2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第17章 几何不等式与极值问题试题 新人教版.doc

2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第17章 几何不等式与极值问题试题 新人教版17.1.1一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求的最大值解析考虑这个凸行边形的个外角，有个角，故有（严格小于是由于4个钝角的外角和大于），因此，的最大值是7易构造这样的例子。如果恰好有个钝角，则的最大值是.17.1.2在中，为边的高上的一点，求证：.解析易知，又，故有评注读者不妨考虑是角平分线与中线的情况17.1.3已知四边形，、交于，和的面积分别为3、12，求四边形面积的最小值解析易知，故.从而，且当（此时四边形为一梯形）时等号成立，所以此时四边形面积达到最小值27.17.1.4已知：直角三角形中，斜边上的高（1）求证：；（2）求.解析，由条件，知，且，于是.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5设矩形，动点、分别在、上，且，求面积的最小值解析设，则。由。故.当时达到最小值17.1.6设是定角内一定点，过作动直线交两边于、，求证：面积最小时，为的中点解析如图，连结，设，由，得。又左式，故。达到最小值时，须，故为之中点.17.1.7正三角形的边长为1，、分别在、上，求的最大面积。解析如图，设，则，。，于是问题变为求的最小值，展开后约去，即求的最大值由不等式知，当时，此时的面积达到最大值。.17.1.8设是边长为l的正三角形，过顶点引直线，顶点、到的距离记为、，求的最大值解析如图，若穿过，则由“直角边小于斜边”知，取到等号时仅当.若不经过，取中点，作，在上，则，取到等号仅当.综上所述，的最大值为。17.1.9在数1、中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？解析此题可分类讨论。显然1不可能为边由于，故，中任三数可构成三角形的三边，一共有组。当最大边为时，次大边只能为，最小边为或，有2组。当最大边为时，次大边为或次大边为时，最小边，故可取；次大边为时，最小边，可取与共有8组当最大边为时，次大边为、次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取和。共有11组。综上所述，总共有41组17.1.10设，、是上的两个定点，是上的一个动点，问当在什么位置时，最小？解析如图，设，不妨设。则，故。显然当时，最小。评注容易验证，此时为的中点在上的射影。17.1.11设直角中，求证：.解析如图，作关于的对称点，连结、，则.取等号仅当为等腰直角三角形。17.1.12是的边上一点，为的内心，是的内心，是的中点，求证：.解析如图，连结、，则，又，故，于是结论成立。评注三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论17.1.13已知凸六边形中，求证：.解析如图，作、，于是出现三组全等三角形。这样便有，即.同理有.评注不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）另外，用这种方法还能证明.17.1.14已知矩形，是上一点，、延长后交于，直线垂直于，交于，若为中点，求.又条件同上，若的长度不固定，求的最小值解析如图，设，由，得，代入得。又，得，。由，得，或，解得。若长度不固定，设其为，故由得，或，由得。可取的最小值是，此时为中点。17.1.15设为的内心，是内部的一点，满足.求证：，并说明等号成立的充分必要条件是.解析易知，因此.故、四点共圆，即点在的外接圆上。记的外接圆为，则的中心为的的中点，即为的平分线与的交点。在中，有，故.等号成立的充分必要条件是点位于线段上，即.17.1.16延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值解析如图，标好各角，则，故总有一角，当为正三角形，、时最小角达到最大值17.1.17凸四边形中，点、分别是、的中点，若，求证：。解析如图，连结、，易知又，因此，即17.1.18 在三角形中，是平面上任意一点，求的最小值解析 因为下面来求延长至，使得，连结，则，所以，故，所以，即，故所以，所求的最小值为17.1.19 在锐角三角形中，求证：解析 当时，显然有下面不妨设在上取点，使作角平分线、高，则垂直平分又作于，与交于，则17.1.20 中，点为之中点，点、分别在、上，求证：解析 如图，连结、，则由，得而，故于是结论成立17.1.21 设、为三角形三边长，则对任意实数、，有解析 设，则，原式它的判别式于是17.1.22 已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全等）解析 设，则总材料为（为常数），面积为于是，代入，得这个二次函数在时取到极大值，此时、均有实际意义取得窗的最大面积为17.1.23 和都是边长为1的正方形，且两个正方形重叠部分的面积为，求两个正方形中心距离的最小值解析 如图，设的中心为，的中心为，过、分别作，、交于又设两正方形重叠部分为矩形，则，同理，所以所以，当，时等号成立故所求的最小值为17.1.24 在锐角的边、上各有一动点、，求证：的周长达到最小当且仅当、为的三条高解析 如图，设关于、的对称点分别为、，与交于，与交于，则的周长这里为的高，为的外接圆半径又由对称性，除了外，、也分别必须垂直于、时方能达到17.1.25 直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值解析 设该直角三角形直角边长为、，则易知其内切圆半径为，整理，得，或，此即由于每条直角边均大于内切圆直径2，故，于是，直角三角形最小面积为，此时该三角形为等腰直角三角形17.1.26 梯形高为，上底，对角线交于，求用、表示与面积之和的最小值解析 如图，作与、垂直，垂足分别是、设，则，解得，于是设，则有解，故，即，即，的最小值为，故最小面积为此时17.1.27 设是的边的中点，、分别在边、上，试比较与的大小关系解析 如图，延长至使，由，知，故又垂直平分，故，易见，所以17.1.28 一凸六边形每条边长均为1，求证：、中至少有一个解析 如图，由于，不妨设，作菱形，则，则是最小边，又，故17.1.29 在正内，是一动点，求以在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值解析 如图，内一点在、的射影分别为、，则由熟知的不等式，及为常数（的高），得等式成立，仅当，此时为的中心17.1.30 证明：四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时解析 如图，设中点为，由中线长公式知，又由基本不等式，有，故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式等号成立时、共线，且为中点，即、互相平分，于是四边形为一平行四边形评注 又由托勒密不等式，知有，等号成立仅当四边形为矩形17.1.31 设面积为1的锐角三条边分别是、，动点在上，在上的射影是，求面积的最大值（用、表示）解析 如图，作于因为（常数），于是当，即或时，可为中点，此时，从而可得最大值为当，即时，当落在上，达到最小，达到最大此时的最大值为17.1.32 设为定线段上一定点，为动点，的长度固定，求之最大值解析 由斯图沃特定理，注意等式右端为定值又由柯西不等式（或展开后移项配方）有，故，于是的最大值是，此时，为的平分线17.1.33 直角三角形的直角顶点在直角三角形的斜边上，而在的斜边上，如、分别等于10、15、12、12，求凸四边形之面积的最大值解析 如图，由四边形面积公式，知取等号须，此时若将点位于中点，则由、的值易知在平分线上，垂直平分，垂直平分，进而由、之值可知在上，满足要求所以的最大值为17.1.34 凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积解析 设凸四边形内有一点，2，3，4，则等号成立，必须，比如，且、共线，、共线，此时，取最大值17.1.35 面积为1的三角形中，三条边长、满足，求的最小值解析 如图，过作直线，又作于，延长一倍至，连结则这里显然有，于是仅当、共线，即，且时取等号，此时为等腰直角三角形17.1.36 三角形两边长分别等于10和15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于12解析 如图，不妨设，为角平分线今在上取一点，使，则易知，故，又由知，于是显然12是最佳上界17.1.37 正三角形边长为1，、分别在、上（含顶点），求的最大周长和最小周长解析 如图，易知由等知的周长，达到最大值时、分别落在的三个顶点上又作的平分线，、分别与垂直于、，由于，故，取等号时，且、是、的中点，同理有，故的周长，取等号仅当、为各边之中点时17.1.38 已知面积为的梯形满足，为边上一点，且满足，直线、交出的三角形面积为当最大时，求解析 如图，设与交于，与交于，则设，即，又设，则，解出，即于是要达到最大，即达最大，其中令，则，仅当时达到最大，此时17.1.39 已知的边、上分别有点、，在上，求证：，并求等号成立的条件解析 如图，连结、设，则同理于是开方即得结论取等号时，即是中位线，为中点17.1.40 已知中，于，的平分线交于，交于，是的中点，连结，设、的周长分别为、求的最大值解析 易知，可得，则平分，而，所以，可推得因此，设，因为，所以因此，所以，当，即时，有最大值17.1.41 、是的中线，且，设，（1）求之长（用、表示）；（2）若存在，求的范围解析 （1）设交于，则为的重心，故，设，因、为直角三角形，于是有：由+得，由得，即（2）如果存在，则，于是有：从而不等式恒成立；由不等式得：，解之得：由于，结合不等式的解，得：所以，当时，存在17.1.42 中，点、分别在、上，求证：，并求等号成立的条件解析 如图，易知，仅当为中点时取等号，同理，于是记，则所以，取等号时仅当、为各边中点17.1.43 已知：锐角中，角平分线、中线、高交于一点，证明：解析 如图，若，则由于，得，故，作边上的中线，交于，易知在内，于是，故在直角三角形中，矛盾，于是17.1.44 证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形，等号成立仅当、共圆解析 如图，今在或延长线上取一点，在或延长线上取一点，使，连结、易知，故，同理，又，故由于，上几式代入，得，去分母，即得托勒密不等式等式成立的条件是、共线，此时，即、共圆17.1.45 边长为1的正方形内部或边界上有个点，则必有两点距离，解析 如图，先说明一个结果：中为角平分线，是的反向延长，则由，得，先考虑的情形，假定、三点在正方形（边长1）内或边上若在内，则可用角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为，这样的每边都不小于的相应边于是、三点最终都被“调”到正方形的边或顶点上再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点不妨设落在的位置，若在或上，则，于是由对称性，可设在上，而在上如图若，则，同理，综上所述结论成立以下讨论的情形由于正方形内或边上最远两点距离是正方形对角线长度，故正方形（边长1）中四点、中任两点距离如四点构成凸四边形，不妨设，则，所以、中有一个如四点中位于内或边上，不妨设，同理得17.1.46 设三边长分别为、，、分别在、上，且平分的面积，求的最值（用、表示）解析 如图，设、为中线设，则由，有又由余弦定理，因为常数，故的大小取决于由于为常数，故是的增函数当取最大值，需最大或最小，最大为（这时取最小值），最小为（这时取最大值）因此的最大值是、中短边上的中线比如当时，的最大值为记，若，则可取到，于是当时，的最小值为当或时，比如时，总不会小于，此时时，最小，就是，即为、中长边上的中线，所以在的前提下，最小值是时可以类推17.1.47 在中，、分别为、的中点，为斜边的高的垂足，是的中点设为上的任一点，求证：取最大的角便是解析 连结，则为斜边上的中线，故、分别为、中点，故，所以，从而又，故于是有，延长至，使，连结，易知从而结合知为线段的垂直平分线设为上任一异于的点，则，且易知（若在的左边，在的右边，则）从而，在与中，与为对顶角，于是有：（等号当且仅当点与点重合时取到）这就证明了取最大角时便是17.1.48 设四边形四边依次为、，则其面积不大于，其中取到最大值时，仅当四边形内接于圆解析 如图，连结、，交于，则由四边形的余弦定理（见题13.1.7），得，又，两式平方后相加，得，即由托勒密不等式（参见题17144），有，故.由托勒密定理知，仅当内接于圆时，面积取最大值.17.1.49中，、分别是边、上的点，且如果、的周长依次为、，求证：.解析因为，所以，；又，所以，设，由得，这样，由，可得.当，即时，等号成立17150为内一点，过引三条边的平行线，、，为各边上的点（如图），记为六边形的面积，为的面积证明：.解析可以从、，的面积与的面积关系入手设，.易知，所以，由此可得.由柯西不等式知：，从而.而四边形、均为平行四边形，所以，即.17.1.51直角三角形中，、分别在、上，求的最小值解析如图，猜想最小值是当为正三角形时取到为求此值，不妨设图中的为正三角形作，在上当在上时，故、，至等距，在上亦然于是，而显见，故.当时，达最小值若能证明对一般的动点、，有，问题就解决了用反证法，假定，.设的费马点为（图中未画出），则，设，则由余弦定理，知-，得，-，得，故，代入得，于是，代入上式得，于是，矛盾！因此的最小值为.评注实为费马点的等角共扼点的垂足三角形其实也等于，为向外作的正三角形17.1.52证明：若、能构成三角形的三边长，则、也能又若、构成锐角三角形三边长，则、呢?解析 不妨设0，问题归结为：若，则证明如下：当、构成锐角三角形时，、也构成锐角三角形，证明如下(仍设0)：由于，下证即可，此等价于，由于，又，两式相加即得结论17.1.53点、分别在、上，若分别记、为、，证明：，当且仅当、共点时等号成立解析 设，则，所以又有 ，故 ，于是命题得证仅当时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有、共点17.1.54已知定角内有一定点，动直线过，交两边于、，求之最小值(假定，)解析 如图，由面积得，即，此式可化为用柯西不等式(或展开后用平均不等式)，可得，故的最小值为等号成立，仅当其与联立，可解得，又作，与交于，则，这样的、的确存在17.1.55已知锐角三角形，、分别是、上的动点，求证：达到最小时，满足、，及等价的，此处为重心，并用三边及面积表示这个最小值解析 如图，先设、固定，为中点，则当达最小时，应有，如对三边作处理，便有、，此时，故，同理此值为，此即下证此时的确实达到三边之平方和最小先求此值，设，则又，同理有另两式，加之，得下证对于一般的，有找到重心，由中线长，易知有评注 这里用到柯西不等式，不难得出等号成立之条件此题还包含了另一个问题：三角形内求一点至三边距离平方和最小17.1.56已知，、分别在、上，、交于，记、的面积分别是、，求的最小值(假定、已知，用、表示之)解析 如图，若设，则由简单的比例知，又，故最小值为，达到此值时，即17.1.57已知三边分别为、，其中、确定，为中点，求的最大值(不固定，用、表示)解析 易知，(延长一倍至并连即知)于是，下证此式这等价于，这可由及推出，故的最大值为，仅当或时成立17.1.58(费马光行最速原理)光线由到，在介质分界面上折射设为上一点，直线、与所夹锐角分别为、，又设是上另一点求证：当、(光线在两种不同介质中的速度)满足时必有解析 作点关于直线的对称点，则有，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，且与分别交于、在中，由正弦定理，得，故 ，即，得17.1.59内(或边界上)有一点，求的最大值(用、表示，需分情况讨论)解析 易知如图，延长至，使，则，且、共圆，于是四边形为等腰梯形，因此问题归结为求的最大值当然是希望，这样下面来研究的可取范围，设由于，因此在中，由等腰三角形知(见题9.2.3)，即因为，故左式1，总有解，下面讨论之(1)当时，可取，此时的最大面积正是；(2)当时，取，则，得最大值为17.1.60已知：定角，内有一定点，平分，过作一动直线交两边于、(、)，过、分别作、的垂线交于求四边形面积的最大值，并刻画此时的位置解析 不妨设，作于，则，同理由正弦定理，或，故，又，故下面求出与之间的关系由，得，不妨设，于是由此得，又于是当时，达到最大值(一般情况下当时达到最大值)，此时17.1.61的边内有一点，又在上找一点，使(比靠近)，过任作一直线，交于，交的延长线于，求证：解析1 如图()，连结、，显然、均为锐角由梅氏定理，有，于是欲证结论变成求证，或作于，连结、，注意左边为于是结论成立解析2 如图()，作、与垂直，垂足为、由梅氏定理知，用及代入，得，或，如图()所示，此即，于是17.1.62已知非钝角三角形，上的一些点，以中(包括边界和内部)的为最远，这些点构成的线段长为，同理定义、，求证：，其中，解析 不妨设首先证明一个结果：设为内部或边界上任一点，则中离最远的点是的顶点为证明这一点，只需连结、，不妨设任一点在内，如图()，延长与交于，或，故，结论成立于是对内任一点，只要比较它与、的距离即可如图()，由，作、的中垂线、，其中、分别是三边中点，、在上，在上易知，于是由于边上的高不在外，故，同理，于是有考虑到，有，于是结论成立