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课时训练(二十六)正方形及中点四边形(限时:30分钟)|夯实基础|1.xx广安 下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中说法正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.12.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了()A.1次 B.2次 C.3次 D.4次3.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4.xx河北 如图K26-1是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是()图K26-1图K26-25.xx黔东南州 如图K26-3,正方形ABCD中,E为AB中点,FEAB,AF=2AE,FC交BD于点O,则DOC的度数为()图K26-3A.60 B.67.5C.75 D.546.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:AB=BC;ABC=90;AC=BD;ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD成为正方形(如图K26-4),现有下列四种选法,你认为错误的是()图K26-4A. B. C. D.7.xx黄冈 已知:如图K26-5,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=度.图K26-58.xx大庆 如图K26-6,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在AB上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为5,则正方形的边长为.图K26-69.xx深圳 如图K26-7,四边形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.图K26-710.xx武汉 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则BEC的度数是.11.xx义乌 如图K26-8为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GECD,GFBC,AD=1500 m,小敏行走的路线为BAGE,小聪行走的路线为BADEF,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为m.图K26-812.xx舟山 如图K26-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且CEF=45.求证:矩形ABCD是正方形.图K26-913.如图K26-10,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.图K26-10|拓展提升|14.xx烟台 【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图K26-11,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将PBC绕点B逆时针旋转90,得到BPA,连接PP,求出APB的度数;思路二:将APB绕点B顺时针旋转90,得到CPB,连接PP,求出APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求APB的度数.图K26-11参考答案1.C解析 正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故错误;正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B3.D解析 如图,四边形EFGH是矩形,且E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得:EHFGBD,EFACHG.四边形EFGH是矩形,即EFFG,ACBD.4.A解析 选项A不正确.理由:正方形的边长为10,所以对角线=10214,因为1514,所以这个图形不可能存在.故选A.5.A解析 连接BF,E为AB中点,FEAB,EF垂直平分AB,AF=BF.AF=2AE,AF=AB,AF=BF=AB,ABF为等边三角形,FBA=60,BF=BC,FCB=BFC=15,四边形ABCD为正方形,DBC=45,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得DOC=15+45=60.6.B解析 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.是菱形的特征;是矩形的特征;是矩形的特征,是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故选B.7.45解析 由题意得,AB=AE,BAD=90,DAE=AED=60,所以BAE=150,AEB=15.所以BED=AED-AEB=60-15=45.8.2解析 连接OP,设正方形的边长为a(a0),则ON=a2,PN=a,在RtOPN中,ON2+PN2=OP2,即a22+a2=(5)2,解得a=2.9.8解析 四边形ACDF是正方形,AC=AF,CAF=90,CAE+BAF=90,又CAE+ECA=90,ECA=BAF,则在ACE和FAB中,AEC=ABF=90,ECA=BAF,AC=AF,ACEFAB(AAS),AB=CE=4,阴影部分的面积=12ABCE=1244=8.10.30或150解析 如图,ADE是等边三角形,DE=DA,DEA=1=60.四边形ABCD是正方形,DC=DA,2=90.CDE=150,DE=DC,3=12(180-150)=15.同理可求得4=15.BEC=30.如图,ADE是等边三角形,DE=DA,1=2=60,四边形ABCD是正方形,DC=DA,CDA=90.DE=DC,3=30,4=12(180-30)=75.同理可求得5=75.BEC=360245=150.故答案为30或150.11.4600解析 连接GC,由四边形ABCD为正方形可得ADGCDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因为小敏行走的路线为BAGE,所以BA+AG+GE=3100 m.因为小聪行走的路线为BADEF,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).12.证明:四边形ABCD是矩形,B=D=C=90,AEF是等边三角形,AE=AF,AEF=AFE=60,CEF=45,CFE=CEF=45,AFD=AEB=180-45-60=75,ABEADF,AB=AD,矩形ABCD是正方形.13.证明:取AB的中点H,连接EH.AEF=90,2+AEB=90,四边形ABCD是正方形,1+AEB=90,1=2,E是BC的中点,H是AB的中点,BH=BE,AH=CE,BHE=45,CF是DCG的平分线,FCG=45,AHE=ECF=135,在AHE和ECF中,1=2,AH=EC,AHE=ECF,AHEECF(ASA),AE=EF.14.解析 将PBC绕点B逆时针旋转90得到PBA,连接PP,得到等腰直角三角形BPP,从而得到PP=22,BPP=45,又AP=CP=3,AP=1,AP2+PP2=1+8=9=PA2,根据勾股定理的逆定理得APP=90,从而求出APB=45+90=135.将PBC绕点B逆时针旋转90,得到PBA,连接PP,方法和上述类似,求出APB=45.解:【问题解决】如图,将PBC绕点B逆时针旋转90,得到PBA,连接PP.PB=PB=2,PBP=90,PP=22,BPP=45.又AP=CP=3,AP=1,AP2+PP2=1+8=9=PA2,APP=90,APB=45+90=135.【类比探究】如图,将PBC绕点B逆时针旋转90,得到PBA,连接PP.PB=PB=1,PBP=90,PP=2,BPP=45.又AP=CP=11,AP=3,AP2+PP2=9+2=11=PA2,APP=90,APB=90-45=45.
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