九年级数学上册 专题突破讲练 四点共圆问题大盘点试题 （新版）青岛版.doc

四点共圆问题大盘点1. 四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。2. 四点共圆常用的判定方法：判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。 如果：ABD和BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 如果：A、D在公共边BC同侧，且A=D，则A、B、C、D四点共圆。判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。 如果：1+2=180或1=3，则A、B、C、D四点共圆。判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PAPC=PBPD，则A、B、C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）例题 （郑州模拟）如图，在正ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F。（1）求证：A、E、F、D四点共圆；（2）若正ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。解析：（1）依题意，可证得BADCBE，从而得到ADB=BECADF+AEF=180，即可证得A，E，F，D四点共圆；（2）取AE的中点G，连接GD，可证得AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。答案：（1）证明：AE=AB，BE=AB，在正ABC中，AD=AC，AD=BE，又AB=BC，BAD=CBE，BADCBE，ADB=BEC，即ADF+AEF=180，所以A，E，F，D四点共圆。 （2）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，AE=AB，AG=GE=AB=，AD=AC=，DAE=60，AB=ACAGD为正三角形，GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为。点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。【方法定位】将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。例题 （河南模拟）如图：AB是O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作O的切线，切点为H。（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=6，GE=4，求EF的长。解析：（1）连接DB，利用AB是O的直径，可得ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又同弧所对的圆周角相等可得ACD=ABD，进而得到ACD=AFE即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的切线，利用切割线定理可得GH2=GCGD，进而得到GH2=GEGF。即可答案：证明：（1）连接DB，AB是O的直径，ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又ABD=ACD，ACD=AFE。C，D，E，F四点共圆；（2）C，D，E，F四点共圆，GEGF=GCGD。GH是O的切线，GH2=GCGD，GH2=GEGF。又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。EF=GFGE=94=5。点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。（答题时间：30分钟）一、选择题 1. 锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（） A. 4组 B. 5组C. 6组D. 7组2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。当ACBD时，M、E、N、F四点共圆。当AC=BD且ACBD时，M、E、N、F四点共圆。其中正确的是（）A. B. C. D. 3. 如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为100、40，则P的度数为（）A. 40B. 35 C. 60D. 304. （高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，CM切O于点C，BCM=60，则B的正切值是（） A. B. C. D. 5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x24x+m）（x24x+n）=0的根，则二次函数y=x2+bx+1的最小值为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 如图，在ABC中，AD，BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则ODE的内切圆半径为 。7. （济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76，则CBD=度。8. 已知ABC的中线AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四点共圆，则CK= 。*9. 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆。若DB=BE=EA，则过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 。三、解答题10. （太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。ADDC，D为垂足。（1）求证：A、D、F、B四点共圆；（2）求证：EF=FB。*11. （贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，ADOP于D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点。（1）证明：O、D、B、C四点共圆。（2）设OPC=30，ODC=40，求DBC的大小。*12. （长春模拟）如图，在ABC中，C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。（1）求证：E、H、M、K四点共圆；（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。一、选择题1. C 解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组。故选C。2. C 解析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，EMBDNF，ENACMF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，四边形ENFM是平行四边形，当AC=BD时，则有EM=EN，所以平行四边形ENFM是菱形，而菱形的四个顶点不一定共圆，故不一定正确；当ACBD时，由EMBD，ENAC可得：EMEN，即MEN=90，所以平行四边形ENFM是矩形，则有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四点共圆，故正确；当AC=BD且ACBD时，同理可得：四边形ENFM是正方形。则有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四点共圆，故正确。故选C。3. D解：连接BD，=100，ADB=100=50，又=40，B=20，在DBP中，P=ADBB=5020=30。故选D。4. B解：连接BD，AB是直径，则ADB=90，CDB=BCM=60，CDA=CDB+ADB=150，CBA=180CDA=30，tanABC=tan30=，故选B。5. C解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。所以由（x24x+m）（x24x+n）=0可知，该抛物线的对称轴为x=2。则b=4。所以最小值为。二、填空题6. 解：作OFED于点F，AD，BE分别是A，B的角平分线，AOB=90+C，CO平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，90+CC=180在AB上截取AM=AE，可得AOEAOMOE=OM，DOE=120，EOA=AOM=DOB=BOM =60，BOMBODOD=OM，OD=OE，OED=ODE=30，FD=，tan30=，FO=，OD=OE=，ODE的周长为：2+3，ODE的面积为：3=，ODE的内切圆半径为，故答案为：。7. 解：AB=AC=AD，点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，CBD是弧CD所对的圆周角，CAD是弧CD所对的圆心角；CAD=76，CBD=CAD=76=38。8. 解：作ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则K，D，C，E四点共圆，DEBABHC=BAC=DEC=DKC，AKHB，D为BC的中点点K是CH的中点，即CK=KH，又K是重心，FK=HF=CF，由相交弦定理，得BFFA=CFFH，=CF2，CF=，CK=1，故答案为1。9. 解：如图所示，连接EF。DC是ABC的外接圆的切线，DCB=EAF，BCAE=DCAF，BCDFAE，CBD=AFE，B、E、F、C四点共圆，AFE=CBE，CBD=CBE，又CBD+CBE=180，CBE=90，AC是ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1，由切割线定理可得：DC2=DBDA=13，在DCE中，由DB=BE，CBDE。CE=DC=，在RtCBE中，BC2=CE2BE2=，在RtABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值=。故答案为。三、解答题10. 证明：（1）FB是半圆O的切线，ABF=90，又ADDC，ADF=90，A，D，F，B四点共圆。（2）解：连接BC，则BCAC，DF是半圆的切线，DCA=ABC，DCA=ECF，ECF=ABC，在RtABE中，BCAE，ABC=E，ECF=E，EF=FC，FC，FB是半圆的切线，FC=FB，EF=FB。11. 解：（1）证明：AP是圆O的切线，A是切点，OAAP，ADOP，AP2=PDPO，AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线，AP2=PBPC，PDPO=PBPC，DPB=CPO，DPBCPO，PDB=PCO，O，D，B，C四点共圆；（2）解：连接OB，则OBC=ODC=40，OCB=40，O，D，B，C四点共圆，PDB=OCB=40，DBC=30+40=70。12. （1）证明：连接CH，AC=AH，AK=AE，四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C，H，E，K四点共圆， 同理C，E，H，M四点共圆，即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上。 （2）解：连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，CEHM为等腰梯形，EM=HC，故MKE=CEH，由KE=EH可得KME=ECH，故MKECEH，即KM=EC=3。