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电大复习资料三、计算题（每小题 11 分，共 44 分）1.计算极限 1)sin(lm2x解： i1x2.设 ，求 yecoly解： xsi3.计算不定积分 d21解：由换元积分法得 cuxx ed)1(ec14.计算定积分 edln解：由分部积分法得 e11 )(lnxxe1.计算极限 :4)2si(lmx2.设 ，求 :yen2yxesico23.设 ，求 :six24.设 是由方程 确定的函数，求 ()3lydyyd3125.计算不定积分 :xcosc1in6.计算定积分 :e1l94e23已知 ，求 )(f )(,)(xff, ,42x02计算极限 : 5sin6talm计算极限 : 21xx3计算极限 : )(li4设 ，求 :2syy3ln2si1cox设 ，求 :3inldt设 是由方程 确定的函数，求 x()xedyycose2计算不定积分 : icos2计算不定积分 :xd)ln1(l计算不定积分 :e21计算不定积分 :xlcl计算定积分 :102d)e(42计算定积分 :eln193计算定积分 :1x1.计算极限 x5sin6lm0解： 56sinlmi0xx2.设 ，求 2sinyxy解：由导数四则运算法则得 424 2silcos)(i)( xxx 31nlcosx3.设 ，求 解： yein2 )esin(esixxxy4.设 是由方程 确定的函数，求 ()d解：等式两端求微分得左端 xco)(dcosyydcoi右端 y由此得 xesi整理后得 yen5.计算不定积分 xd3co解：由分部积分法得 xd3sin1is cx3os91i6.计算定积分 e1ln2x解：由换元积分法得 32e1)l(l2du532u1.计算极限 解：486lim4xx 3)1(4lim86li2xxx2.设 ，求 yncos2dy解：由微分运算法则得 ln()cos(l)l(ld212x xxdi2xlta3.计算不定积分 cos解：由换元积分法得 cxxsin2)d(4.计算定积分 e1ln解：由分部积分法得 e122)(ll4de12x四、应用题（本题 16 分）1.某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其表面积为rhrVhrS22由 ，得唯一驻点 ，由实际问题可知，当 时可使用料最省，此时 ，即0S3r334h当容器的底半径与高分别为 与 时，用料最省2V42.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？当底半径 ，高 时，圆柱体的体积最大lr36h电大复习资料求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2)0,2(A和 ),1(圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 底半径 ，高r36h某厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？底半径 ，高 3欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 底边长 ，高5x.2圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高 与底半径 满足 hr 2lrh圆柱体的体积公式为 V将 代入得22lrl)(求导得)3()(222hllV令 得 ，并由此解出 即当底半径 ，高 时，圆柱体的体积最大0lh3lr6lr3h求曲线 yx2上的点，使其到点 A(,)0的距离最短解：曲线 上的点到点 的距离公式为 2)(yxd与 在同一点取到最大值，为计算方便求 的最大值点，将 代入得d2令 求导得 D2)3( 13D令 得 并由此解出 ，即曲线 yx2上的点0)(25x10y和点 到点 A(,)的距离最短1,五、证明题（本题 4 分）当 时，证明不等式 xxarctn证明：设 ，则有F)(21)(xF当 时， ，故 单调增加，所以当 时有 ，0 00)(F即不等式 成立，证毕rtl
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