。,要求,2.3镜像原理,镜像原理：等效源（镜像源）替代边界面的影响边值问题转换为无界空间问题；,理论基础：惟一性定理。,应用：,（1）电壁附近的垂直电流元Il,镜像电流元,，,对于远区场：,故,在边界面z=0上:,合成波电场：,（2）电壁附近的水平电流元,合成波电场：,在边界面y=0上:,对于远区场：,故：,当水平电流元紧靠电壁，即d0时，E0。,讨论：,归纳：,结论：紧贴电壁的水平电流元不产生辐射场。,结论：紧贴电壁（磁壁）的水平电流元（磁流元）或垂直磁流元（电流元）不产生辐射场。,理论基础：惟一性定理。,基本思想：等效源替代真实源；,2.4等效原理,考查如图所示的两个问题：,区域V2内的源为、，场为E、H；,问题（）：,区域V1内的源，场；,分界面S上有源、；,问题（I）：,分界面S上无源，则在S上场是连续的，其切向分量为、。,区域V1内的源为、，场为E、H；,区域V2内的源为、，场为E、H；,根据惟一性定理，问题（I）和问题（）在区域V2内场分布是相同的，即相对于区域V2而言，问题（）是问题（I）的等效问题。,将区域V1内的源和用分界面S上的等效源和来替代，且将区域V1内的场设为零，则区域V2内的场不会改变。,讨论：若区域V2内无源，则其中的场由分界面S上的等效源和产生，且,1.拉芙（Love）等效原理,2.Schelknoff等效原理,在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则不产生辐射场，区域内V2的场由产生,（1）电壁磁流源,（2）磁壁电流源,在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则不产生辐射场，区域内V2的场由产生,将区域V1内的场设置为、，则分界面S上的等效源为,3.一般等效原理,，,例：传输TEM波的同轴线终端开路，外导体与一无限大接地导体板相连，如图所示。求同轴线开口终端的辐射场。,，,等效面磁流密度：,解：同轴线开口处的电场,此小磁流环的电矩为,等效电流元为,故同轴线开口终端的辐射场,根据一般等效原理，保持散射体中总场E、H不变，散射体外只保留散射场ES、HS，则应在散射体表面设置等效源,问题：电磁波在传播过程中遇散射体，散射体受场的作用产生二次辐射场（散射场），空间的电磁场是入射场与散射场的叠加,将（1）代入（2），得,2.5感应原理,在散射体表面上，数值等于入射场的切向分量的等效源在散射体内产生总场，在散射体外产生散射场。即散射体对入射场的散射场等效于紧贴散射体表面的等效电流源和磁流源在散射体外所产生的场，此等效源由入射场的切向分量所确定。,感应定理：,内部：E=H=0，,应用方式：电壁磁流源。,由式（2）,等效源：，,特殊形式：,（1）散射体为理想导电体,表面：,（2）散射体为理想导磁体,表面：,等效源：,，,由式（2）,应用方式：磁壁电流源。,内部：E=H=0，,感应定理与等效原理的比较：,可应用无界空间的公式计算,感应原理,一般不能应用无界空间的公式计算,等效原理,具有一般性,区域内外均可有源,特殊情况,散射体内无源,对于球面上宽度为的等效小磁流环：,总等效磁流环：,等效电流元：,像电流元：,解：采用电壁+磁流源,由于，则球面上的等效磁流密度,故散射场：,散射总功率：,散射截面：,2.6巴俾涅原理（互补原理）,、与、之间有什么联系？,2.6.1问题的提出,互补关系：导电屏与导磁盘互不重叠的构成一个完整的无限大平面。,有导电屏时的场，即,；,有导磁盘时的场，即,结论：,导电屏：带孔的无限大理想导电平面（）,导磁盘：有限大的理想导磁平面（）,三组场：,；,2.6.2巴俾涅原理,证明思路：在屏所在的面上、与、应满足相同的边界条件。,在上,导磁盘：,（上）,（上）,导电屏：,相加，即得：,（1）,（2）,推论,2.6.4导电屏与导电盘的互补关系,而且,（1）导电盘与导磁盘的对偶关系,可以证明,，,（2）导电屏与导电盘互补关系,故,2.7洛仑兹互易定理,结论：,或,互易性,2.7.1洛仑兹互易定理的一般形式,条件：线形媒质，两组源：,两组不同的源与场之间的影响与响应关系,2.7.2几种特殊情况,于是有,（1）源在体积V外，则,（2）源在体积V内，则,故得,若，则有,于是有,若，则有,讨论：,（3）若S为电壁或磁壁，则,于是有,在电壁上，无切向分量，即，所以，由于是任意的，故。,2.7.3应用,设产生的场为；电流元产生的场为。由互易定理，有,例：利用互易原理证明，紧帖理想导电体表面的电流源不产生辐射场。,证明：,
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