2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第7章 三角函数试题新人教版.doc

2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第7章 三角函数试题新人教版711比较下列各组三角函数值的大小：（1）与；（2）与；（3），和解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将化，再与比大小因为，而，所以（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小，再将，分别与，比大小因为，所以，所以（3），显然，均小于1，而，均大于1再分别比较与，以及与的大小即可因为，所以因为，所以，所以评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如，的三角函数值712化简求值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若求的值解析（1）原式=（2）原式（3）原式（4）原式=（5）原式评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据713试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦解析在锐角三角形里，显然有，所以有由于在范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道同理可以证明其他的五组714下列四个数中哪个最大：A BC D解析显然，0cos481因此有：，所以最大715设为锐角，且满足，求解析我们将代入，得到，并且是锐角，因此所以因此716在中，证明：是锐角，并计算的值解析若，则，于是，矛盾为计算，必须构造出一个以为其一锐角的直角三角形如图，过作交于，使，则又=所以，作于，则，故717已知，求的值解析由两边平方得又，所以，得评注（1）当已知与之间和或差的值时，常常考虑运用转化问题（2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知，求的值这里用三角函数式、来替代、，变化了一下问题的形式因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的718已知为实数，且、是关于的方程的两根求的值解析由根与系数的关系知则有719设、是一个直角三角形的两个锐角，满足求及的值解析由于，故由互余关系得因此条件即为，将上式平方，得，由正、余弦的平方关系，即有，所以，因、均为正数，故因此由上式得，由、得，故评注本题也可如下解答：由得，两边平方，得，因，代入上式并整理，得，解得因，故只有由此及得7110若存在实数和，使得求实数的所有可能值解析把两式相加，得，解得，或（舍去）当时，满足方程故7111已知关于的一元二次方程的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数的值解析设方程的两个实根、分别是直角三角形的锐角、的正弦则，又，所以化简得，解得或23检验，当时，；当时，所以评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和列方程求解要注意最后检验方程有无实数根7112已知方程的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求解析根据韦达定理，有并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有于是有解得7113若直角三角形中的两个锐角、的正弦是方程的两个根；（1）那么，实数、应满足哪些条件？（2）如果、满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角、的正弦？解析（1）设、是某个直角三角形两个锐角，、是方程的两个根，则有由韦达定理，,又，于是，由于所以，所以，即由得，则故所求条件是，（2）设条件成立，则，故方程有两个实根：，由知，又，所以，故又，故所以，、为直角三角形两个锐角的正弦评注一般地，有，即在中，7114已知方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求的值解析设题中所述的两个锐角为及，由题设得因为，故式两边平方，并利用恒等式，得再由得，解得由，及知所以7115不查表，求的四种三角函数值解析、这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出同样，角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出如图所示在中，延长到，使，则设，则，所以，所以所以，评注将角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法根据互余三角函数关系式，我们很容易得到角的四种三角函数值7116求角的正切值（不查表，不借助计算器）解析，所以设法构造一个含角的直角三角形，用定义求值如图，中，延长到，使，则设，有，故7117求的值解析构造一个顶角为的等腰，如图，作内角平分线则，设，由于，故，而（），故，故，有（舍去）再作于H，则，所以评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为的圆内接正十边形的边长7118已知直角三角形中，求证：解析因为，所以从而又，所以，即7119在中，、分别是角、的对边，且，求解析依题意，可将边转化为角 设，则，于是题中条件化为令上述比值为，那么，所以有，从而得7120若为三角形的最小内角，试求关于的方程的所有实根解析原方程显然有根，再求方程的实根为三角形最小内角，则，所以方程可整理变形为，令，由知恒大于零，即不存在使方程成立的实数故原方程仅有一个实根7121已知函数对于任意实数都有，且是三角形的一个内角，求的取值范围解析由于方程没有实数根，并根据，可以得到因此或由于，所以7122已知、是钝角，求证：（1）关于的方程有两个不相等的实根；（2）若是方程的根，则也是方程的根解析（1）因是钝角，故，于是，所以，方程有两个不相等的实根（2）设是方程的另一根，则由韦达定理，得，由于，故由、两式得所以，即也是的根7123已知，对于任意实数，都有，且是三角形的一个内角，求的取值范围解析因对任意实数，二次函数y恒大于0，所以，并且，所以，整理得因，故,所以7124若、为实数，为锐角，求证：的绝对值不大于1解析由，得，即，加一项减一项，得即，因为，所以，故7125已知，求证：（1）；（2）；（3）解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明作，使，作于，于由得射线与线段相交，设交于，则，所以在的延长线上，所以在的延长线上，得又，所以因为，所以，7126已知，求证：解析1构造，如图，则，（1）由+，得；（2）作高，中线，则，（以中线，高线重合为面积最大）而，所以有，即又，所以由（1），（2）知，解析2又由，得，故有，由，知评注解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论7127证明：对于任何实数、，有解析因为对于任意、，都有，所以而函数在上的值是随着的增加而增加的，故7128若，试证明不能介于及之间解析假设，则有由题意知，则，即，又，从而，即，所以假设不成立，即命题成立7129设，且，求证：解析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂根据已知条件，联想到，因此可设，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些设，则评注在一些代数等式的证明中，如果已知条件或，则可设或从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便72解直角三角形721如图，在直角三角形中，是的平分线，且，求的三边长解析由角平分线想到对称性，考虑过作，交于，则由得在直角三角形中，则，所以，故的三边长分别为、，722在中（如图），、是斜边的三等分点，已知，试求的长解析作于，于；于，于令，则，在和中，由勾股定理，得，及，两式相加得，所以723如图，中，是的平分线，求点到直线的距离解析已知中，要求，可求出的正弦值，而，因而可先求出的长作于，有，设，由三角形内角平分线性质有，则中，即，得，故724已知是非等腰直角三角形，在所在直线上取两点、使，连结、已知求的值解析如图，过、两点作、分别交、于、易知，从而，因为，则725设有一张矩形纸片（如图），现将纸片折叠，使点与点重合，试求折痕的长解析设是矩形对角线的中点连结，由折叠知，故，即由，得，从而在中，故又由得，所以，726已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为，面积为，求证：此三角形为等腰三角形解析由题意可设，则，即，得于是，由，得、是方程的两个根而此方程有两个相等的根，所以，即此三角形为等腰三角形评注也可以直接由，得727在中，其周长为，且已知斜边上的中线长为1如果，求的值解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故于是，由题设及勾股定理，得把式两边平方，得再由得由、知，、分别是二次方程的两根，解得因为（即），故，所以728已知、分别是中、，的对边，且、是关于的一元二次方程的两个根（1）判断的形状；（2）若求、解析（1）根据题意，尝试从边来判断因为，所以，从而知是直角三角形，（2）由，得令，则，于是，得，从而有，729在中，且两直角边长满足条件（1）证明：；（2）当取最小值时，求中最小内角的正切值解析（1）由题设得消去，得，故实数满足二次方程所以因为，所以（2）当时，方程只有一个实数根，从而由，知的最小内角为，其正切值7210如图所示，且求的值解析因为，已知，因此，只需求出与的比值即可不妨设，则在中，所以在中，所以在中， ，所以7211如图所示在锐角中，且求解析作于，设，在中，因为，所以，所以，所以，在中，因为，所以，所以因为，所以，所以由知评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法7212如图所示在中，求及解析1作于，设，则有-得，所以因为，所以，所以，所以解析2在中，由余弦定理得，所以，所以，从而在中，由正弦定理得,所以A7213如图，已知中，是的中点，求的长解析作B，交的延长线于，设则，由，是的中点，知而，得即，所以评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法7214如图，中，于，于，于求证：解析，而，所以，又，所以，所以又，所以评注本题直角三角形较多，直接用相似三角形往往找不好关系，利用等角的三角函数作边的转化，使关系明确7215如图，在中，是边的中点，垂直于且交于求证：解析作于，不妨设，因，所以又又，而，故由于，而，而，即，又，是锐角因此评注利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示，通过计算证明几何命题，这种方法称为几何题的三角证法7216在等腰直角三角形中，点为腰上任意一点，点在底边上，且，求证：解析如图，过点作，垂足为因为，所以，从而知，得又因为，则令，那么于是，得故7217如图，在直角三角形中，是上一动点，在上，从点开始向运动且保持，试写出与点运动时到点距离的关系式解析如图，过点作，交直线于，则，得由，得，则，得，又，则，即，得故7218如图（a），正方形的边长，、分别是、的中点，分别交、于点、，求的面积解析记正方形的边长为由题设易知，则有，得，所以在直角中，则，于是由题设可知，所以，于是，从而又，所以因，故7219已知、是三边的长，其中，且方程两根的差的绝对值等于求中最大角的度数解析由已知条件可知，这是一个等腰三角形，且底边最长，则最大角为，求出中的底角（或）即可我们可以先求角（或）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示由图知，则关键是求出与的比值通过一元二次方程中的条件，可得到关于、的方程，则问题得到解决因为，所以方程为设、为方程的两个根，则有，因为，即，所以，所以，所以，所以评注这是一道方程与几何知识的综合题三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小7220在中，则；反过来，如果在中，则是直角三角形解析（1）作角平分线（图略），则在中，由角平分线的比例性质，有所以，即所以所以（2）我们证明：或是直角设，下证如图，作的角平分线，在直线上取一点，使由题设有，所以又由（1）中的计算，所以，作于，则所以7221如图，是圆的直径，弦，与相交于，已知，试求解析由，得所以连结，则故由，有，又，所以7222如图，延长锐角的高、分别交外接圆于、设垂心为外接圆半径为求证：（1）；（2）解析（1）由于，所以在中，所以同理，于是左边由于、共圆，所以在直角三角形中，所以同理相加得由于是的垂心，易证，所以，同理，相加后得右边（2）由于是垂心，所以，可得由于，所以同理可证，相加后得，所以7223如图所示，已知电线杆直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上如果与地面成，求电线杆的长（精确到）解析如图，延长交地面于点，过点作于点因为，所以，因为，所以7224如图，某岛周围42海里内存在着大量的暗礁现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、处测得在北偏东，2小时后在处测得在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由解析若设船不改变航向，与小岛的最近距离为则有，解得因此需要改变航向，以免触礁7225如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为，截面积为，试求当倾角为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑最小，故首先设法用、表示有，则因、为常数，则要求的最小值，只需求的最小值设，两边平方整理得，由上式知，解得，故当时，有最小值当时，从而得，此时排污渠造价最小