资源描述
冀教版七年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用冀教版七年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用11.1 因式分解第十一章 因式分解11.1 因式分解第十一章 因式分解学习目标1.理解因式分解的意义和概念;2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）学习目标1.理解因式分解的意义和概念;问题1 6 等于 2 乘哪个整数？623问题2 x21等于x+1乘哪个多项式？导入新课导入新课回顾与思考问题1 6 等于 2 乘哪个整数？623问题2 x1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x-1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2讲授新课讲授新课因式分解一合作探究2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2m a+b+cx+1 x-1a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 623，我们把2叫作6的一个因数同理，3也是6的一个因数 对于多项式 ，有多项式 x1使得 ，我们把x+1叫作 x21的一个因式，同理，x1也是 x21 的一个因式 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6u定义：u 像这样，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.概念学习 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f=gh，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式定义：概念学习 一般地，对于两个多项 f 与 x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即x2-1 典例精析例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有()x2y21(xy)(xy)1；x3xx(x21)；(xy)2x22xyy2；x29y2(x3y)(x3y)A1个 B2个 C3个 D4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式典例精析例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有()B在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？辨一辨：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x 8xyx2-1=(x+1)(x-1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式，是整式乘法每个因式必须是整式在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，砖是基本建筑块之一.在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，有了式和式，就容易求出12和30的最大公因数为进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得例如 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁有了式和式，就容易求出12和30的最大公因数为进而很例2 检验下列因式分解是否正确？(1)x2 y-xy 2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1);(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).用什么方法检验因式分解是否正确呢？分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.例2 检验下列因式分解是否正确？(1)x2 y-解：(1)因为xy(x-y)=x2 y-xy 2，所以因式分解 x2 y-xy2=xy(x-y)正确；(2)因为(2x+1)(2x-1)=4x2-1,所以因式分解 2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误；(3)因为(x+1)(x+2)=x2+3x+2，所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.解：(1)因为xy(x-y)=x2 y-xy 2，判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A.x(ab)=axbx B.x21+y2=(x1)(x+1)+y2 C.y21=(y+1)(y1)D.ax+by+c=x(a+b)+c E.2a3b=a22ab F.(x+3)(x3)=x29提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式(2)右边是积的形式.(3)右边的因式全是整式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A.例3 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x2）（x+3），求a，b的值.解：因为x2+ax+b=a（x2）（x+3）=ax2+ax-6a.所以a=1，b=6a=6，典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.例3 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x2）（练一练：把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 解析：由题意可得 x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5 解得n=1，m=，m+n=1+=.练一练：把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）Ax2y2 Bx2+y2Cx2+y2 Dx2y2B练一练 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-x2-y29-25x2x2+2x+1xy-y2(x+1)2y(x-y)(3-5x)(3+5x)(x+y)(x-y)1.连线：当堂练习当堂练习x2-y29-25x2x2+2x+1xy-y2(x+1)2y2.把下列多项式因式分解：3.求4，6，14的最大公因数.4=1226=12314=127最大公因数是2 2.把下列多项式因式分解：3.求4，6，14的最大公因数.44.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)2R+2r=2(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?因式分解整式5.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.解：因为x4+mx3+nx16的最高次数是4，所以可设x4+mx3+nx16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.所以mn=520=1005.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(6.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10 x+9，所以b=9，因此a+b=156.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分aabba ba+ba2 b2=（a+b)（a b）7.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？aabba ba+ba2 b2=（a+b)（冀教版七年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用冀教版七年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用11.2 提公因式法第十一章 因式分解11.2 提公因式法第十一章 因式分解学习目标1.能确定多项式的公因式能确定多项式的公因式.（重、难点）（重、难点）2.能熟练运用提公因式法把多项式因式分解能熟练运用提公因式法把多项式因式分解.(重点）重点）学习目标1.能确定多项式的公因式.（重、难点）导入新课导入新课问题引入问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.a,b,ab导入新课问题引入问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.讲授新课讲授新课确定公因式一相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc一般地，多项例1 找 3x 2 6 xy 的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x 所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1典例精析例1 找 3x 2 6 xy 的公因式.系数：最大u正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂字母最低次幂.要点归纳正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2；练一练xaba写出下列多项式的公因式.练一练xaba提公因式法分解因式二问题：ma+mb+mc=m()ab2-2a2b=ab()(提示，逆用乘法分配律）概念学习逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式写在括号外边，作为积的一个因式，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.a+b+cb-2a 提公因式法分解因式二问题：ma+mb+mc=m(思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).第几位同学的结果是正确的？用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：典例精析(1)8a3b2+12ab3c；例2 把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.典例精析(1)8a3b2+12ab3c；例2 把下列解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2 2a2+4ab2 3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.解：（1）8a3b2+12ab3c如果提出公因式4ab把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正确解：原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)小亮的解法有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+xy-xz分解因式.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)小华的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+xy-xz分解因例3：把下列多项式分解因式：(1)-3x2+6xy-3xz；(2)3a3b+9a2b2-6a2b.解：(1)-3x2+6xy-3xz=(-3x)x+(-3x)(-2y)+(-3x)z =-3x(x-2y+z).方法归纳：用提公因式法分解因式应注意：(1)如果多项式的第一项系数是负数,一般要先提出负因数，保证括号内首项为正.(2)公因式的系数是负号时，提公因式后各项要变号.(2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2ba+3a2b3b-3a2b2 =3a2b(a+3b-2)例3：把下列多项式分解因式：解：(1)-3x2+6xy-3例4：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c).解：2a(b+c)-5(b+c)=(b+c)2a+(b+c)5 =(b+c)(2a-5).方法归纳：公因式可以是数字，字母，单项式，还可以是多项式.例4：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c).解：2a(b例5 计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.(2)原式20.16(29721314)2016.1320260；解：(1)原式31337139113(33791)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便例5 计算：(2)原式20.16(2972131例6 已知ab7，ab4，求a2bab2的值原式ab(ab)4728.解：ab7，ab4，方法总结：含ab，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用ab和ab表示的式子，然后将ab，ab的值整体带入即可.例6 已知ab7，ab4，求a2bab2的值 提公因式法步骤（分两步）：第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.运用提公因式法分解因式常常运用到整体思想，整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.要点归纳 提公因式法步骤（分两步）：注意：公因式既可以是一个单项式的1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）A5mn B5m2n2 C5m2n D 5mn2 2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）Ax+1 B2x Cx+2 Dx+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）Da2b+5ab-b=b（a2+5a）B当堂练习当堂练习 C D1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_；(2)12xyz-9x2y2=_；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_；(4)-x3y3-x2y2-xy=_；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=_.(y-x)(2y-x)5.若若9a2(xy)23a(yx)3M(3axy)，则则M等于等于_.3a(xy)2 4.把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_6.简便计算：(1)1.992+1.990.01;(2)20132+2013-20142;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2013(2013+1)-20142 =20132014-20142=2014(2013-2014)=-2014解：(1)原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；(3)原式=(-2)100(-2+1)=2100(-1)=-2100.6.简便计算：(2)原式=2013(2013+1)-201解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12.(2)原式原式=(2x+1)(2x+1)-(2x-1)=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知已知:2x+y=4,xy=3,求代数式求代数式2x2y+xy2的值的值.(2)化简求值：化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中，其中x=.将x=代入上式，得原式=4.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12系数：各项系数的_.课堂小结课堂小结提公因式法一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的_，简称多项式的公因式.确定公因式字母：各项_的字母相同字母的指数取次数_.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把_写在括号外边，作为积的一个_，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.最大公约数 相同 最低的 分配公因式公因式因式系数：各项系数的_.课堂小结提公因式法一冀教版七年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用冀教版七年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第1课时平方差公式11.3 公式法第十一章 因式分解第1课时 平方差公式 11.3 公式法第十一章 因式分解学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解（难点）学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 导入新课导入新课a米b米米b米米a米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)导入新课a米b米b米a米(a-b)情境引入如图，在边长为a米讲授新课讲授新课用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式)(baba-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法因式分解因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：讲授新课用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.两数是平方，两数是平方，减号在中央减号在中央（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么例1 分解因式：aabb(+)(-)a2 -b2 =解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式ab典例精析例1 分解因式：aabb(+)(-)a2 -b2 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.方法总结 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，练一练 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)4x2-9y2；(2)(3m-1)2-9 (2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32 =(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).解：(1)4x2-9y2 =(2x)2-(3y)2 =(2x+3y)(2x-3y).方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式.练一练 把下列各式分解因式：(2)(3m-1)2-9=(3m分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.分解因式：针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原)(22bababa-+=-2015220142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2=当场编题，考考你！)(22bababa-+=-20152例2 把下列各式分解因式：(1)a3-16a；(2)2ab3-2ab.解：(1)a3-16a =a(a2-16)=a(a+4)(a-4)(2)2ab3-2ab =2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.例2 把下列各式分解因式：解：(1)a3-16a(2)练一练 分解因式：解：(1)原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.ab(a+1)(a-1).练一练 分解因式：解：(1)原式(x2)2-(y2)2 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止方法总结 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式分解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2a2b.针对训练(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)分解因式：针对训练(a2b)(a2b1).5m2(例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立组成二元一次方程组，解得例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y 在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.方法总结 在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的练一练：已知：a2-b2=21,a-b=3，求代数式(a-3b)2的值.解：因为 a-b=3，所以(a+b)(a-b)=21，所以 a+b=7 由 a-b=3和a+b=7解得 a=5,b=2 所以(a-3b)2 =(5-32)2=1.练一练：已知：a2-b2=21,a-b=3，求代数式(a-例4 计算下列各题：(1)1012992；(2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(53.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例4 计算下列各题：解：(1)原式(10199)(101.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29当堂练习当堂练习D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A3(x2+4x+3)B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3)D3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A-21 B21 C-10 D10A1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()当堂练习D4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=_;(2)(a+b)2-(a-b)2=_;(3)9xy3-36x3y=_;(4)-a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_.44.把下列各式分解因式：(4a+3b)(4a-3b)4ab96.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值原式=-405=-200解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，6.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积解：根据题意，得6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636(cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为18.(1)992-1能否被能否被100整除吗？整除吗？解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=10098，所以，(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数为整数,（2n+1)2-25能否被能否被4整除？整除？所以992-1能否被100整除.(2)原式原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)2(n-2)=4(n+3)(n-2).8.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)因为 9课堂小结课堂小结平方差公式分解多项式平方差公式：a2-b2=()()多项式的特征每一项都是整式的_.注意事项有公因式时，应先提出_.进行到每一个多项式都不能再分解为止.公因式 a+ba-b可化为_个整式.两项符号_.两 相反 平方 课堂小结平方差公式分解多项式平方差公式：a2-b2=(冀教版七年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用冀教版七年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第2课时完全平方公式11.3 公式法第十一章 因式分解第2课时 完全平方公式 11.3 公式法第十一章 因式分学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算（难点）进行计算（难点）学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）导入新课导入新课复习引入1.因式分解：因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法提公因式法2.平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)导入新课复习引入1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积讲授新课讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbababababab讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=a aba ab baababb（a+b）2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2 a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把我们把a a+2ab+b+2ab+b和和a a-2ab+b-2ab+b这样的式子叫作完全这样的式子叫作完全平方式平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的2倍 a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的2倍.完全平方式:完全平方式的特点：完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾尾22首首尾尾(首尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.简记口诀：凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完 3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m-6m+9=()-2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x +2 aa 2ba+2b2b对照 a2ab+b=(ab)，填空：mm-33x2 m3 3.a+4ab+4b=()+2(下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4;（2）1+4a;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.下列各式是不是完全平方式？是（2）因为它只有两项；不是（3）例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11 B.9 C.-11 D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为_.解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.8典例精析例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解方法总结 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据例2 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3,24x=24x3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3 +(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号，一中首项有负号，一般先利用添括号法则，般先利用添括号法则，将其变形为将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式然后再利用公式分解因式分解因式.例2 分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)2,解：(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2；=(4x)2+24x3+(3)2 (2)-x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.解：(1)16x2+24x+9 练一练 下把下列各式分解因式：(1)t2+22t+121；(2)m2+n2-mn.(2)m2+n2-mn=m2-2m n+(n)2 =(m-n)2.解：(1)t2+22t+121 =t2+211t+112 =(t+11)2.练一练 下把下列各式分解因式：(2)m2+n2-m例3 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)6+62 =(a+b-6)2.例3 把下列各式分解因式：解:(1)原式=3a（x2+2x练一练：把下列各式分解因式：(1)ax2+2a2x+a3；(2)-x2-y2+2xy；解：(1)ax2+2a2x+a3 =a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.先提出公因式a (2)-x2-y2+2xy =-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.先提出公因式-1练一练：把下列各式分解因式：解：(1)ax2+2a2x+解：(3)(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y)2-2(x+y)2+22 =(x+y-2)2.(4)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2(3m-1)+()2 =(3m-)2(3)(x+y)2-4(x+y)+4；(4)(3m-1)2+(3m-1)+.把(x+y)看成一个整体把(3m-1)看成一个整体解：(3)(x+y)2-4(x+y)+4(3)(x+y)当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；完全平方公式中的a、b，既可以是单项式，也可以是多项式，把多项式看成一个整体即可.方法总结当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等例4 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.解：(1)原式=（10099)(2)原式原式(3416)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.2500.例4 把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（1例5 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值112121.解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.例5 已知x24xy210y290，求x2y2 此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题方法总结 此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数当堂练习当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是()Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是()A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2Cx(4xy4y2x2)Dx(4xy4y2x2)3.若m2n1，则m24mn4n2的值是_BB14.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式，则m的值为_ 4当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是(5.把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解.（1）x212x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2)原式原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解：(1)原式=x22x6+(6)2 =(x6)2;(3)原式原式=(y+1)x =(y+1+x)(y+1x).5.把下列多项式因式分解.(2)原式=2(2a+b)(2)原式原式6.计算：计算：(1)38.92238.948.948.92.解：(1)原式(38.948.9)2100.(2)原式6.计算：(1)38.92238.948.97.分解因式分解因式:(1)4x24x1；(2)小聪和小明的解答过程如下：小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x22x3.(2)原式 (x26x9)(x3)2解:(1)原式(2x)222x11(2x+1)2 小聪小聪:小明小明:7.分解因式:(1)4x24x1；(2)他们做对了吗？若8.(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值；(2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值原式25250.解：(1)原式a22abb2(ab)2.当ab3时，原式329.(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab2，ab5时，8.(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值；原式课堂小结课堂小结完全平方公式分解多项式完全平方公式：a2+2ab+b2=()2 a2-2ab+b2=()2多项式的特征另一项是这两整式的_的_倍.注意事项有公因式时，应先提出_.公因式 a+ba-b可化为_个整式.有两项符号_,能写成两个整式的_的形式.三 相同 平方和 乘积 2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.课堂小结完全平方公式分解多项式完全平方公式：a2+2ab+b冀教版七年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用冀教版七年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用小结与复习第十一章 因式分解小结与复习第十一章 因式分解一、因式分解要点梳理要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫 做多项式的_，也叫将多项式_.2.因式分解的过程和 的过程正好_3.前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者 是把几个整式的_化为一个_.因式分解乘积 分解因式 整式乘法相反多项式 乘积 乘积 一、因式分解要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的_二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的_，简称多项式的_.2.公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的 _；(2)字母：多项式各项 的字母；(3)各字母指数：取次数最_的 公因式公因式最大公约数 相同 最低 二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这3.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把 _写在括号外边，作为积的一个_，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式3.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把 分配公因三、公式法 平方差公式1.因式分解中的平方差公式 a2b2 ；2.多项式的特征：(1)可化为个_整式；(2)两项负号_；(3)每一项都是整式的_.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;(2)进行到每一个多项式都不能再 分解为止.(ab)(ab)两相反平方三、公式法 平方差公式1.因式分解中的平方差公式(a四、公式法 完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2 a2-2ab+b2=()22.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号_,能写成两个 整式的_的形式；(3)另一项是这两整式的_的 _倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_.a+ba-b相同 平方和 乘积 2 公因式 四、公式法 完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab考点一因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练考点讲练不是不是是不是考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是考点二提公因式法分解因式例2 因式分解：(1)8a3b512a2b3c；(2)2a(b2c)+3(b2c)；(3)(ab)(ab)a+b.解：(1)原式 4a2b3(2ab23c)；(2)原式 (2a+3)(b2c)；(3)原式 (ab)(a+b1)方法归纳 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.考点二 提公因式法分解因式例2 因式分解：解：(1)原1.把下列多项式分解因式.针对训练1.把下列多项式分解因式.针对训练例3 计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.考点三利用提公因式法求值解：(1)39371391313371391 13(33791)1320260；(2)2920.167220.161320.1620.1614 20.16(29721314)2016.例3 计算：考点三 利用提公因式法求值解：(1)392.已知a-b7，ab-5，求a2b-ab2的值解：因为a-b7，ab-5，所以原式ab(a-b)-57-35.针对训练方法归纳 原式提取公因式变形后，将ab与ab作为一个整体代入计算即可得出答案2.已知a-b7，ab-5，求a2b-ab2的值解：考点四平方差公式分解因式例4 分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)(2m4n)(4m2n)4(m2n)(2mn)考点四 平方差公式分解因式例4 分解因式：解：(1)原式3.已知x2y21，xy ，求xy的值解：因为 x2y2 (xy)(xy)1，xy ，所以xy2.针对训练3.已知x2y21，xy ，求xy的4.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？4.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面 积的差，而正方形的面积是其边长的平方，则S阴影(1002992)(982972)(2212)100999897215050答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面 考点五完全平方公式分解因式例5 因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.解：(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式(a24)2(4a)2 (a244a)(a244a)(a2)2(a2)2.考点五 完全平方公式分解因式例5 因式分解：解：(1)5.已知ab5，ab10，求 a3ba2b2 ab3的值解：a3ba2b21/2ab3 ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab5，ab10时，原式 1052125.5.已知ab5，ab10，求 a3ba2b2因式分解定义提公因式法公 式 法平方差公式完全平方公式课堂小结课堂小结因式分解定义提公因式法公式法平方差公式完全平方公式课堂小结课堂小结课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_.其中，每个整式叫做这个多项式的_.与多项式乘法运算的关系 的变形过程.前者是把一个多项式化为几个整式的_.，后者是把几个整式的_化为一个_.积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的
展开阅读全文